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16函数与初等函数★★★★☆
设 λ∈R\lambda\in\mathbf{R}，数列 {an}\{a_n\}，{bn}\{b_n\}，{cn}\{c_n\} 的通项分别为 an=10n−9a_n=10n-9，bn=2nb_n=2^n，cn=λan+(1−λ)bnc_n=\lambda a_n+(1-\lambda)b_n. 若对任意 λ∈[0,1]\lambda\in[0,1]，ana_n，bnb_n，cnc_n 均能作为三角形的三边长，则满足条件的正整数 nn 有（ ）
A.
1个
B.
3个
C.
4个
D.
无穷多个

2025 · 上海 · 第 16 题 · 选择题

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16函数与初等函数★★★★☆
已知函数 f(x)f(x) 的定义域为 R\mathbf{R}，定义集合 M={x0∣x0∈R, ∀x∈(−∞,x0), f(x)<f(x0)}M=\{x_0\mid x_0\in \mathbf{R},\ \forall x\in(-\infty,x_0),\ f(x)<f(x_0)\}. 在使得 M=[−1,1]M=[-1,1] 的所有 f(x)f(x) 中，下列成立的是（ ）
A.
存在 y=f(x)y=f(x) 是偶函数
B.
存在 y=f(x)y=f(x) 在 x=2x=2 处取最大值
C.
存在 y=f(x)y=f(x) 是严格增函数
D.
存在 y=f(x)y=f(x) 在 x=−1x=-1 处取到极小值

2024 · 上海 · 第 16 题 · 选择题

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13函数与初等函数★☆☆☆☆
以下哪个函数既是奇函数，又是减函数（ ）
A.
y=−3xy=-3x
B.
y=x3y=x^3
C.
y=log⁡3xy=\log_3 x
D.
y=3xy=3^x

2021 · 上海 · 第 13 题 · 选择题

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16集合与逻辑基础★★★☆☆
命题 pp：存在 a∈Ra\in\mathbf{R} 且 a≠0a\neq0，对于任意的 x∈Rx\in\mathbf{R}，使得 f(x+a)<f(x)+f(a)f(x+a)<f(x)+f(a)；
命题 q1q_1：f(x)f(x) 单调递减且 f(x)>0f(x)>0 恒成立；
命题 q2q_2：f(x)f(x) 单调递增，存在 x0<0x_0<0 使得 f(x0)=0f(x_0)=0，
则下列说法正确的是（ ）
A.
只有 q1q_1 是 pp 的充分条件
B.
只有 q2q_2 是 pp 的充分条件
C.
q1q_1，q2q_2 都是 pp 的充分条件
D.
q1q_1，q2q_2 都不是 pp 的充分条件

2020 · 上海 · 第 16 题 · 选择题

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15函数与初等函数★★★★★
已知 ω∈R\omega\in\mathbf{R}，函数 f(x)=(x−6)2sin⁡(ωx)f(x)=(x-6)^2\sin(\omega x)，存在常数 a∈Ra\in\mathbf{R}，使得 f(x+a)f(x+a) 为偶函数，则 ω\omega 可能的值为（ ）
A.
π2\frac\pi2
B.
π3\frac\pi3
C.
π4\frac\pi4
D.
π5\frac\pi5

2019 · 上海 · 第 15 题 · 选择题

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16函数与初等函数★★★★☆
设 DD 是含数 11 的有限实数集，f(x)f(x) 是定义在 DD 上的函数. 若 f(x)f(x) 的图像绕原点逆时针旋转 π6\frac\pi6 后与原图像重合，则在以下各项中，f(1)f(1) 的可能取值只能是（ ）
A.
3\sqrt3
B.
32\frac{\sqrt3}{2}
C.
33\frac{\sqrt3}{3}
D.
00

2018 · 上海 · 第 16 题 · 选择题

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18函数与初等函数★★★★☆
设 f(x)f(x)，g(x)g(x)，h(x)h(x) 是定义域为 R\mathbf{R} 的三个函数. 对于命题：
① 若 f(x)+g(x)f(x)+g(x)，f(x)+h(x)f(x)+h(x)，g(x)+h(x)g(x)+h(x) 均为增函数，则 f(x)f(x)，g(x)g(x)，h(x)h(x) 中至少有一个为增函数； ② 若 f(x)+g(x)f(x)+g(x)，f(x)+h(x)f(x)+h(x)，g(x)+h(x)g(x)+h(x) 均是以 TT 为周期的函数，则 f(x)f(x)，g(x)g(x)，h(x)h(x) 均是以 TT 为周期的函数.
下列判断正确的是（ ）
A.
\circled1\circled{1} 和 \circled2\circled{2} 均为真命题
B.
\circled1\circled{1} 和 \circled2\circled{2} 均为假命题
C.
\circled1\circled{1} 为真命题，\circled2\circled{2} 为假命题
D.
\circled1\circled{1} 为假命题，\circled2\circled{2} 为真命题

2016 · 上海 · 理 · 第 18 题 · 选择题

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18函数与初等函数★★★★☆
设 f(x)f(x)，g(x)g(x)，h(x)h(x) 是定义域为 R\mathbf{R} 的三个函数. 对于命题：
① 若 f(x)+g(x)f(x)+g(x)，f(x)+h(x)f(x)+h(x)，g(x)+h(x)g(x)+h(x) 均为增函数，则 f(x)f(x)，g(x)g(x)，h(x)h(x) 中至少有一个为增函数； ② 若 f(x)+g(x)f(x)+g(x)，f(x)+h(x)f(x)+h(x)，g(x)+h(x)g(x)+h(x) 均是以 TT 为周期的函数，则 f(x)f(x)，g(x)g(x)，h(x)h(x) 均是以 TT 为周期的函数.
则下列判断正确的是（ ）
A.
\circled1\circled{1} 和 \circled2\circled{2} 均为真命题
B.
\circled1\circled{1} 和 \circled2\circled{2} 均为假命题
C.
\circled1\circled{1} 为真命题，\circled2\circled{2} 为假命题
D.
\circled1\circled{1} 为假命题，\circled2\circled{2} 为真命题

2016 · 上海 · 文 · 第 18 题 · 选择题

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18解析几何★★★★☆
设 Pn(xn,yn)P_{n}(x_{n}, y_{n}) 是直线 2x−y=nn+12x - y = \frac{n}{n + 1}（n∈N∗n \in \mathbf{N}^{*}）与圆 x2+y2=2x^{2} + y^{2} = 2 在第一象限的交点，则极限 lim⁡n→∞yn−1xn−1=\displaystyle\lim_{n \to \infty} \frac{y_{n} - 1}{x_{n} - 1} =（ ）
A.
−1-1
B.
−12-\frac{1}{2}
C.
1
D.
2

2015 · 上海 · 理 · 第 18 题 · 选择题

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18函数与初等函数★★★☆☆
设
f(x)={(x−a)2,x⩽0,x+1x+a,x>0,f(x) = \begin{cases} (x - a)^2, & x \leqslant 0,\\ x + \frac{1}{x} + a, & x > 0, \end{cases}
若 f(0)f(0) 是 f(x)f(x) 的最小值，则 aa 的取值范围为（ ）
A.
[−1,2][-1, 2]
B.
[−1,0][-1,0]
C.
[1,2][1, 2]
D.
[0,2][0,2]

2014 · 上海 · 理 · 第 18 题 · 选择题

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15函数与初等函数★★☆☆☆
函数 f(x)=x2−1f(x) = x^2 - 1 （x⩾1x \geqslant 1）的反函数为 f−1(x)f^{-1}(x)，则 f−1(2)f^{-1}(2) 的值是（\quad）
\begin{answer} A \end{answer}
\begin{solution} 由 y=x2−1y=x^2-1 且 x⩾1x\geqslant1，反解得 x=y+1x=\sqrt{y+1}. 因而 f−1(x)=x+1f^{-1}(x)=\sqrt{x+1}，所以
f−1(2)=3f^{-1}(2)=\sqrt3
因此选 A. \end{solution}
A.
3\sqrt{3}
B.
−3-\sqrt{3}
C.
1+21 + \sqrt{2}
D.
1−21 - \sqrt{2}

2013 · 上海 · 文 · 第 15 题 · 选择题

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15复数★★☆☆☆
若 1+2i1 + \sqrt{2}\mathrm{i} 是关于 xx 的实系数方程 x2+bx+c=0x^{2} + bx + c = 0 的一个复数根，则（ ）
A.
b=2,c=3b = 2, c = 3
B.
b=2b = 2，c=−1c = -1
C.
b=−2b = -2，c=−1c = -1
D.
b=−2b = -2，c=3c = 3

2012 · 上海 · 文 · 第 15 题 · 选择题

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16函数与初等函数★★☆☆☆
下列函数中，既是偶函数，又是在区间 (0,+∞)(0,+\infty) 上单调递减的函数是（ ）
A.
y=ln⁡1∣x∣y = \ln \frac{1}{|x|}
B.
y=x3y = x^{3}
C.
y=2∣x∣y = 2^{|x|}
D.
y=cos⁡xy = \cos x

2011 · 上海 · 理 · 第 16 题 · 选择题

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15函数与初等函数★★☆☆☆
下列函数中，既是偶函数，又在区间 (0,+∞)(0, +\infty) 上单调递减的是（ ）
A.
y=x−2y = x^{-2}
B.
y=x−1y = x^{-1}
C.
y=x2y = x^{2}
D.
y=x13y = x^{\frac{1}{3}}

2011 · 上海 · 文 · 第 15 题 · 选择题

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17函数与初等函数★★★☆☆
若 x0x_0 是方程 (12)x=x13\left(\frac{1}{2}\right)^x = x^{\frac{1}{3}} 的解，则 x0x_0 属于区间（ ）
\begin{answer} C \end{answer}
\begin{solution} 左边 (12)x\left(\frac12\right)^x 始终为正，所以方程的解必须满足 x>0x>0. 对 x>0x>0 两边取自然对数，得 xln⁡12=13ln⁡xx\ln\frac12=\frac13\ln x，即 x⋅8x=1\text{即 }x\cdot 8^x=1. 函数 g(x)=x8xg(x)=x8^x 在 x>0x>0 上严格递增，因为 g′(x)=8x(1+xln⁡8)>0g'(x)=8^x(1+x\ln8)>0，所以方程至多有一个正根.
又 g(13)=13⋅2=23<1g\left(\frac13\right)=\frac13\cdot2=\frac23<1，g(12)=12⋅8=2>1g\left(\frac12\right)=\frac12\cdot\sqrt8=\sqrt2>1. 由连续性，方程的根属于 (13,12)\left(\frac13,\frac12\right)，故选 C. \end{solution}
A.
(23,1)\left(\frac{2}{3},1\right)
B.
(12,23)\left(\frac{1}{2}, \frac{2}{3}\right)
C.
(13,12)\left(\frac{1}{3}, \frac{1}{2}\right)
D.
(0,13)\left(0, \frac{1}{3}\right)

2010 · 上海 · 理 · 第 17 题 · 选择题

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17函数与初等函数★★★☆☆
若 x0x_0 是方程 lg⁡x+x=2\lg x + x = 2 的解，则 x0x_0 属于区间（ ）
A.
(0,1)(0,1)
B.
(1,1.25)(1, 1.25)
C.
(1.25,1.75)(1.25, 1.75)
D.
(1.75,2)(1.75, 2)

2010 · 上海 · 文 · 第 17 题 · 选择题

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18解析几何★★★★☆
过圆 C:(x−1)2+(y−1)2=1C: (x - 1)^2 + (y - 1)^2 = 1 的圆心作直线分别交 xx，yy 正半轴于点 AA，BB，△AOB\triangle AOB 被圆分成四部分（如图），若这四部分图形面积满足 SI+SIV=SII+SIIIS_{\mathrm I} + S_{\mathrm{IV}} = S_{\mathrm{II}} + S_{\mathrm{III}}，则直线 ABAB 有（ ）
A.
00 条
B.
11 条
C.
22 条
D.
33 条

2009 · 上海 · 理 · 第 18 题 · 选择题

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15函数与初等函数★★★★☆
如图，在平面直角坐标系中，Ω\Omega 是一个与 xx 轴的正半轴，yy 轴的正半轴分别相切于点 CC，DD 的定圆所围成区域（含边界），AA，BB，CC，DD 是该圆的四等分点. 若点 P(x,y)P(x, y)，点 P′(x′,y′)P'(x', y') 满足 x⩽x′x \leqslant x' 且 y⩾y′y \geqslant y'，则称 PP 优于 P′P'. 如果 Ω\Omega 中的点 QQ 满足：不存在 Ω\Omega 中的其它点优于 QQ，那么所有这样的点 QQ 组成的集合是劣弧（ ）
A.
弧 ABAB
B.
弧 BCBC
C.
弧 CDCD
D.
弧 DADA

2008 · 上海 · 文 · 第 15 题 · 选择题

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12复数★★☆☆☆
已知 aa，b∈Rb \in \mathbf{R}，且 2+ai2 + a\mathrm{i}，b+ib + \mathrm{i}（i\mathrm{i} 是虚数单位）是实系数一元二次方程 x2+px+q=0x^{2} + px + q = 0 的两个根，那么 pp，qq 的值分别是（ ）
A.
p=−4,q=5p = -4, q = 5
B.
p=−4p = -4，q=3q = 3
C.
p=4p = 4，q=5q = 5
D.
p=4p = 4，q=3q = 3

2007 · 上海 · 理 · 第 12 题 · 选择题

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13函数与初等函数★★☆☆☆
若函数 f(x)=12x+1f(x) = \frac{1}{2^x + 1}，则该函数在 (−∞,+∞)(- \infty, +\infty) 上是（ ）
A.
单调递减无最小值
B.
单调递减有最小值
C.
单调递增无最大值
D.
单调递增有最大值

2005 · 上海 · 理 · 第 13 题 · 选择题

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15解析几何★★★☆☆
过抛物线 y2=4xy^{2}=4x 的焦点作一条直线与抛物线相交于 AA，BB 两点，它们的横坐标之和等于 55，则这样的直线（ ）
A.
有且仅有一条
B.
有且仅有两条
C.
有无穷多条
D.
不存在

2005 · 上海 · 理 · 第 15 题 · 选择题

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16函数与初等函数★★★★☆
设定义域为 R\mathbf{R} 的函数
f(x)={∣lg⁡∣x−1∣∣,x≠1,0,x=1,f(x) = \begin{cases} |\lg |x - 1||, & x \neq 1,\\ 0, & x = 1, \end{cases}
则关于 xx 的方程 f2(x)+bf(x)+c=0f^2(x) + bf(x) + c = 0 有 77 个不同实数解的充要条件是（ ）
A.
b<0b < 0 且 c>0c > 0
B.
b>0b > 0 且 c<0c < 0
C.
b<0b < 0 且 c=0c = 0
D.
b⩾0b \geqslant 0 且 c=0c = 0

2005 · 上海 · 理 · 第 16 题 · 选择题

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13函数与初等函数★★☆☆☆
若函数 f(x)=12x+1f(x) = \frac{1}{2^x + 1}，则该函数在 (−∞,+∞)(- \infty, + \infty) 上是（ ）
A.
单调递减无最小值
B.
单调递减有最小值
C.
单调递增无最大值
D.
单调递增有最大值

2005 · 上海 · 文 · 第 13 题 · 选择题

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15函数与初等函数★★★☆☆
若函数 y=f(x)y = f(x) 的图象可由函数 y=lg⁡(x+1)y = \lg (x + 1) 的图象绕坐标原点 OO 逆时针旋转 π2\frac{\pi}{2} 得到，则 f(x)=f(x) =（ ）
A.
10−x−110^{-x} - 1
B.
10x−110^{x} - 1
C.
1−10−x1 - 10^{-x}
D.
1−10x1 - 10^{x}

2004 · 上海 · 理 · 第 15 题 · 选择题

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15指数函数与对数函数★★☆☆☆
若函数 y=f(x)y = f(x) 的图象与函数 y=lg⁡(x+1)y = \lg\left(x + 1\right) 的图象关于直线 x−y=0x - y = 0 对称，则 f(x)=f(x) =（\quad）
A.
10x−110^{x} - 1
B.
1−10x1 - 10^{x}
C.
1−10−x1 - 10^{-x}
D.
10−x−110^{-x} - 1

2004 · 上海 · 文 · 第 15 题 · 选择题

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