已知函数 $f(x)=a^x$，$g(x)=\log_a x$，其中 $a>1$.

(1) 求函数 $h(x)=f(x)-x\ln a$ 的单调区间； (2) 若曲线 $y=f(x)$ 在点 $(x_1,f(x_1))$ 处的切线与曲线 $y=g(x)$ 在点 $(x_2,g(x_2))$ 处的切线平行，证明 $x_1+g(x_2)=-\frac{2\ln\ln a}{\ln a}$； (3) 证明当 a\ge \mathrm{e}^{\frac1\mathrm{e}} 时，存在直线 $l$，使 $l$ 是曲线 $y=f(x)$ 的切线，也是曲线 $y=g(x)$ 的切线.