设 $a$，$b\in\mathbf{R}$，且 $a>1$，函数 $f(x)=a^x-bx+\mathrm{e}^2$（$x\in\mathbf{R}$）.

(1) 求函数 $f(x)$ 的单调区间； (2) 若对任意 $b>2\mathrm{e}^2$，函数 $f(x)$ 有两个不同零点，求 $a$ 的取值范围； (3) 当 $a=\mathrm{e}$ 时，证明：对任意 $b>\mathrm{e}^4$，函数 $f(x)$ 有两个不同零点 $x_1$，$x_2$，使 $x_2>\frac{b\ln b}{2\mathrm{e}^2}x_1+\frac{\mathrm{e}^2}{b}$.