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06高考真题5分导数及其应用★★★☆☆
设函数 f(x)=ex+2sin⁡x1+x2f(x) = \dfrac{e^x + 2\sin x}{1 + x^2}, 则曲线 y=f(x)y = f(x) 在点 (0,1)(0, 1) 处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为 （ ）
A.
16\dfrac{1}{6}
B.
13\dfrac{1}{3}
C.
12\dfrac{1}{2}
D.
23\dfrac{2}{3}

2024全国甲卷(理) · 第 6 题 · 选择题

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07高考真题5分导数及其应用★★★☆☆
设函数 f(x)=ex+2sin⁡x1+x2f(x) = \dfrac{e^x + 2 \sin x}{1 + x^2}, 则曲线 y=f(x)y = f(x) 在点 (0,1)(0, 1) 处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为 （ ）
A.
16\dfrac{1}{6}
B.
13\dfrac{1}{3}
C.
12\dfrac{1}{2}
D.
23\dfrac{2}{3}

2024全国甲卷(文) · 第 7 题 · 选择题

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08高考真题5分导数及其应用★★★★☆
设函数 f(x)=(x+a)ln⁡(x+b)f(x) = (x + a) \ln(x + b). 若 f(x)⩾0f(x) \geqslant 0, 则 a2+b2a^2 + b^2 的最小值为 ( )
A.
18\frac{1}{8}
B.
14\frac{1}{4}
C.
12\frac{1}{2}
D.
1

2024新高考二卷 · 第 8 题 · 选择题

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10高考真题5分导数及其应用★★★★☆
已知 M={(x,y)∣y=x+t(x2−x),1⩽x⩽2,0⩽t⩽1}M = \{(x, y) \mid y = x + t(x^2 - x), 1 \leqslant x \leqslant 2, 0 \leqslant t \leqslant 1\} 是平面直角坐标系中的点集。设 dd 是 MM 中两点间的距离的最大值, SS 是 MM 表示的图形的面积, 则 ()(\quad)
A.
d=3,S<1d = 3, S < 1
B.
d=3,S>1d = 3, S > 1
C.
d=10,S<1d = \sqrt{10}, S < 1
D.
d=10,S>1d = \sqrt{10}, S > 1

2024北京卷 · 第 10 题 · 选择题

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10高考真题6分导数及其应用★★★★☆
设函数 f(x)=(x−1)2(x−4)f(x) = (x-1)^2(x-4), 则 ( )
A.
x=3x=3 是 f(x)f(x) 的极小值点
B.
当 0<x<10 < x < 1 时, f(x)<f(x2)f(x) < f(x^2)
C.
当 1<x<21 < x < 2 时, −4<f(2x−1)<0-4 < f(2x-1) < 0
D.
当 −1<x<0-1 < x < 0 时, f(2−x)>f(x)f(2-x) > f(x)

2024新高考一卷 · 第 10 题 · 多选题

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11高考真题6分导数及其应用★★★☆☆
设函数 f(x)=2x3−3ax2+1f(x) = 2x^3 - 3ax^2 + 1, 则 ( )
A.
当 a>1a > 1 时, f(x)f(x) 有三个零点
B.
当 a<0a < 0 时, x=0x = 0 是 f(x)f(x) 的极大值点
C.
存在 a,ba, b, 使得 x=bx = b 为曲线 y=f(x)y = f(x) 的对称轴
D.
存在 aa, 使得点 (1,f(1))(1, f(1)) 为曲线 y=f(x)y = f(x) 的对称中心

2024新高考二卷 · 第 11 题 · 多选题

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13高考真题5分导数及其应用★★★☆☆
若曲线 y=ex+xy = e^x + x 在点 (0,1)(0,1) 处的切线也是曲线 y=ln⁡(x+1)+ay = \ln(x+1) + a 的切线, 则 $a = ______.

2024新高考一卷 · 第 13 题 · 填空题

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16高考真题5分导数及其应用★★★★☆
当 x>0x > 0 时, 曲线 y=x3−3xy = x^3 - 3x 与曲线 y=−(x−1)2+ay = -(x - 1)^2 + a 有两个交点, 则 aa 的取值范围是______.

2024全国甲卷(文) · 第 16 题 · 填空题

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16高考真题15分导数及其应用★★★☆☆
已知函数 f(x)=ex−ax−a3f(x) = e^x - ax - a^3.
(1) 当 a=1a = 1 时, 求曲线 y=f(x)y = f(x) 在点 (1,f(1))(1, f(1)) 处的切线方程;
(2) 若 f(x)f(x) 有极小值, 且极小值小于 0, 求 aa 的取值范围.

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18高考真题17分导数及其应用★★★★★
已知函数 f(x)=ln⁡x2−x+ax+b(x−1)3f(x) = \ln \frac{x}{2-x} + ax + b(x-1)^3. (1) 若 b=0b=0, 且 f′(x)≥0f'(x) \ge 0, 求 aa 的最小值; (2) 证明: 曲线 y=f(x)y = f(x) 是中心对称图形; (3) 若 f(x)>−2f(x) > -2 当且仅当 1<x<21 < x < 2, 求 bb 的取值范围.

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20高考真题12分导数及其应用★★★★☆
已知函数 f(x)=a(x−1)−ln⁡x+1f(x) = a(x - 1) - \ln x + 1.
(1) 讨论 f(x)f(x) 的单调性;
(2) 设 a⩽2a \leqslant 2, 证明: 当 x>1x > 1 时, f(x)<ex−1f(x) < e^{x-1}.

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20高考真题15分导数及其应用★★★★☆
设 f(x)=x+kln⁡(1+x)f(x) = x + k \ln(1 + x) (k≠0k \neq 0), ll 是曲线在 (t,f(t))(t, f(t)) 处的切线。
(1) k=−1k = -1 时, 求单调区间; (2) 证明: ll 不经过点 (0,0)(0, 0); (3) k=1k = 1 时, 2S△ACO=15S△ABO2S_{\triangle ACO} = 15S_{\triangle ABO} 是否成立? 有几个点 AA?

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21高考真题12分导数及其应用★★★★★
已知函数 f(x)=(1−ax)ln⁡(1+x)−xf(x) = (1 - ax)\ln(1 + x) - x. (1) 若 a=−2a = -2, 求 f(x)f(x) 的极值; (2) 当 x⩾0x \geqslant 0 时, f(x)⩾0f(x) \geqslant 0, 求 aa 的取值范围.

2024全国甲卷(理) · 第 21 题 · 解答题

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