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15指数函数与对数函数★★☆☆☆
已知 a>1a>1，1log⁡8a−1log⁡a4=−52\dfrac{1}{\log_8 a}-\dfrac{1}{\log_a 4}=-\dfrac{5}{2}，则 a=a=______.

2024 · 全国 · 甲卷 · 理 · 第 15 题 · 填空题

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15指数函数与对数函数★★☆☆☆
已知 a>1a>1 且 1log⁡8a−1log⁡a4=−52\dfrac1{\log_8a}-\dfrac1{\log_a4}=-\dfrac52，则 a=a=______.

2024 · 全国 · 甲卷 · 文 · 第 15 题 · 填空题

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13概率与统计★★☆☆☆
从 22，33，88，99 任取两个不同的数值，分别记为 aa，bb，则 log⁡ab\log_a b 为整数的概率是______.

2016 · 四川 · 文 · 第 13 题 · 填空题

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13函数与初等函数★★☆☆☆
某食品的保鲜时间 yy（单位：小时）与储藏温度 xx（单位：∘C^{\circ}\mathrm{C}）满足函数关系 y=ekx+by = \mathrm{e}^{kx + b}（e=2.718⋯\mathrm{e} = 2.718 \cdots 为自然对数的底数，kk，bb 为常数）. 若该食品在 0∘C0^{\circ}\mathrm{C} 的保鲜时间是 192192 小时，在 22∘C22^{\circ}\mathrm{C} 的保鲜时间是 4848 小时，则该食品在 33∘C33^{\circ}\mathrm{C} 的保鲜时间是______ 小时.
\begin{solution} 由 y(0)=eb=192y(0)=\mathrm{e}^b=192，y(22)=e22k+b=48y(22)=\mathrm{e}^{22k+b}=48，两式相除得 e22k=14\mathrm{e}^{22k}=\dfrac14. 因此
y(33)=e33k+b=eb(e22k)3322=192(14)32=24y(33)=\mathrm{e}^{33k+b}=\mathrm{e}^b\left(\mathrm{e}^{22k}\right)^{\frac{33}{22}}=192\left(\frac14\right)^{\frac{3}{2}}=24
\end{solution}

2015 · 四川 · 理 · 第 13 题 · 填空题

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15函数与初等函数★★★★☆
已知函数 f(x)=2xf(x) = 2^x，g(x)=x2+axg(x) = x^2 + ax（其中 a∈Ra \in \mathbf{R}）. 对于不相等的实数 x1x_1，x2x_2，设 m=f(x1)−f(x2)x1−x2m = \frac{f(x_1) - f(x_2)}{x_1 - x_2}，n=g(x1)−g(x2)x1−x2n = \frac{g(x_1) - g(x_2)}{x_1 - x_2}，现有如下命题：
① 对于任意不相等的实数 x1x_{1}，x2x_{2}，都有 m>0m > 0； ② 对于任意的 aa 及任意不相等的实数 x1x_{1}，x2x_{2}，都有 n>0n > 0； ③ 对于任意的 aa，存在不相等的实数 x1x_{1}，x2x_{2}，使得 m=nm = n； ④ 对于任意的 aa，存在不相等的实数 x1x_{1}，x2x_{2}，使得 m=−nm = -n.
其中的真命题有______. （写出所有真命题的序号）
\begin{solution} 先化简
n=x12−x22+a(x1−x2)x1−x2=x1+x2+an=\frac{x_1^2-x_2^2+a(x_1-x_2)}{x_1-x_2}=x_1+x_2+a
因为 2x2^x 在 R\mathbf{R} 上严格递增，所以 x1≠x2x_1\ne x_2 时 m>0m>0，命题 1 为真. 命题 2 不真，例如取 a=0a=0，x1=−2x_1=-2，x2=−1x_2=-1，则 n=−3<0n=-3<0.
命题 3 也不真. 取 a=−10a=-10，记 s=x1+x2s=x_1+x_2，d=x1−x2≠0d=x_1-x_2\ne0，则
m=2s22d2−2−d2d>(ln⁡2)2s2m=2^{\frac{s}{2}}\frac{2^{\frac{d}{2}}-2^{-\frac{d}{2}}}{d}>(\ln2)2^{\frac{s}{2}}
若 s⩽10s\leqslant10，则 n=s−10⩽0<mn=s-10\leqslant0<m. 若 s>10s>10，函数 (ln⁡2)2s2−(s−10)(\ln2)2^{\frac{s}{2}}-(s-10) 的导数在 [10,+∞)[10,+\infty) 上为正，因此该函数递增且在 s=10s=10 时为正，所以仍有 m>s−10=nm>s-10=n，不可能 m=nm=n.
对于命题 4，固定取 x1=t+1x_1=t+1，x2=t−1x_2=t-1，则 m=34 2tm=\dfrac34\,2^t，n=2t+an=2t+a. 函数 h(t)=34 2t+2t+ah(t)=\dfrac34\,2^t+2t+a 连续，且当 t→−∞t\to-\infty 时 h(t)→−∞h(t)\to-\infty，当 t→+∞t\to+\infty 时 h(t)→+∞h(t)\to+\infty. 由介值定理，存在 tt 使 h(t)=0h(t)=0，即 m=−nm=-n，命题 4 为真. 所以真命题的序号为 \circled1\circled4\circled{1}\circled{4}. \end{solution}

2015 · 四川 · 理 · 第 15 题 · 填空题

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12指数函数与对数函数★☆☆☆☆
lg⁡0.01+log⁡216\lg 0.01 + \log_2 16 的值是______.

2015 · 四川 · 文 · 第 12 题 · 填空题

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15函数与初等函数★★★★☆
已知函数 f(x)=2xf(x) = 2^x，g(x)=x2+axg(x) = x^2 + ax（其中 a∈Ra \in \mathbf{R}）. 对于不相等的实数 x1x_1，x2x_2，设 m=f(x1)−f(x2)x1−x2m = \frac{f(x_1) - f(x_2)}{x_1 - x_2}，n=g(x1)−g(x2)x1−x2n = \frac{g(x_1) - g(x_2)}{x_1 - x_2}，现有如下命题：
① 对于任意不相等的实数 x1x_1，x2x_2，都有 m>0m > 0； ② 对于任意的 aa 及任意不相等的实数 x1x_1，x2x_2，都有 n>0n > 0； ③ 对于任意的 aa，存在不相等的实数 x1x_1，x2x_2，使得 m=nm = n； ④ 对于任意的 aa，存在不相等的实数 x1x_1，x2x_2，使得 m=−nm = -n.
其中的真命题有______（写出所有真命题的序号）.

2015 · 四川 · 文 · 第 15 题 · 填空题

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11指数函数与对数函数★☆☆☆☆
lg⁡5+lg⁡20\lg\sqrt{5}+\lg\sqrt{20} 的值是______.

2013 · 四川 · 文 · 第 11 题 · 填空题

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13指数函数与对数函数★☆☆☆☆
计算 (lg⁡14−lg⁡25)÷100−12=‾\left(\lg \frac{1}{4} - \lg 25\right) \div 100^{-\frac{1}{2}} =\underline{\hspace{2em}}.

2011 · 四川 · 理 · 第 13 题 · 填空题

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