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1917分导数及其应用★★★★★
已知函数 f(x)=xex+ax+bf\left( x \right)=x\mathrm{e}^x+ax+b，曲线 y=f(x)y=f\left( x \right) 在点 (0,f(0))\left( 0,f\left( 0 \right) \right) 处的切线方程为 y=−2x+1y=-2x+1.
(1) 求 aa，bb； (2) 当 x>0x>0 时，f(x+m)−f(x)>mf\left( x+m \right)-f\left( x \right)>m，求 mm 的取值范围； (3) 当 x>0x>0 时，f(k+x)+f(k−x)>2f(k)f\left( k+x \right)+f\left( k-x \right)>2f\left( k \right)，求 kk 的最小值.

2026 · 全国 · 二卷 · 第 19 题 · 解答题

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20导数及其应用★★★★★
设函数 f(x)=x2+mx−4enx−1f(x)=x^2+mx-4\mathrm{e}^{nx-1}（n∈Zn\in \mathbf{Z}），曲线 y=f(x)y=f(x) 在点 (−1,f(−1))\left( -1,f(-1) \right) 处的切线方程为 4x+e2y+e2+8=04x+\mathrm{e}^2y+\mathrm{e}^2+8=0.
(1) 求 mm，nn 的值； (2) 求 f(x)f(x) 的极值点个数； (3) 求 y=kx−1y=kx-1（k>0k>0）与 f(x)f(x) 交点个数.

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20导数及其应用★★★★★
已知 f(x)=ex−23sin⁡xf(x)=\mathrm{e}^x-\frac{2}{3}\sin x.
(1) 求曲线 y=f(x)y=f(x) 在点 (0,f(0))(0,f(0)) 处的切线方程； (2) 当 x∈[−13,+∞)x\in \left[ -\frac{1}{3},+\infty \right) 时，证明 f(x)≥1+x3f(x)\ge 1+\frac{x}{3}； (3) 求实数 aa 的最大可能值，使得 f(11)⋅f(12)⋅f(13)⋯f(1n)≥(n+1)af\left( \frac{1}{1} \right)\cdot f\left( \frac{1}{2} \right)\cdot f\left( \frac{1}{3} \right)\cdots f\left( \frac{1}{n} \right)\ge (n+1)^a 对任意的 n∈N∗n\in \mathbf{N}^* 都成立.

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19不等式★★★★☆
已知 a∈Ra\in \mathbf{R}，函数 f(x)=x2+ax+3f(x)=x^2+ax+3，g(x)=4x+1x2g(x)=4x+\frac{1}{x^2}.
(1) 解不等式 f(x)+1x2>g(x)f(x)+\frac{1}{x^2}>g(x)； (2) a≠0a\neq 0. l1l_1 是 f(x)f(x) 在点 (0,3)\left( 0,3 \right) 处的切线，l2l_2 是过点 (0,3)\left( 0,3 \right) 且垂直于 l1l_1 的直线. g(x)g(x) 与 l1l_1，l2l_2 在第一象限内均无公共点，求 aa 的取值范围.

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20解析几何★★★★★
已知双曲线 Γ:x2−y2=1\Gamma:x^2-y^2=1，点 PP 在 Γ\Gamma 上，F1F_1，F2F_2 分别为双曲线的左，右焦点.
(1) 求点 (2,0)\left( 2,0 \right) 到 Γ\Gamma 渐近线的距离； (2) 若 PF1→⋅PF2→=1\overrightarrow{PF_1}\cdot \overrightarrow{PF_2}=1，求 △PF1F2\triangle PF_1F_2 的面积； (3) 记 Ω\Omega 为双曲线 x2−y2=1x^2-y^2=1 中满足 （x>0x>0， y≥−1\ y\ge -1） 或 （x<0x<0， y≤−1\ y\le -1） 的部分. 过点 F2F_2 的直线 ll 交 Ω\Omega 于 PP，QQ 两点（分别位于第一，第四象限），过点 F2F_2 的直线 mm 交 Ω\Omega 于 MM，NN 两点（分别位于第三，第四象限）. 是否存在常数 λ\lambda，使得对任意直线 ll，都存在唯一对应的直线 mm 满足 λ∣PQ∣=∣MN∣\lambda \left| PQ \right|=\left| MN \right|？若存在，求出 λ\lambda 的值；若不存在，请说明理由.

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21函数与初等函数★★★★★
(i,j,k)\left( i,j,k \right) 是 11，22，33 的一个排列. 对函数 f1(x)f_1(x)，f2(x)f_2(x)，f3(x)f_3(x)，对于任意 x∈Ix\in I，都有 f1(x)≤fi(x)f_1(x)\le f_i(x) 且 f1(x)+f2(x)≤fi(x)+fj(x)f_1(x)+f_2(x)\le f_i(x)+f_j(x)，则称 (i,j,k)\left( i,j,k \right) 是关于 f1(x)f_1(x)，f2(x)f_2(x)，f3(x)f_3(x) 的一个 II 排列. 关于 f1(x)f_1(x)，f2(x)f_2(x)，f3(x)f_3(x) 的 II 排列总数记为 nIn_I.
(1) 对 I=[3,+∞)I=\left[ 3,+\infty \right)，f1(x)=xf_1(x)=x，f2(x)=0f_2(x)=0，f3(x)=x2+1f_3(x)=x^2+1，判断 (3,1,2)\left( 3,1,2 \right) 是否为 II 排列； (2) 对 I=(0,+∞)I=\left( 0,+\infty \right)，f1(x)=x−1f_1(x)=x-1，f2(x)=x+mf_2(x)=x+m，f3(x)=x2f_3(x)=x^2 满足条件的 nI=6n_I=6，求 mm 的取值范围； (3) 对任意 x∈[0,+∞)x\in \left[ 0,+\infty \right)，都有 0<F′(x)<10<F'(x)<1. 令 I=[a,+∞)I=\left[ a,+\infty \right)，f1(x)=F′(x)f_1(x)=F'(x)，f2(x)=12(F′(x+a)+F′(x−a))f_2(x)=\frac{1}{2}\left( F'\left( x+a \right)+F'\left( x-a \right) \right)，f3(x)=1−e−xf_3(x)=1-\mathrm{e}^{-x}. 证明：若 F′(x)F'(x) 严格减，则存在 a>0a>0，使 nI≥4n_I\ge 4；若 F′(x)F'(x) 严格增，则存在 a∈(0,1)a\in \left( 0,1 \right)，nI≠2n_I\neq 2.

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19三角函数★★★★☆
已知 f(x)=sin⁡(ωx+φ)f(x)=\sin(\omega x+\varphi)（ω>0\omega>0，0<φ<π0<\varphi<\pi）.
(1) 当 ω=2\omega=2，f ⁣(π12)=0f\!\left(\dfrac{\pi}{12}\right)=0，求函数 f(x)f(x) 在 x=0x=0 处的切线方程； (2) 若函数 f(x)f(x) 的最小正周期为 3π3\pi，且 f(x)=22f(x)=\dfrac{\sqrt2}{2} 在区间 [0,2026π)[0,2026\pi) 上恰好有 1351 个解，求 φ\varphi 的取值范围.

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1917分导数及其应用★★★★★
(1) 设函数 f(x)=5cos⁡x−cos⁡5xf(x) = 5\cos x - \cos 5x，求 f(x)f(x) 在 [0,π4]\left[0, \frac{\pi}{4}\right] 的最大值； (2) 给定 θ∈(0,π)\theta \in (0,\pi) 和 a∈Ra \in \mathbf{R}，证明：存在 y∈[a−θ,a+θ]y \in [a - \theta, a + \theta]，使得 cos⁡y≤cos⁡θ\cos y \le \cos \theta； (3) 设 b∈Rb \in \mathbf{R}，若存在 φ∈R\varphi \in \mathbf{R} 使得 5cos⁡x−cos⁡(5x+φ)≤b5\cos x - \cos (5x + \varphi) \le b 对 x∈Rx \in \mathbf{R} 恒成立，求 bb 的最小值.

2025 · 全国 · 一卷 · 第 19 题 · 解答题

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1817分导数及其应用★★★★★
已知函数 f(x)=ln⁡(1+x)−x+12x2−kx3f(x)=\ln(1+x)-x+\frac12x^2-kx^3，其中 0<k<130<k<\frac13.
(1) 证明：f(x)f(x) 在区间 (0,+∞)(0,+\infty) 存在唯一的极值点和唯一的零点； (2) 设 x1x_1，x2x_2 分别为 f(x)f(x) 在区间 (0,+∞)(0,+\infty) 的极值点和零点.
(i) 设函数 g(t)=f(x1+t)−f(x1−t)g(t)=f(x_1+t)-f(x_1-t)，证明：g(t)g(t) 在区间 (0,x1)(0,x_1) 单调递减； (ii) 比较 2x12x_1 与 x2x_2 的大小，并证明你的结论.

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20导数及其应用★★★★★
函数 f:(−1,+∞)→Rf:(-1,+\infty)\to\mathbf{R}，f(0)=0f(0)=0，f′(x)=ln⁡(1+x)1+xf'(x)=\dfrac{\ln(1+x)}{1+x}，l1l_1 为点 A(a,f(a))A(a,f(a))（a≠0a\ne0）处切线.
(1) f′(x)f'(x) 的最大值； (2) 证明：当 −1<a<0-1<a<0 时，除点 AA 外曲线 y=f(x)y=f(x) 在 l1l_1 上方； (3) 若 a>0a>0 时，过 AA 且与 l1l_1 垂直的 l2l_2 与 l1l_1 分别交 xx 轴于 x1x_1，x2x_2，求 2a−x1−x2x2−x1\dfrac{2a-x_1-x_2}{x_2-x_1} 的范围.

2025 · 北京 · 第 20 题 · 解答题

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20导数及其应用★★★★★
已知 f(x)=ax−(ln⁡x)2f(x)=ax-(\ln x)^2.
(1) 当 a=1a=1 时，求 f(x)f(x) 在点 (1,f(1))(1,f(1)) 处的切线方程； (2) 当 f(x)f(x) 有三个零点 x1<x2<x3x_1<x_2<x_3 时，
(i) 求 aa 的取值范围； (ii) 证明 (ln⁡x2−ln⁡x1)⋅ln⁡x3<4ee−1(\ln x_2-\ln x_1)\cdot \ln x_3<\frac{4\mathrm{e}}{\mathrm{e}-1}.

2025 · 天津 · 第 20 题 · 解答题

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19导数及其应用★★★★☆
已知 f(x)=x2−(m+2)x+mln⁡xf(x)=x^2-(m+2)x+m\ln x，m∈Rm\in\mathbf{R}.
(1) 若 f(1)=0f(1)=0，求不等式 f(x)≤x2−1f(x)\le x^2-1 的解集； (2) 若 f(x)f(x) 在 (0,+∞)(0,+\infty) 上存在极大值，求 mm 的取值范围.

2025 · 上海 · 第 19 题 · 解答题

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21函数与初等函数★★★★★
已知函数 y=f(x)y=f(x) 的定义域是 DD. 对于 t∈Dt\in D，定义集合 Sf(t)={x∣f(x)≥f(t)}S_f(t)=\{x\mid f(x)\ge f(t)\}.
(1) f(x)=log⁡2xf(x)=\log_2x，求 Sf(16)S_f(16)； (2) 对于集合 AA，若对任意 x∈Ax\in A 都有 −x∈A-x\in A，则称 AA 是对称集. 若 DD 是对称集，证明：“函数 y=f(x)y=f(x) 是偶函数”的充要条件是“对任意 t∈Dt\in D，Sf(t)S_f(t) 是对称集”； (3) 若 x∈Rx\in\mathbf{R}，f(x)=ex−12mx2f(x)=\mathrm{e}^x-\dfrac12mx^2. 求 mm 的取值范围，使得对于任意 t1<t2∈Dt_1<t_2\in D，都有 Sf(t2)⊆Sf(t1)S_f(t_2)\subseteq S_f(t_1).

2025 · 上海 · 春季 · 第 21 题 · 解答题

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1817分导数及其应用★★★★★
已知函数 f(x)=ln⁡x2−x+ax+b(x−1)3f(x)=\ln\frac{x}{2-x}+ax+b(x-1)^3（x∈(0,2)x\in(0,2)）.
(1) 若 b=0b=0 且 f′(x)≥0f'(x)\ge0，求 aa 的最小值； (2) 证明：曲线 y=f(x)y=f(x) 关于点 (1,a)(1,a) 中心对称； (3) 若 f(x)>−2f(x)>-2 当且仅当 1<x<21<x<2，求 bb 的取值范围.

2024 · 全国 · 新高考一卷 · 第 18 题 · 解答题

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1615分导数及其应用★★★☆☆
已知函数 f(x)=ex−ax−a3f(x)=\mathrm{e}^x-ax-a^3.
(1) 当 a=1a=1 时，求曲线 y=f(x)y=f(x) 在点 (1,f(1))(1,f(1)) 处的切线方程； (2) 若 f(x)f(x) 有极小值，且极小值小于 0，求 aa 的取值范围.

2024 · 全国 · 新高考二卷 · 第 16 题 · 解答题

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21导数及其应用★★★★☆
已知函数 f(x)=(1−ax)ln⁡(1+x)−xf(x)=(1-ax)\ln(1+x)-x.
(1) 当 a=−2a=-2 时，求 f(x)f(x) 的极值； (2) 当 x≥0x\ge 0 时，f(x)≥0f(x)\ge 0 恒成立，求 aa 的取值范围.

2024 · 全国 · 甲卷 · 理 · 第 21 题 · 解答题

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20导数及其应用★★★★☆
已知函数 f(x)=a(x−1)−ln⁡x+1f(x)=a(x-1)-\ln x+1.
(1) 讨论 f(x)f(x) 的单调性； (2) 设 a≤2a\le2，证明：当 x>1x>1 时，f(x)<ex−1f(x)<\mathrm{e}^{x-1}.

2024 · 全国 · 甲卷 · 文 · 第 20 题 · 解答题

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20导数及其应用★★★★★
设函数 f(x)=x+kln⁡(1+x)f(x)=x+k\ln(1+x)（k≠0k\ne 0），直线 ll 是曲线 y=f(x)y=f(x) 在点 (t,f(t))(t,f(t))（t>0t>0）处的切线.
(1) 当 k=−1k=-1 时，求 f(x)f(x) 的单调区间； (2) 求证：ll 不经过点 (0,0)(0,0)； (3) 当 k=1k=1 时，设点 A(t,f(t))A(t,f(t))（t>0t>0），C(0,f(t))C(0,f(t))，O(0,0)O(0,0)，BB 为 ll 与 yy 轴的交点，S△ACOS_{\triangle ACO} 与 S△ABOS_{\triangle ABO} 分别表示 △ACO\triangle ACO 与 △ABO\triangle ABO 的面积. 是否存在点 AA 使得 2S△ACO=15S△ABO2S_{\triangle ACO}=15S_{\triangle ABO} 成立？若存在，这样的点 AA 有几个？
（参考数据：1.09<ln⁡3<1.101.09<\ln 3<1.10，1.60<ln⁡5<1.611.60<\ln 5<1.61，1.94<ln⁡7<1.951.94<\ln 7<1.95）

2024 · 北京 · 第 20 题 · 解答题

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20导数及其应用★★★★★
设函数 f(x)=xln⁡xf(x)=x\ln x.
(1) 求 f(x)f(x) 图象上点 (1,f(1))(1,f(1)) 处的切线方程； (2) 若 f(x)≥a(x−x)f(x)\ge a(x-\sqrt{x}) 在 x∈(0,+∞)x\in(0,+\infty) 时恒成立，求 aa 的值； (3) 若 x1x_1，x2∈(0,1)x_2\in(0,1)，证明 ∣f(x1)−f(x2)∣≤∣x1−x2∣12|f(x_1)-f(x_2)|\le |x_1-x_2|^{\frac{1}{2}}.

2024 · 天津 · 第 20 题 · 解答题

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21导数及其应用★★★★★
设 DD 是 R\mathbf{R} 的一个非空子集，y=f(x)y=f(x) 是定义在 DD 上的函数. 对于点 M(a,b)M(a,b)，记 s(x)=(x−a)2+(f(x)−b)2s(x)=(x-a)^2+\left( f(x)-b \right)^2. 若对于点 P(x0,f(x0))P(x_0,f(x_0))，函数 y=s(x)y=s(x) 在 x=x0x=x_0 处取得最小值，则称 PP 是 MM 的 ff 最近点.
(1) 对于 f(x)=1xf(x)=\frac{1}{x}，M(0,0)M(0,0)，D=(0,+∞)D=(0,+\infty)，求证：存在 MM 的 ff 最近点； (2) 对于 f(x)=exf(x)=\mathrm{e}^x，M(1,0)M(1,0)，D=RD=\mathbf{R}，若曲线 y=f(x)y=f(x) 上一点 PP 满足 MPMP 垂直于 y=f(x)y=f(x) 在点 P(x0,f(x0))P(x_0,f(x_0)) 处的切线，则 PP 是否为 MM 的 ff 最近点？ (3) 已知 D=RD=\mathbf{R}，y=f(x)y=f(x) 的导函数为 y=f′(x)y=f'(x)，且 y=g(x)y=g(x) 在 R\mathbf{R} 上的函数值恒正. 对任意 t∈Rt\in \mathbf{R}，点 M1M_1 的坐标为 (t−1,f(t)−g(t))(t-1,f(t)-g(t))，点 M2M_2 的坐标为 (t+1,f(t)+g(t))(t+1,f(t)+g(t)). 若对任意的 t∈Rt\in \mathbf{R}，总存在 y=f(x)y=f(x) 上一点 PP，使得 PP 既是 M1M_1 的 ff 最近点，又是 M2M_2 的 ff 最近点，试求 y=f(x)y=f(x) 的单调性.

2024 · 上海 · 第 21 题 · 解答题

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1917分导数及其应用★★★★☆
已知函数 f(x)=a(ex+a)−xf(x)=a(\mathrm{e}^x+a)-x.
(1) 讨论 f(x)f(x) 的单调性； (2) 证明：当 a>0a>0 时，f(x)>2ln⁡a+32f(x)>2\ln a+\frac32.

2023 · 全国 · 新高考一卷 · 第 19 题 · 解答题

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2215分解析几何★★★★★
在直角坐标系 xOyxOy 中，点 PP 到 xx 轴的距离等于点 PP 到点 (0,12)(0,\frac12) 的距离，记动点 PP 的轨迹为 WW.
(1) 求 WW 的方程； (2) 已知矩形 ABCDABCD 有三个顶点在 WW 上，证明：矩形 ABCDABCD 的周长大于 333\sqrt3.

2023 · 全国 · 新高考一卷 · 第 22 题 · 解答题

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2215分导数及其应用★★★★★
(1) 证明：当 0<x<10<x<1 时，x−x2<sin⁡x<xx-x^2<\sin x<x. (2) 已知函数 f(x)=cos⁡ax−ln⁡(1−x2)f(x)=\cos ax-\ln(1-x^2)，若 x=0x=0 是 f(x)f(x) 的极大值点，求 aa 的取值范围.

2023 · 全国 · 新高考二卷 · 第 22 题 · 解答题

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21导数及其应用★★★★★
已知函数 f(x)=ax−sin⁡xcos⁡3xf(x)=ax-\frac{\sin x}{\cos^3x}，x∈(0,π2)x\in\left( 0,\frac{\pi}{2} \right).
(1) 当 a=8a=8 时，讨论 f(x)f(x) 的单调性； (2) 若 f(x)<sin⁡2xf(x)<\sin2x 恒成立，求 aa 的取值范围.

2023 · 全国 · 甲卷 · 理 · 第 21 题 · 解答题

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20导数及其应用★★★★☆
已知函数 f(x)=ax−sin⁡xcos⁡2xf(x)=ax-\dfrac{\sin x}{\cos^2x}，x∈(0,π2)x\in\left(0,\dfrac{\pi}{2}\right).
(1) 当 a=1a=1 时，讨论 f(x)f(x) 的单调性； (2) 若 f(x)+sin⁡x<0f(x)+\sin x<0，求 aa 的取值范围.

2023 · 全国 · 甲卷 · 文 · 第 20 题 · 解答题

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