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05函数与初等函数★☆☆☆☆
函数 f(x)f(x) 是偶函数. 当 x≥0x\ge 0 时，f(x)=x−af(x)=\sqrt{x}-a. 若 f(−4)=3f(-4)=3，则 a=‾a=\underline{\hspace{2em}}.

2026 · 上海 · 第 5 题 · 填空题

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12平面向量★★★★☆
已知函数 f(x)f(x) 满足：当 x>0x>0 时 f(x)=1f(x)=1，当 x=0x=0 时 f(x)=0f(x)=0，当 x<0x<0 时 f(x)=−1f(x)=-1. a\boldsymbol{a}，b\boldsymbol{b}，c\boldsymbol{c} 分别为平面内三个不同的单位向量. 若 f(a⋅b)+f(b⋅c)+f(c⋅a)=0f(\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b})+f(\boldsymbol{b}\cdot\boldsymbol{c})+f(\boldsymbol{c}\cdot\boldsymbol{a})=0，则 ∣a+b+c∣|\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}+\boldsymbol{c}| 的可取值范围是______.

2025 · 上海 · 第 12 题 · 填空题

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02函数与初等函数★☆☆☆☆
已知
f(x)={x,x>0,1,x≤0,f(x)=\begin{cases} \sqrt{x}, & x>0,\\ 1, & x\le 0, \end{cases}
则 f(3)=f(3)=______.

2024 · 上海 · 第 2 题 · 填空题

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04函数与初等函数★☆☆☆☆
已知 f(x)=x3+af(x)=x^3+a，x∈Rx\in \mathbf{R}，且 f(x)f(x) 是奇函数，则 a=a=______.

2024 · 上海 · 第 4 题 · 填空题

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05函数与初等函数★☆☆☆☆
函数
y={2x,x>0,1,x≤0,y=\begin{cases} 2^x,&x>0,\\ 1,&x\le 0, \end{cases}
的值域为______.

2023 · 上海 · 第 5 题 · 填空题

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08函数与初等函数★★☆☆☆
已知 f(x)f(x) 为奇函数，且
f(x)={a2x−1,x<0,x+a,x>0,f(x)=\begin{cases} a^2x-1, & x<0,\\ x+a, & x>0, \end{cases}
则实数 a=‾a=\underline{\hspace{2em}}.

2022 · 上海 · 第 8 题 · 填空题

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12函数与初等函数★★★★☆
设函数 y=f(x)y=f(x)，定义域为 [0,+∞)[0,+\infty)，值域为 AA，且对定义域中任意实数 xx 都成立 f(x)=f(1x+1)f(x)=f\left(\frac1{x+1}\right). 若 {y∣y=f(x),x∈[0,a]}=A\{y\mid y=f(x),x\in[0,a]\}=A，则实数 aa 的取值范围是______.

2022 · 上海 · 第 12 题 · 填空题

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05函数与初等函数★☆☆☆☆
已知 f(x)=3x+2f(x)=\frac{3}{x}+2，则 f−1(1)=f^{-1}(1)=______.

2021 · 上海 · 第 5 题 · 填空题

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04函数与初等函数★☆☆☆☆
已知函数 f(x)=x3f(x)=x^3，f−1(x)f^{-1}(x) 是 f(x)f(x) 的反函数，则 f−1(x)=f^{-1}(x)=______.

2020 · 上海 · 第 4 题 · 填空题

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11函数与初等函数★★★★☆
设 a∈Ra\in\mathbf{R}，若存在定义域为 R\mathbf{R} 的函数 f(x)f(x) 同时满足下列两个条件：
(1) 对任意的 x0∈Rx_0\in\mathbf{R}，f(x0)f(x_0) 的值为 x0x_0 或 x02x_0^2； (2) 关于 xx 的方程 f(x)=af(x)=a 无实数解，
则 aa 的取值范围是______.

2020 · 上海 · 第 11 题 · 填空题

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06函数与初等函数★☆☆☆☆
已知函数 f(x)f(x) 周期为 11，且当 0<x≤10<x\le1 时，f(x)=−log⁡2xf(x)=-\log_2x，则 f(32)=f\left(\frac32\right)=______.

2019 · 上海 · 第 6 题 · 填空题

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07导数及其应用★★★☆☆
若 xx，y∈R+y\in\mathbf{R}^+，且 1x+2y=3\frac1x+2y=3，则 yx\frac yx 的最大值为______.

2019 · 上海 · 第 7 题 · 填空题

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12函数与初等函数★★★★☆
常数 a>0a>0，将函数 y=2xy=\frac2x（x>0x>0）的图象先向右平移 11 个单位，再向下平移 aa 个单位，然后将所得的图象在 xx 轴下方的部分沿 xx 轴向上翻折，其余部分保持不变，得到函数 f(x)=∣2x−1−a∣f(x)=\left|\frac2{x-1}-a\right|（x>1x>1）的图象 LL，当 a=a0a=a_0 时，LL 与 xx 轴交点为 AA，在 LL 上任意一点 PP（PP 异于 AA），总存在一点 QQ 使得 AP⊥AQAP\perp AQ 且 ∣AP∣=∣AQ∣|AP|=|AQ|，则 a0=a_0=______.

2019 · 上海 · 第 12 题 · 填空题

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07函数与初等函数★★☆☆☆
已知 α∈{−2,−1,−12,12,1,2,3}\alpha\in\{-2,-1,-\frac12,\frac12,1,2,3\}. 若幂函数 f(x)=xαf(x)=x^\alpha 为奇函数，且在 (0,+∞)(0,+\infty) 上递减，则 α=\alpha=______.

2018 · 上海 · 第 7 题 · 填空题

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11函数与初等函数★★★★☆
已知常数 a>0a>0，函数 f(x)=2x2x+axf(x)=\frac{2^x}{2^x+ax} 的图像经过点 P(p,65)P\left(p,\frac65\right)，Q(q,−15)Q\left(q,-\frac15\right). 若 2p+q=36pq2^{p+q}=36pq，则 a=a=______.

2018 · 上海 · 第 11 题 · 填空题

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08函数与初等函数★★★☆☆
定义在 (0,+∞)(0,+\infty) 上的函数 y=f(x)y=f(x) 的反函数为 y=f−1(x)y=f^{-1}(x). 若
g(x)={3x−1,x≤0,f(x),x>0,g(x)=\begin{cases} 3^x-1,&x\le 0,\\ f(x),&x>0, \end{cases}
为奇函数，则 f−1(x)=2f^{-1}(x)=2 的解为______.

2017 · 上海 · 第 8 题 · 填空题

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09概率与统计★★★☆☆
已知四个函数：
① y=−xy=-x； ② y=−1xy=-\dfrac1x； ③ y=x3y=x^3； ④ y=x12y=x^{\frac12}.
从中任选 22 个，则事件“所选 22 个函数的图像有且仅有一个公共点”的概率为______.

2017 · 上海 · 第 9 题 · 填空题

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10函数与初等函数★★★☆☆
设 f−1(x)f^{-1}(x) 为 f(x)=2x−2+x2f(x) = 2^{x - 2} + \frac{x}{2}，x∈[0,2]x \in [0,2] 的反函数，则 y=f(x)+f−1(x)y = f(x) + f^{-1}(x) 的最大值为______.

2015 · 上海 · 理 · 第 10 题 · 填空题

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04函数与初等函数★☆☆☆☆
设 f−1(x)f^{-1}(x) 为 f(x)=x2x+1f(x)=\frac{x}{2x+1} 的反函数，则 f−1(2)=f^{-1}(2)=______.

2015 · 上海 · 文 · 第 4 题 · 填空题

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14三角函数★★★★☆
已知函数 f(x)=sin⁡xf(x) = \sin x. 若存在 x1x_1，x2x_2，…\dots，xmx_m 满足 0⩽x1<x2<⋯<xm⩽6π0 \leqslant x_1 < x_2 < \dots < x_m \leqslant 6\pi，且 ∣f(x1)−f(x2)∣+∣f(x2)−f(x3)∣+⋯+∣f(xm−1)−f(xm)∣=12|f(x_1) - f(x_2)| + |f(x_2) - f(x_3)| + \dots + |f(x_{m-1}) - f(x_m)| = 12（m⩾2m \geqslant 2，m∈N∗m \in \mathbf{N}^*），则 mm 的最小值为______.

2015 · 上海 · 文 · 第 14 题 · 填空题

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04函数与初等函数★☆☆☆☆
设
f(x)={x,x∈(−∞,a),x2,x∈[a,+∞),f(x) = \begin{cases} x, & x \in (-\infty, a),\\ x^2, & x \in [a, +\infty), \end{cases}
若 f(2)=4f(2) = 4，则 aa 的取值范围为______.

2014 · 上海 · 理 · 第 4 题 · 填空题

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09函数与初等函数★★☆☆☆
若 f(x)=x23−x−12f(x) = x^{\frac{2}{3}} - x^{-\frac{1}{2}}，则满足 f(x)<0f(x) < 0 的 xx 的取值范围是______.

2014 · 上海 · 理 · 第 9 题 · 填空题

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09函数与初等函数★★★☆☆
设
f(x)={(x−a)2,x⩽0,x+1x+a,x>0,f(x) = \begin{cases} (x - a)^2, & x \leqslant 0,\\ x + \frac{1}{x} + a, & x > 0, \end{cases}
若 f(0)f(0) 是 f(x)f(x) 的最小值，则 aa 的取值范围为______.
\begin{answer} [0,2]\left[0,2\right] \end{answer}
\begin{solution} 有 f(0)=a2f(0)=a^2. 若 a<0a<0，则点 x=a⩽0x=a\leqslant0 属于第一段定义域，且 f(a)=0<a2=f(0)f(a)=0<a^2=f(0)，不合题意，所以必须有 a⩾0a\geqslant0. 此时对任意 x⩽0x\leqslant0，有 a−x⩾aa-x\geqslant a，从而 f(x)=(a−x)2⩾a2=f(0)f(x)=(a-x)^2\geqslant a^2=f(0). 对任意 x>0x>0，由基本不等式得 x+1x+a⩾2+ax+\dfrac1x+a\geqslant2+a，且在 x=1x=1 时取等号. 因而 f(0)f(0) 为全局最小值的充要条件是 a2⩽a+2a^2\leqslant a+2. 联立 a⩾0a\geqslant0，得 (a−2)(a+1)⩽0(a-2)(a+1)\leqslant0，所以 0⩽a⩽20\leqslant a\leqslant2. \end{solution}

2014 · 上海 · 文 · 第 9 题 · 填空题

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11不等式★★☆☆☆
若 f(x)=x23−x−12f(x) = x^{\frac{2}{3}} - x^{-\frac{1}{2}}，则满足 f(x)<0f(x) < 0 的 xx 的取值范围是______.
\begin{answer} (0,1)\left(0,1\right) \end{answer}
\begin{solution} 由于含有 x−12=1xx^{-\frac{1}{2}}=\dfrac1{\sqrt x}，函数定义域为 x>0x>0. 在此范围内，f(x)<0f(x)<0 等价于 x23<x−12x^{\frac{2}{3}}<x^{-\frac{1}{2}}. 两边同乘正数 x12x^{\frac{1}{2}}，得 x76<1x^{\frac{7}{6}}<1，所以 0<x<10<x<1. \end{solution}

2014 · 上海 · 文 · 第 11 题 · 填空题

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12函数与初等函数★★★★☆
设 aa 为实常数，y=f(x)y=f(x) 是定义在 R\mathbf{R} 上的奇函数，当 x<0x<0 时， f(x)=9x+a2x+7f(x)=9x+\frac{a^2}{x}+7. 若 f(x)⩾a+1f(x)\geqslant a+1 对一切 x⩾0x\geqslant 0 成立，则 aa 的取值范围为______. \begin{answer} (−∞,−87]\left(-\infty,-\frac{8}{7}\right] \end{answer}
\begin{solution} 奇函数满足 f(0)=0f(0)=0，由题设不等式在 x=0x=0 时得 0⩾a+10\geqslant a+1，即 a⩽−1a\leqslant-1，所以 a<0a<0. 当 x>0x>0 时，由奇性和题设中负数部分的表达式，
f(x)=−f(−x)=9x+a2x−7f(x)=-f(-x)=9x+\frac{a^2}{x}-7
故所需条件等价于 9x+a2x⩾a+89x+\frac{a^2}{x}\geqslant a+8，x>0x>0. 因为 a<0a<0，由基本不等式
9x+a2x⩾29x⋅a2x=6∣a∣=−6a9x+\frac{a^2}{x}\geqslant2\sqrt{9x\cdot\frac{a^2}{x}}=6|a|=-6a
且在 x=−a3>0x=\frac{-a}{3}>0 时取等号. 因此上式对所有 x>0x>0 成立，当且仅当
−6a⩾a+8-6a\geqslant a+8
即 a⩽−87a\leqslant-\frac87. 该范围自动满足 a⩽−1a\leqslant-1，所以
a∈(−∞,−87]a\in\left(-\infty,-\frac87\right]
\end{solution}

2013 · 上海 · 理 · 第 12 题 · 填空题

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