已知 $\{a_n\}$ 是各项均为正数的等比数列，$a_1=2$，$a_3=2a_2+16$.

(1) 求 $\{a_n\}$ 的通项公式； (2) 设 $b_n=\log_2 a_n$，求数列 $\{b_n\}$ 的前 $n$ 项和.

已知函数 $f(x) = \mathrm{e}^{x}$，$x \in \mathbf{R}$.

(1) 求 $f(x)$ 的反函数的图象上点 $(1,0)$ 处的切线方程. (2) 证明：曲线 $y = f(x)$ 与曲线 $y = \frac{1}{2} x^2 + x + 1$ 有唯一公共点. (3) 设 $a < b$，比较 $f\left(\frac{a + b}{2}\right)$ 与 $\frac{f(b) - f(a)}{b - a}$ 的大小，并说明理由.