已知函数 $f(x)$ 的定义域为 $\mathbf{R}$，且当 $x<0$ 时，$f(x)=2^x$. 对任意 $x_0\in\mathbf{R}$，定义集合 $D(x_0)=\{d\in\mathbf{R} \mid f(x_0+d)>f(x_0)\}$.

(1) 若当 $x\ge 0$ 时，$f(x)=1-x$，求 $D(-1)$； (2) 若 $f(x)$ 是奇函数，$f(x_1)\le f(x_2)$，且 $x_1x_2\ne 0$，证明：$D(x_2)\subseteq D(x_1)$； (3) 设 $f(x)$ 满足：① 若 $f(x_1)\le f(x_2)$，则 $D(x_2)\subseteq D(x_1)$；② 当 $0<x<1$ 时，$f(x)<f(0)$.

(i) 证明：$f(0)\ge 1$； (ii) 证明：$f(x)$ 在区间 $(0,+\infty)$ 单调递增．

在等比数列 $\{a_n\}$ 中，$a_2 = 3$，$a_5 = 81$.

(1) 求 $a_n$； (2) 设 $b_n = \log_{3} a_n$，求数列 $\{b_n\}$ 的前 $n$ 项和 $S_n$.

\begin{solution} \begin{enumerate} \item 设等比数列的公比为 $q$. 由 $a_5=a_2q^3$，得 $81=3q^3$，所以 $q^3=27$，从而 $q=3$. 又 $a_1=\frac{a_2}{q}=1$，故 $a_n=a_1q^{n-1}=3^{n-1}$. \item 由 $a_n=3^{n-1}>0$，得 $b_n=\log_3a_n=n-1$. 因此 $S_n=\sum_{k=1}^{n}b_k=\sum_{k=1}^{n}(k-1)=\frac{n(n-1)}{2}$. \end{enumerate} \end{solution}