已知函数 $f(x)$ 的定义域为 $\mathbf{R}$，且当 $x<0$ 时，$f(x)=2^x$. 对任意 $x_0\in\mathbf{R}$，定义集合 $D(x_0)=\{d\in\mathbf{R} \mid f(x_0+d)>f(x_0)\}$.

(1) 若当 $x\ge 0$ 时，$f(x)=1-x$，求 $D(-1)$； (2) 若 $f(x)$ 是奇函数，$f(x_1)\le f(x_2)$，且 $x_1x_2\ne 0$，证明：$D(x_2)\subseteq D(x_1)$； (3) 设 $f(x)$ 满足：① 若 $f(x_1)\le f(x_2)$，则 $D(x_2)\subseteq D(x_1)$；② 当 $0<x<1$ 时，$f(x)<f(0)$.

(i) 证明：$f(0)\ge 1$； (ii) 证明：$f(x)$ 在区间 $(0,+\infty)$ 单调递增．

设 $a$，$b\in\mathbf{R}$，且 $a>1$，函数 $f(x)=a^x-bx+\mathrm{e}^2$（$x\in\mathbf{R}$）.

(1) 求函数 $f(x)$ 的单调区间； (2) 若对任意 $b>2\mathrm{e}^2$，函数 $f(x)$ 有两个不同零点，求 $a$ 的取值范围； (3) 当 $a=\mathrm{e}$ 时，证明：对任意 $b>\mathrm{e}^4$，函数 $f(x)$ 有两个不同零点 $x_1$，$x_2$，使 $x_2>\frac{b\ln b}{2\mathrm{e}^2}x_1+\frac{\mathrm{e}^2}{b}$.