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2115分导数及其应用★★★★★
已知函数 f(x)=aex−1−ln⁡x+ln⁡af(x)=a\mathrm{e}^{x-1}-\ln x+\ln a.
(1) 当 a=ea=\mathrm{e} 时，求曲线 y=f(x)y=f(x) 在点 (1,f(1))\left( 1,f(1) \right) 处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积； (2) 若 f(x)≥1f(x)\ge 1，求 aa 的取值范围.

2020 · 全国 · 新高考一卷 · 第 21 题 · 解答题

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2215分导数及其应用★★★★☆
已知函数 f(x)=aex−1−ln⁡x+ln⁡af(x)=a\mathrm{e}^{x-1}-\ln x+\ln a.
(1) 当 a=ea=\mathrm{e} 时，求曲线 y=f(x)y=f(x) 在点 (1,f(1))(1,f(1)) 处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积； (2) 若 f(x)⩾1f(x)\geqslant1，求 aa 的取值范围.

2020 · 全国 · 新高考二卷 · 第 22 题 · 解答题

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06导数及其应用★☆☆☆☆
函数 f(x)=x4−2x3f(x)=x^4-2x^3 的图象在点 (1,f(1))\left( 1,f\left( 1 \right) \right) 处的切线方程为（ ）
\begin{answer} B \end{answer}
A.
y=−2x−1y=-2x-1
B.
y=−2x+1y=-2x+1
C.
y=2x−3y=2x-3
D.
y=2x+1y=2x+1

2020 · 全国 · 一卷 · 理 · 第 6 题 · 选择题

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21导数及其应用★★★★★
已知函数 f(x)=ex+ax2−xf(x)=\mathrm{e}^x+ax^2-x.
(1) 当 a=1a=1 时，讨论 f(x)f(x) 的单调性； (2) 当 x≥0x\ge 0 时，f(x)≥12x3+1f(x)\ge \dfrac{1}{2}x^3+1，求 aa 的取值范围.

2020 · 全国 · 一卷 · 理 · 第 21 题 · 解答题

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15导数及其应用★★☆☆☆
曲线 y=ln⁡x+x+1y=\ln x+x+1 的一条切线的斜率为 22，则该切线的方程为______.

2020 · 全国 · 一卷 · 文 · 第 15 题 · 填空题

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20导数及其应用★★★★☆
已知函数 f(x)=ex−a(x+2)f(x)=\mathrm{e}^x-a(x+2).
(1) 当 a=1a=1 时，讨论 f(x)f(x) 的单调性； (2) 若 f(x)f(x) 有两个零点，求 aa 的取值范围.

2020 · 全国 · 一卷 · 文 · 第 20 题 · 解答题

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21导数及其应用★★★★☆
已知函数 f(x)=sin⁡2xsin⁡2xf(x)=\sin^2 x\sin 2x.
(1) 讨论 f(x)f(x) 在区间 (0,π)(0,\pi) 的单调性； (2) 证明：∣f(x)∣≤338|f(x)|\leq \dfrac{3\sqrt3}{8}； (3) 设 n∈N∗n\in\mathbf{N}^*，证明：sin⁡2xsin⁡22xsin⁡24x⋯sin⁡22nx≤3n4n\sin^2 x\sin^2 2x\sin^2 4x\cdots \sin^2 2^n x\leq \dfrac{3^n}{4^n}.

2020 · 全国 · 二卷 · 理 · 第 21 题 · 解答题

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10函数与初等函数★★☆☆☆
设函数 f(x)=x3−1x3f(x)=x^3-\dfrac{1}{x^3}，则 f(x)f(x)（ ）
A.
是奇函数，且在 (0,+∞)(0,+\infty) 单调递增
B.
是奇函数，且在 (0,+∞)(0,+\infty) 单调递减
C.
是偶函数，且在 (0,+∞)(0,+\infty) 单调递增
D.
是偶函数，且在 (0,+∞)(0,+\infty) 单调递减

2020 · 全国 · 二卷 · 文 · 第 10 题 · 选择题

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21导数及其应用★★★★☆
已知函数 f(x)=2ln⁡x+1f(x)=2\ln x+1.
(1) 若 f(x)≤2x+cf(x)\le 2x+c，求 cc 的取值范围； (2) 设 a>0a>0，讨论函数 g(x)=f(x)−f(a)x−ag(x)=\dfrac{f(x)-f(a)}{x-a} 的单调性.

2020 · 全国 · 二卷 · 文 · 第 21 题 · 解答题

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21导数及其应用★★★★☆
设函数 f(x)=x3+bx+cf(x)=x^3+bx+c，曲线 y=f(x)y=f(x) 在点 (12,f(12))\left( \dfrac{1}{2},f\left( \dfrac{1}{2} \right) \right) 处的切线与 yy 轴垂直.
(1) 求 bb； (2) 若 f(x)f(x) 有一个绝对值不大于 11 的零点，证明：f(x)f(x) 所有零点的绝对值都不大于 11.

2020 · 全国 · 三卷 · 理 · 第 21 题 · 解答题

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15导数及其应用★★☆☆☆
设函数 f(x)=exx+af(x)=\dfrac{\mathrm{e}^x}{x+a}，若 f′(1)=e4f'(1)=\dfrac{\mathrm{e}}{4}，则 a=‾a=\underline{\hspace{2em}}.

2020 · 全国 · 三卷 · 文 · 第 15 题 · 填空题

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20导数及其应用★★★★☆
已知函数 f(x)=x3−kx+k2f(x)=x^3-kx+k^2.
(1) 讨论 f(x)f(x) 的单调性； (2) 若 f(x)f(x) 有三个零点，求 kk 的取值范围.

2020 · 全国 · 三卷 · 文 · 第 20 题 · 解答题

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15函数与初等函数★★★☆☆
为满足人民对美好生活的向往，环保部门要求相关企业加强污水治理，排放未达标的企业要限期整改，设企业的污水排放量 WW 与时间 tt 的关系为 W=f(t)W=f(t)，用 −f(b)−f(a)b−a-\dfrac{f(b)-f(a)}{b-a} 的大小评价在 [a,b][a,b] 这段时间内企业污水治理能力的强弱，已知整改期内，甲、乙两企业的污水排放量与时间的关系如下图所示.
给出下列四个结论：
① 在 [t1,t2][t_1,t_2] 这段时间内，甲企业的污水治理能力比乙企业强； ② 在 t2t_2 时刻，甲企业的污水治理能力比乙企业强； ③ 在 t3t_3 时刻，甲、乙两企业的污水排放都已达标； ④ 甲企业在 [0,t1][0,t_1]，[t1,t2][t_1,t_2]，[t2,t3][t_2,t_3] 这三段时间中，在 [0,t1][0,t_1] 的污水治理能力最强.
其中所有正确结论的序号是______.

2020 · 北京 · 第 15 题 · 填空题

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19导数及其应用★★★☆☆
已知函数 f(x)=12−x2f(x)=12-x^2.
(1) 求曲线 y=f(x)y=f(x) 的斜率等于 −2-2 的切线方程； (2) 设曲线 y=f(x)y=f(x) 在点 (t,f(t))(t,f(t)) 处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为 S(t)S(t)，求 S(t)S(t) 的最小值.

2020 · 北京 · 第 19 题 · 解答题

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20导数及其应用★★★★★
已知函数 f(x)=x3+kln⁡xf(x)=x^3+k\ln x（k∈Rk\in\mathbf{R}），f′(x)f'(x) 为 f(x)f(x) 的导函数.
(1) 当 k=6k=6 时，
(i) 求曲线 y=f(x)y=f(x) 在点 (1,f(1))(1,f(1)) 处的切线方程； (ii) 求函数 g(x)=f(x)−f′(x)+9xg(x)=f(x)-f'(x)+\dfrac9x 的单调区间和极值； (2) 当 k≥−3k\ge-3 时，求证：对任意的 x1x_1，x2∈[1,+∞)x_2\in[1,+\infty)，且 x1>x2x_1>x_2，有 f′(x1)+f′(x2)2>f(x1)−f(x2)x1−x2\dfrac{f'(x_1)+f'(x_2)}{2}>\dfrac{f(x_1)-f(x_2)}{x_1-x_2}.

2020 · 天津 · 第 20 题 · 解答题

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14解析几何★★★★☆
在平面直角坐标系 xOyxOy 中，已知 P ⁣(32,0)P\!\left(\dfrac{\sqrt3}{2},0\right)，AA，BB 是圆 C:x2+(y−12)2=36C:x^2+\left(y-\dfrac12\right)^2=36 上的两个动点，满足 PA=PBPA=PB，则 △PAB\triangle PAB 面积的最大值是______.

2020 · 江苏 · 第 14 题 · 填空题

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17导数及其应用★★★☆☆
某地准备在山谷中建一座桥梁，桥址位置的竖直截面图如图所示：谷底 OO 在水平线 MNMN 上，桥 ABAB 与 MNMN 平行，OO′OO' 为铅垂线（O′O' 在 ABAB 上）. 经测量，左侧曲线 AOAO 上任一点 DD 到 MNMN 的距离 h1h_1（ m\mathrm{~m}）与 DD 到 OO′OO' 的距离 aa（ m\mathrm{~m}）之间满足关系式 h1=140a2h_1=\dfrac{1}{40}a^2；右侧曲线 BOBO 上任一点 FF 到 MNMN 的距离 h2h_2（ m\mathrm{~m}）与 FF 到 OO′OO' 的距离 bb（ m\mathrm{~m}）之间满足关系式 h2=−1800b3+6bh_2=-\dfrac{1}{800}b^3+6b. 已知点 BB 到 OO′OO' 的距离为 40 m40\mathrm{~m}.
(1) 求桥 ABAB 的长度； (2) 计划在谷底两侧建造平行于 OO′OO' 的桥墩 CDCD 和 EFEF，且 CECE 为 80 m80\mathrm{~m}，其中 CC，EE 在 ABAB 上（不包括端点）. 桥墩 EFEF 每米造价 kk（万元），桥墩 CDCD 每米造价 32k\dfrac32k（万元）（k>0k>0）. 问 O′EO'E 为多少米时，桥墩 CDCD 与 EFEF 的总造价最低？

2020 · 江苏 · 第 17 题 · 解答题

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19不等式★★★★★
已知关于 xx 的函数 y=f(x)y=f(x)，y=g(x)y=g(x) 与 h(x)=kx+bh(x)=kx+b（kk，b∈Rb\in\mathbf{R}）在区间 DD 上恒有 f(x)≥h(x)≥g(x)f(x)\ge h(x)\ge g(x).
(1) 若 f(x)=x2+2xf(x)=x^2+2x，g(x)=−x2+2xg(x)=-x^2+2x，D=(−∞,+∞)D=(-\infty,+\infty)，求 h(x)h(x) 的表达式； (2) 若 f(x)=x2−x+1f(x)=x^2-x+1，g(x)=kln⁡xg(x)=k\ln x，h(x)=kx−kh(x)=kx-k，D=(0,+∞)D=(0,+\infty)，求 kk 的取值范围； (3) 若 f(x)=x4−2x2f(x)=x^4-2x^2，g(x)=4x2−8g(x)=4x^2-8，h(x)=4(t3−t)x−3t4+2t2h(x)=4(t^3-t)x-3t^4+2t^2，0<∣t∣≤20<|t|\le\sqrt2，D=[m,n]⊆[−2,2]D=[m,n]\subseteq[-\sqrt2,\sqrt2]，证明：n−m≤7n-m\le\sqrt7.

2020 · 江苏 · 第 19 题 · 解答题

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22导数及其应用★★★★★
已知 1<a≤21<a\le2，函数 f(x)=ex−x−af(x)=\mathrm{e}^x-x-a，其中 e=2.71828⋯\mathrm{e}=2.71828\cdots 为自然对数的底数.
(1) 证明：函数 y=f(x)y=f(x) 在 (0,+∞)(0,+\infty) 上有唯一零点； (2) 记 x0x_0 为函数 y=f(x)y=f(x) 在 (0,+∞)(0,+\infty) 上的零点，证明：
(i) a−1≤x0≤2(a−1)\sqrt{a-1}\le x_0\le\sqrt{2(a-1)}； (ii) x0f(ex0)≥(e−1)(a−1)ax_0f(\mathrm{e}^{x_0})\ge(\mathrm{e}-1)(a-1)a.

2020 · 浙江 · 第 22 题 · 解答题

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