已知函数 $f\left( x \right)=x\mathrm{e}^x+ax+b$，曲线 $y=f\left( x \right)$ 在点 $\left( 0,f\left( 0 \right) \right)$ 处的切线方程为 $y=-2x+1$.

(1) 求 $a$，$b$； (2) 当 $x>0$ 时，$f\left( x+m \right)-f\left( x \right)>m$，求 $m$ 的取值范围； (3) 当 $x>0$ 时，$f\left( k+x \right)+f\left( k-x \right)>2f\left( k \right)$，求 $k$ 的最小值.

设函数 $f(x)=x^2+mx-4\mathrm{e}^{nx-1}$（$n\in \mathbf{Z}$），曲线 $y=f(x)$ 在点 $\left( -1,f(-1) \right)$ 处的切线方程为 $4x+\mathrm{e}^2y+\mathrm{e}^2+8=0$.

(1) 求 $m$，$n$ 的值； (2) 求 $f(x)$ 的极值点个数； (3) 求 $y=kx-1$（$k>0$）与 $f(x)$ 交点个数.

已知 $f(x)=\mathrm{e}^x-\frac{2}{3}\sin x$.

(1) 求曲线 $y=f(x)$ 在点 $(0,f(0))$ 处的切线方程； (2) 当 $x\in \left[ -\frac{1}{3},+\infty \right)$ 时，证明 $f(x)\ge 1+\frac{x}{3}$； (3) 求实数 $a$ 的最大可能值，使得 $f\left( \frac{1}{1} \right)\cdot f\left( \frac{1}{2} \right)\cdot f\left( \frac{1}{3} \right)\cdots f\left( \frac{1}{n} \right)\ge (n+1)^a$ 对任意的 $n\in \mathbf{N}^*$ 都成立.

已知 $a\in \mathbf{R}$，函数 $f(x)=x^2+ax+3$，$g(x)=4x+\frac{1}{x^2}$.

(1) 解不等式 $f(x)+\frac{1}{x^2}>g(x)$； (2) $a\neq 0$. $l_1$ 是 $f(x)$ 在点 $\left( 0,3 \right)$ 处的切线，$l_2$ 是过点 $\left( 0,3 \right)$ 且垂直于 $l_1$ 的直线. $g(x)$ 与 $l_1$，$l_2$ 在第一象限内均无公共点，求 $a$ 的取值范围.

已知双曲线 $\Gamma:x^2-y^2=1$，点 $P$ 在 $\Gamma$ 上，$F_1$，$F_2$ 分别为双曲线的左，右焦点.

(1) 求点 $\left( 2,0 \right)$ 到 $\Gamma$ 渐近线的距离； (2) 若 $\overrightarrow{PF_1}\cdot \overrightarrow{PF_2}=1$，求 $\triangle PF_1F_2$ 的面积； (3) 记 $\Omega$ 为双曲线 $x^2-y^2=1$ 中满足 （$x>0$，$\ y\ge -1$） 或 （$x<0$，$\ y\le -1$） 的部分. 过点 $F_2$ 的直线 $l$ 交 $\Omega$ 于 $P$，$Q$ 两点（分别位于第一，第四象限），过点 $F_2$ 的直线 $m$ 交 $\Omega$ 于 $M$，$N$ 两点（分别位于第三，第四象限）. 是否存在常数 $\lambda$，使得对任意直线 $l$，都存在唯一对应的直线 $m$ 满足 $\lambda \left| PQ \right|=\left| MN \right|$？若存在，求出 $\lambda$ 的值；若不存在，请说明理由.

$\left( i,j,k \right)$ 是 $1$，$2$，$3$ 的一个排列. 对函数 $f_1(x)$，$f_2(x)$，$f_3(x)$，对于任意 $x\in I$，都有 $f_1(x)\le f_i(x)$ 且 $f_1(x)+f_2(x)\le f_i(x)+f_j(x)$，则称 $\left( i,j,k \right)$ 是关于 $f_1(x)$，$f_2(x)$，$f_3(x)$ 的一个 $I$ 排列. 关于 $f_1(x)$，$f_2(x)$，$f_3(x)$ 的 $I$ 排列总数记为 $n_I$.

(1) 对 $I=\left[ 3,+\infty \right)$，$f_1(x)=x$，$f_2(x)=0$，$f_3(x)=x^2+1$，判断 $\left( 3,1,2 \right)$ 是否为 $I$ 排列； (2) 对 $I=\left( 0,+\infty \right)$，$f_1(x)=x-1$，$f_2(x)=x+m$，$f_3(x)=x^2$ 满足条件的 $n_I=6$，求 $m$ 的取值范围； (3) 对任意 $x\in \left[ 0,+\infty \right)$，都有 $0<F'(x)<1$. 令 $I=\left[ a,+\infty \right)$，$f_1(x)=F'(x)$，$f_2(x)=\frac{1}{2}\left( F'\left( x+a \right)+F'\left( x-a \right) \right)$，$f_3(x)=1-\mathrm{e}^{-x}$. 证明：若 $F'(x)$ 严格减，则存在 $a>0$，使 $n_I\ge 4$；若 $F'(x)$ 严格增，则存在 $a\in \left( 0,1 \right)$，$n_I\neq 2$.

已知 $f(x)=\sin(\omega x+\varphi)$（$\omega>0$，$0<\varphi<\pi$）.

(1) 当 $\omega=2$，$f\!\left(\dfrac{\pi}{12}\right)=0$，求函数 $f(x)$ 在 $x=0$ 处的切线方程； (2) 若函数 $f(x)$ 的最小正周期为 $3\pi$，且 $f(x)=\dfrac{\sqrt2}{2}$ 在区间 $[0,2026\pi)$ 上恰好有 1351 个解，求 $\varphi$ 的取值范围.