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20
高考真题
15分
导数及其应用
★★★★★
已知
a
∈
R
a \in \mathbb{R}
a
∈
R
, 函数
f
(
x
)
=
a
x
−
(
ln
x
)
2
f(x) = ax - (\ln x)^2
f
(
x
)
=
a
x
−
(
ln
x
)
2
。
(1) 当
a
=
1
a = 1
a
=
1
时, 求曲线
y
=
f
(
x
)
y = f(x)
y
=
f
(
x
)
在点
(
1
,
f
(
1
)
)
(1, f(1))
(
1
,
f
(
1
))
处的切线方程;
(2) 若
f
(
x
)
f(x)
f
(
x
)
有三个零点
x
1
,
x
2
,
x
3
x_1, x_2, x_3
x
1
,
x
2
,
x
3
, 且
x
1
<
x
2
<
x
3
x_1 < x_2 < x_3
x
1
<
x
2
<
x
3
,
① 求
a
a
a
的取值范围;
② 求证:
(
ln
x
2
−
ln
x
1
)
ln
x
3
<
4
e
e
−
1
(\ln x_2 - \ln x_1)\ln x_3 < \frac{4e}{e - 1}
(
ln
x
2
−
ln
x
1
)
ln
x
3
<
e
−
1
4
e
。
2025天津卷 · 第 20 题 · 解答题
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加入组题
09
高考真题
5分
导数及其应用
★★★★☆
已知
f
(
x
)
=
x
3
+
a
x
2
+
b
x
+
c
f(x) = x^3 + ax^2 + bx + c
f
(
x
)
=
x
3
+
a
x
2
+
b
x
+
c
, 若
f
(
x
)
f(x)
f
(
x
)
有三个零点, 且
f
(
0
)
=
f
(
2
)
=
0
f(0) = f(2) = 0
f
(
0
)
=
f
(
2
)
=
0
, 则
a
+
b
+
c
=
a+b+c =
a
+
b
+
c
=
（ ）
A.
6
6
6
B.
4
4
4
C.
2
2
2
D.
0
0
0
2023天津卷 · 第 9 题 · 选择题
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加入组题
15
高考真题
5分
导数及其应用
★★★★☆
函数
f
(
x
)
=
a
x
3
−
3
x
+
1
f(x) = ax^3 - 3x + 1
f
(
x
)
=
a
x
3
−
3
x
+
1
在
x
∈
[
−
1
,
1
]
x \in [-1, 1]
x
∈
[
−
1
,
1
]
上
f
(
x
)
≥
0
f(x) \ge 0
f
(
x
)
≥
0
恒成立, 则
a
=
a =
a
=
______。
2023天津卷 · 第 15 题 · 填空题
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20
高考真题
15分
导数及其应用
★★★★★
f
(
x
)
=
(
1
x
+
1
2
)
ln
(
x
+
1
)
f(x) = (\frac{1}{x} + \frac{1}{2})\ln(x+1)
f
(
x
)
=
(
x
1
+
2
1
)
ln
(
x
+
1
)
, 曲线在
(
1
,
f
(
1
)
)
(1,f(1))
(
1
,
f
(
1
))
切线为
l
l
l
。
(1) 求
l
l
l
方程;
(2) 证
f
(
x
)
f(x)
f
(
x
)
在
(
−
1
,
0
)
(-1,0)
(
−
1
,
0
)
上唯一极大值点;
(3) 若
f
(
x
)
≤
k
x
f(x) \le kx
f
(
x
)
≤
k
x
在
(
0
,
+
∞
)
(0,+\infty)
(
0
,
+
∞
)
恒成立, 求
k
k
k
范围。
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