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06
导数及其应用
★★☆☆☆
设函数
f
(
x
)
=
e
x
+
2
sin
x
1
+
x
2
f(x)=\dfrac{\mathrm{e}^x+2\sin x}{1+x^2}
f
(
x
)
=
1
+
x
2
e
x
+
2
sin
x
，则曲线
y
=
f
(
x
)
y=f(x)
y
=
f
(
x
)
在
(
0
,
1
)
(0,1)
(
0
,
1
)
处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为（ ）
A.
1
6
\dfrac{1}{6}
6
1
B.
1
3
\dfrac{1}{3}
3
1
C.
1
2
\dfrac{1}{2}
2
1
D.
2
3
\dfrac{2}{3}
3
2
2024 · 全国 · 甲卷 · 理 · 第 6 题 · 选择题
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07
导数及其应用
★★☆☆☆
设函数
f
(
x
)
=
e
x
+
2
sin
x
1
+
x
2
f(x)=\dfrac{\mathrm{e}^x+2\sin x}{1+x^2}
f
(
x
)
=
1
+
x
2
e
x
+
2
sin
x
，则曲线
y
=
f
(
x
)
y=f(x)
y
=
f
(
x
)
在点
(
0
,
1
)
(0,1)
(
0
,
1
)
处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为（ ）
A.
1
6
\dfrac16
6
1
B.
1
3
\dfrac13
3
1
C.
1
2
\dfrac12
2
1
D.
2
3
\dfrac23
3
2
2024 · 全国 · 甲卷 · 文 · 第 7 题 · 选择题
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16
导数及其应用
★★★★☆
现定义如下：当
x
∈
(
n
,
n
+
1
)
x\in(n,n+1)
x
∈
(
n
,
n
+
1
)
时（
n
∈
N
n\in \mathbf{N}
n
∈
N
），若
f
(
x
+
1
)
=
f
′
(
x
)
f(x+1)=f'(x)
f
(
x
+
1
)
=
f
′
(
x
)
，则称
f
(
x
)
f(x)
f
(
x
)
为延展函数. 已知当
x
∈
(
0
,
1
)
x\in(0,1)
x
∈
(
0
,
1
)
时，
g
(
x
)
=
e
x
g(x)=\mathrm{e}^x
g
(
x
)
=
e
x
，且
h
(
x
)
=
x
10
h(x)=x^{10}
h
(
x
)
=
x
10
，且
g
(
x
)
g(x)
g
(
x
)
，
h
(
x
)
h(x)
h
(
x
)
均为延展函数，则以下结论（ ）.
① 存在
y
=
k
x
+
b
y=kx+b
y
=
k
x
+
b
（
k
k
k
，
b
∈
R
b\in\mathbf{R}
b
∈
R
，
k
k
k
，
b
≠
0
b\ne 0
b
=
0
）与
y
=
g
(
x
)
y=g(x)
y
=
g
(
x
)
有无穷多个交点； ② 存在
y
=
k
x
+
b
y=kx+b
y
=
k
x
+
b
（
k
k
k
，
b
∈
R
b\in\mathbf{R}
b
∈
R
，
k
k
k
，
b
≠
0
b\ne 0
b
=
0
）与
y
=
h
(
x
)
y=h(x)
y
=
h
(
x
)
有无穷多个交点.
A.
（1）（2）都成立
B.
（1）（2）都不成立
C.
（1）成立（2）不成立
D.
（1）不成立（2）成立
2024 · 上海 · 春季 · 第 16 题 · 选择题
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