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20高考真题17分导数及其应用★★★★★
已知 f(x)=ex−23sin⁡xf(x) = e^x - \frac{2}{3}\sin x。
(1) 求曲线 y=f(x)y = f(x) 在点 (0,f(0))(0, f(0)) 处的切线方程；
(2) 当 x∈[−13,+∞)x \in [-\frac{1}{3}, +\infty) 时，证明 f(x)≥1+x3f(x) \ge 1 + \frac{x}{3}；
(3) 求实数 aa 的最大可能值，使得 f(11)⋅f(12)⋅f(13)⋯f(1n)≥(n+1)af(\frac{1}{1}) \cdot f(\frac{1}{2}) \cdot f(\frac{1}{3}) \cdots f(\frac{1}{n}) \ge (n+1)^a 对任意的 n∈N∗n \in N^* 都成立。

2026天津卷 · 第 20 题 · 解答题

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20高考真题15分导数及其应用★★★★★
已知 a∈Ra \in \mathbb{R}, 函数 f(x)=ax−(ln⁡x)2f(x) = ax - (\ln x)^2。
(1) 当 a=1a = 1 时, 求曲线 y=f(x)y = f(x) 在点 (1,f(1))(1, f(1)) 处的切线方程;
(2) 若 f(x)f(x) 有三个零点 x1,x2,x3x_1, x_2, x_3, 且 x1<x2<x3x_1 < x_2 < x_3,
① 求 aa 的取值范围;
② 求证: (ln⁡x2−ln⁡x1)ln⁡x3<4ee−1(\ln x_2 - \ln x_1)\ln x_3 < \frac{4e}{e - 1}。

2025天津卷 · 第 20 题 · 解答题

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09高考真题5分导数及其应用★★★★☆
已知 f(x)=x3+ax2+bx+cf(x) = x^3 + ax^2 + bx + c, 若 f(x)f(x) 有三个零点, 且 f(0)=f(2)=0f(0) = f(2) = 0, 则 a+b+c=a+b+c = （ ）
A.
66
B.
44
C.
22
D.
00

2023天津卷 · 第 9 题 · 选择题

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15高考真题5分导数及其应用★★★★☆
函数 f(x)=ax3−3x+1f(x) = ax^3 - 3x + 1 在 x∈[−1,1]x \in [-1, 1] 上 f(x)≥0f(x) \ge 0 恒成立, 则 a=a =______。

2023天津卷 · 第 15 题 · 填空题

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20高考真题15分导数及其应用★★★★★
f(x)=(1x+12)ln⁡(x+1)f(x) = (\frac{1}{x} + \frac{1}{2})\ln(x+1), 曲线在 (1,f(1))(1,f(1)) 切线为 ll。
(1) 求 ll 方程;
(2) 证 f(x)f(x) 在 (−1,0)(-1,0) 上唯一极大值点;
(3) 若 f(x)≤kxf(x) \le kx 在 (0,+∞)(0,+\infty) 恒成立, 求 kk 范围。

2023天津卷 · 第 20 题 · 解答题

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