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125分导数及其应用★★☆☆☆
若直线 y=2x+5y = 2x + 5 是曲线 y=ex+x+ay = \mathrm{e}^x + x + a 的一条切线，则 a=a =______.

2025 · 全国 · 一卷 · 第 12 题 · 填空题

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1917分导数及其应用★★★★★
(1) 设函数 f(x)=5cos⁡x−cos⁡5xf(x) = 5\cos x - \cos 5x，求 f(x)f(x) 在 [0,π4]\left[0, \frac{\pi}{4}\right] 的最大值； (2) 给定 θ∈(0,π)\theta \in (0,\pi) 和 a∈Ra \in \mathbf{R}，证明：存在 y∈[a−θ,a+θ]y \in [a - \theta, a + \theta]，使得 cos⁡y≤cos⁡θ\cos y \le \cos \theta； (3) 设 b∈Rb \in \mathbf{R}，若存在 φ∈R\varphi \in \mathbf{R} 使得 5cos⁡x−cos⁡(5x+φ)≤b5\cos x - \cos (5x + \varphi) \le b 对 x∈Rx \in \mathbf{R} 恒成立，求 bb 的最小值.

2025 · 全国 · 一卷 · 第 19 题 · 解答题

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106分函数与初等函数★★★☆☆
已知 f(x)f(x) 是定义在 R\mathbf{R} 上的奇函数，且当 x>0x>0 时，f(x)=(x2−3)ex+2f(x)=(x^2-3)\mathrm{e}^x+2，则（ ）
A.
f(0)=0f(0)=0
B.
当 x<0x<0 时，f(x)=−(x2−3)e−x−2f(x)=-(x^2-3)\mathrm{e}^{-x}-2
C.
f(x)≥2f(x)\ge 2 当且仅当 x≥3x\ge \sqrt3
D.
x=−1x=-1 是 f(x)f(x) 的极大值点

2025 · 全国 · 二卷 · 第 10 题 · 多选题

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135分导数及其应用★★☆☆☆
若 x=2x=2 是函数 f(x)=(x−1)(x−2)(x−a)f(x)=(x-1)(x-2)(x-a) 的极值点，则 f(0)=f(0)=______.

2025 · 全国 · 二卷 · 第 13 题 · 填空题

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1817分导数及其应用★★★★★
已知函数 f(x)=ln⁡(1+x)−x+12x2−kx3f(x)=\ln(1+x)-x+\frac12x^2-kx^3，其中 0<k<130<k<\frac13.
(1) 证明：f(x)f(x) 在区间 (0,+∞)(0,+\infty) 存在唯一的极值点和唯一的零点； (2) 设 x1x_1，x2x_2 分别为 f(x)f(x) 在区间 (0,+∞)(0,+\infty) 的极值点和零点.
(i) 设函数 g(t)=f(x1+t)−f(x1−t)g(t)=f(x_1+t)-f(x_1-t)，证明：g(t)g(t) 在区间 (0,x1)(0,x_1) 单调递减； (ii) 比较 2x12x_1 与 x2x_2 的大小，并证明你的结论.

2025 · 全国 · 二卷 · 第 18 题 · 解答题

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20导数及其应用★★★★★
函数 f:(−1,+∞)→Rf:(-1,+\infty)\to\mathbf{R}，f(0)=0f(0)=0，f′(x)=ln⁡(1+x)1+xf'(x)=\dfrac{\ln(1+x)}{1+x}，l1l_1 为点 A(a,f(a))A(a,f(a))（a≠0a\ne0）处切线.
(1) f′(x)f'(x) 的最大值； (2) 证明：当 −1<a<0-1<a<0 时，除点 AA 外曲线 y=f(x)y=f(x) 在 l1l_1 上方； (3) 若 a>0a>0 时，过 AA 且与 l1l_1 垂直的 l2l_2 与 l1l_1 分别交 xx 轴于 x1x_1，x2x_2，求 2a−x1−x2x2−x1\dfrac{2a-x_1-x_2}{x_2-x_1} 的范围.

2025 · 北京 · 第 20 题 · 解答题

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20导数及其应用★★★★★
已知 f(x)=ax−(ln⁡x)2f(x)=ax-(\ln x)^2.
(1) 当 a=1a=1 时，求 f(x)f(x) 在点 (1,f(1))(1,f(1)) 处的切线方程； (2) 当 f(x)f(x) 有三个零点 x1<x2<x3x_1<x_2<x_3 时，
(i) 求 aa 的取值范围； (ii) 证明 (ln⁡x2−ln⁡x1)⋅ln⁡x3<4ee−1(\ln x_2-\ln x_1)\cdot \ln x_3<\frac{4\mathrm{e}}{\mathrm{e}-1}.

2025 · 天津 · 第 20 题 · 解答题

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15解析几何★★★☆☆
已知 A(0,1)A(0,1)，B(1,2)B(1,2)，CC 在 Γ:x2−y2=1\Gamma:x^2-y^2=1（x≥1x\ge1，y≥0y\ge0） 上，则 △ABC\triangle ABC 的面积（ ）
A.
有最大值，但没有最小值
B.
没有最大值，但有最小值
C.
既有最大值，也有最小值
D.
既没有最大值，也没有最小值

2025 · 上海 · 第 15 题 · 选择题

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16函数与初等函数★★★★☆
设 λ∈R\lambda\in\mathbf{R}，数列 {an}\{a_n\}，{bn}\{b_n\}，{cn}\{c_n\} 的通项分别为 an=10n−9a_n=10n-9，bn=2nb_n=2^n，cn=λan+(1−λ)bnc_n=\lambda a_n+(1-\lambda)b_n. 若对任意 λ∈[0,1]\lambda\in[0,1]，ana_n，bnb_n，cnc_n 均能作为三角形的三边长，则满足条件的正整数 nn 有（ ）
A.
1个
B.
3个
C.
4个
D.
无穷多个

2025 · 上海 · 第 16 题 · 选择题

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19导数及其应用★★★★☆
已知 f(x)=x2−(m+2)x+mln⁡xf(x)=x^2-(m+2)x+m\ln x，m∈Rm\in\mathbf{R}.
(1) 若 f(1)=0f(1)=0，求不等式 f(x)≤x2−1f(x)\le x^2-1 的解集； (2) 若 f(x)f(x) 在 (0,+∞)(0,+\infty) 上存在极大值，求 mm 的取值范围.

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11导数及其应用★★★★☆
如图，正方形 ABCDABCD 是一块边长为 44 的工程用料，阴影部分是被腐蚀的区域，其余部分完好，曲线 MNMN 为以 ADAD 为对称轴的抛物线的一部分，且 DM=DN=3DM=DN=3. 工人师傅现要从完好的部分中截取一块矩形原料 BQPRBQPR，当其面积有最大值时，AQAQ 的长为______.

2025 · 上海 · 春季 · 第 11 题 · 填空题

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21函数与初等函数★★★★★
已知函数 y=f(x)y=f(x) 的定义域是 DD. 对于 t∈Dt\in D，定义集合 Sf(t)={x∣f(x)≥f(t)}S_f(t)=\{x\mid f(x)\ge f(t)\}.
(1) f(x)=log⁡2xf(x)=\log_2x，求 Sf(16)S_f(16)； (2) 对于集合 AA，若对任意 x∈Ax\in A 都有 −x∈A-x\in A，则称 AA 是对称集. 若 DD 是对称集，证明：“函数 y=f(x)y=f(x) 是偶函数”的充要条件是“对任意 t∈Dt\in D，Sf(t)S_f(t) 是对称集”； (3) 若 x∈Rx\in\mathbf{R}，f(x)=ex−12mx2f(x)=\mathrm{e}^x-\dfrac12mx^2. 求 mm 的取值范围，使得对于任意 t1<t2∈Dt_1<t_2\in D，都有 Sf(t2)⊆Sf(t1)S_f(t_2)\subseteq S_f(t_1).

2025 · 上海 · 春季 · 第 21 题 · 解答题

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