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19不等式★★★★☆
已知 a∈Ra\in \mathbf{R}，函数 f(x)=x2+ax+3f(x)=x^2+ax+3，g(x)=4x+1x2g(x)=4x+\frac{1}{x^2}.
(1) 解不等式 f(x)+1x2>g(x)f(x)+\frac{1}{x^2}>g(x)； (2) a≠0a\neq 0. l1l_1 是 f(x)f(x) 在点 (0,3)\left( 0,3 \right) 处的切线，l2l_2 是过点 (0,3)\left( 0,3 \right) 且垂直于 l1l_1 的直线. g(x)g(x) 与 l1l_1，l2l_2 在第一象限内均无公共点，求 aa 的取值范围.

2026 · 上海 · 第 19 题 · 解答题

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21函数与初等函数★★★★★
(i,j,k)\left( i,j,k \right) 是 11，22，33 的一个排列. 对函数 f1(x)f_1(x)，f2(x)f_2(x)，f3(x)f_3(x)，对于任意 x∈Ix\in I，都有 f1(x)≤fi(x)f_1(x)\le f_i(x) 且 f1(x)+f2(x)≤fi(x)+fj(x)f_1(x)+f_2(x)\le f_i(x)+f_j(x)，则称 (i,j,k)\left( i,j,k \right) 是关于 f1(x)f_1(x)，f2(x)f_2(x)，f3(x)f_3(x) 的一个 II 排列. 关于 f1(x)f_1(x)，f2(x)f_2(x)，f3(x)f_3(x) 的 II 排列总数记为 nIn_I.
(1) 对 I=[3,+∞)I=\left[ 3,+\infty \right)，f1(x)=xf_1(x)=x，f2(x)=0f_2(x)=0，f3(x)=x2+1f_3(x)=x^2+1，判断 (3,1,2)\left( 3,1,2 \right) 是否为 II 排列； (2) 对 I=(0,+∞)I=\left( 0,+\infty \right)，f1(x)=x−1f_1(x)=x-1，f2(x)=x+mf_2(x)=x+m，f3(x)=x2f_3(x)=x^2 满足条件的 nI=6n_I=6，求 mm 的取值范围； (3) 对任意 x∈[0,+∞)x\in \left[ 0,+\infty \right)，都有 0<F′(x)<10<F'(x)<1. 令 I=[a,+∞)I=\left[ a,+\infty \right)，f1(x)=F′(x)f_1(x)=F'(x)，f2(x)=12(F′(x+a)+F′(x−a))f_2(x)=\frac{1}{2}\left( F'\left( x+a \right)+F'\left( x-a \right) \right)，f3(x)=1−e−xf_3(x)=1-\mathrm{e}^{-x}. 证明：若 F′(x)F'(x) 严格减，则存在 a>0a>0，使 nI≥4n_I\ge 4；若 F′(x)F'(x) 严格增，则存在 a∈(0,1)a\in \left( 0,1 \right)，nI≠2n_I\neq 2.

2026 · 上海 · 第 21 题 · 解答题

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21函数与初等函数★★★★★
已知函数 y=f(x)y=f(x) 定义域为 R\mathbf{R}. 对于正实数 aa，定义集合 Ma={x∣f(x+a)=f(x)}M_a=\{x\mid f(x+a)=f(x)\}.
(1) 若 f(x)=sin⁡xf(x)=\sin x，判断 π3\dfrac{\pi}{3} 是否是 MπM_{\pi} 的元素，请说明理由； (2) 若 f(x)=x+2f(x)=x+2（x<0x<0），f(0)=0f(0)=0，且当 x>0x>0 时 f(x)=xf(x)=\sqrt{x}，Ma≠∅M_a\neq\varnothing，求 aa 的取值范围； (3) 若 y=f(x)y=f(x) 是偶函数，当 x∈(0,1]x\in(0,1] 时 f(x)=1−xf(x)=1-x，且对任意 a∈(0,2)a\in(0,2)，有 Ma⊂M2M_a\subset M_2. 写出 f(x)f(x) 在 x∈(1,2)x\in(1,2) 的解析式，并证明：对任意实数 cc，函数 f(x)−cf(x)-c 在 [−3,3][-3,3] 上至多有9个零点.

2025 · 上海 · 第 21 题 · 解答题

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19函数与初等函数★★★★☆
设函数 f(x)=x2+(3a+1)x+cx+af(x)=\frac{x^2+(3a+1)x+c}{x+a}，aa，c∈Rc\in\mathbf{R}
(1) 当 a=0a=0 时，是否存在实数 cc，使得 y=f(x)y=f(x) 为奇函数，请说明理由； (2) 若函数 y=f(x)y=f(x) 的图像过点 (1,3)(1,3)，且其与 xx 轴的负半轴有两个不同的交点，求 cc 的值及 aa 的取值范围.

2023 · 上海 · 第 19 题 · 解答题

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18指数函数与对数函数★★★★☆
设 aa 为常数，f(x)=log⁡3(a+x)+log⁡3(6−x)f(x)=\log_3(a+x)+\log_3(6-x).
(1) 若将函数 y=f(x)y=f(x) 的图像向下平移 mm（m>0m>0）个单位后，其图像经过 (3,0)(3,0)，(5,0)(5,0) 两点，求实数 aa 和 mm 的值； (2) 若 a>−3a>-3 且 a≠0a\ne0，解不等式 f(x)≤f(6−x)f(x)\le f(6-x).

2022 · 上海 · 第 18 题 · 解答题

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21函数与初等函数★★★★★
已知 x1x_1，x2∈Rx_2\in \mathbf{R}，若对任意的 x2−x1∈Sx_2-x_1\in S，f(x2)−f(x1)∈Sf(x_2)-f(x_1)\in S，则有定义：f(x)f(x) 是在 SS 关联的.
(1) 判断和证明 f(x)=2x−1f(x)=2x-1 是否在 [0,+∞)[0,+\infty) 关联？是否有 [0,1][0,1] 关联？ (2) 若 f(x)f(x) 是在 {3}\{3\} 关联的，f(x)f(x) 在 x∈[0,3)x\in[0,3) 时，f(x)=x2−2xf(x)=x^2-2x，求解不等式 2≤f(x)≤32\le f(x)\le 3； (3) 证明：f(x)f(x) 是 {1}\{1\} 关联的，且是在 [0,+∞)[0,+\infty) 关联的，当且仅当“f(x)f(x) 在 [1,2][1,2] 是关联的”.

2021 · 上海 · 第 21 题 · 解答题

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19函数与初等函数★★★☆☆
在研究某市交通情况时，道路密度是指该路段上一定时间内通过的车辆数除以时间，车辆密度是该路段一定时间内通过的车辆数除以该路段的长度，现定义交通流量 v=f(x)=qxv=f(x)=\frac{q}{x}，其中 xx 为道路密度，qq 为车辆密度，且 f(x)=100−135(13)80xf(x)=100-135\left(\frac13\right)^{\frac{80}{x}}（0<x<400<x<40）， f(x)=−k(x−40)+85f(x)=-k(x-40)+85（40≤x≤8040\le x\le80）.
(1) 若交通流量 v>95v>95，求道路密度 xx 的取值范围； (2) 已知道路密度 x=80x=80 时，测得交通流量 v=50v=50，求车辆密度 qq 的最大值.

2020 · 上海 · 第 19 题 · 解答题

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18函数与初等函数★★★☆☆
已知 f(x)=ax+1x+1f(x)=ax+\frac1{x+1}（a∈Ra\in\mathbf{R}）.
(1) 当 a=1a=1 时，求不等式 f(x)+1<f(x+1)f(x)+1<f(x+1) 的解集； (2) 若 x∈[1,2]x\in[1,2] 时，f(x)f(x) 有零点，求 aa 的范围.

2019 · 上海 · 第 18 题 · 解答题

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18三角函数★★★☆☆
设常数 a∈Ra\in\mathbf{R}，函数 f(x)=asin⁡2x+2cos⁡2xf(x)=a\sin2x+2\cos^2x.
(1) 若 f(x)f(x) 为偶函数，求 aa 的值； (2) 若 f(π4)=3+1f\left(\frac\pi4\right)=\sqrt3+1，求方程 f(x)=1−2f(x)=1-\sqrt2 在区间 [−π,π][-\pi,\pi] 上的解.

2018 · 上海 · 第 18 题 · 解答题

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19函数与初等函数★★★☆☆
某群体的人均通勤时间，是指单日内该群体中成员从居住地到工作地的平均用时. 某地上班族 SS 中的成员仅以自驾或公交方式通勤. 分析显示：当 SS 中 x%x\%（0<x<1000<x<100）的成员自驾时，自驾群体的人均通勤时间 f(x)f(x)（单位：分钟）为
f(x)={30,0<x≤30,2x+1800x−90,30<x<100f(x)=\begin{cases} 30, & 0<x\le30,\\ 2x+\frac{1800}{x}-90, & 30<x<100 \end{cases}
而公交群体的人均通勤时间不受 xx 影响，恒为 4040 分钟. 试根据上述分析结果回答下列问题：
(1) 当 xx 在什么范围内时，公交群体的人均通勤时间少于自驾群体的人均通勤时间？ (2) 求该地上班族 SS 的人均通勤时间 g(x)g(x) 的表达式；讨论 g(x)g(x) 的单调性，并说明其实际意义.

2018 · 上海 · 第 19 题 · 解答题

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19数列★★★☆☆
根据预测，某地第 nn（n∈N∗n\in\mathbf{N}^*）个月共享单车的投放量和损失量分别为 ana_n 和 bnb_n（单位：辆），其中
an={5n4+15,1≤n≤3,−10n+470,n≥4,bn=n+5a_n=\begin{cases} 5n^4+15,&1\le n\le 3,\\ -10n+470,&n\ge4, \end{cases}\quad b_n=n+5
，第 nn 个月底的共享单车的保有量是前 nn 个月的累计投放量与累计损失量的差.
(1) 求该地区第 44 个月底的共享单车的保有量； (2) 已知该地共享单车停放点第 nn 个月底的单车容纳量 Sn=−4(n−46)2+8800S_n=-4(n-46)^2+8800（单位：辆）. 设在某月底，共享单车保有量达到最大，问该保有量是否超出了此时停放点的单车容纳量？

2017 · 上海 · 第 19 题 · 解答题

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21函数与初等函数★★★★★
设定义在 R\mathbf{R} 上的函数 f(x)f(x) 满足：对于任意的 x1x_1，x2∈Rx_2\in\mathbf{R}，当 x1<x2x_1<x_2 时，都有 f(x1)≤f(x2)f(x_1)\le f(x_2).
(1) 若 f(x)=ax3+1f(x)=ax^3+1，求 aa 的取值范围； (2) 若 f(x)f(x) 为周期函数，证明：f(x)f(x) 是常值函数； (3) 设 f(x)f(x) 恒大于零，g(x)g(x) 是定义在 R\mathbf{R} 上，恒大于零的周期函数，MM 是 g(x)g(x) 的最大值. 函数 h(x)=f(x)g(x)h(x)=f(x)g(x). 证明：“h(x)h(x) 是周期函数”的充要条件是“f(x)f(x) 是常值函数”.

2017 · 上海 · 第 21 题 · 解答题

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22指数函数与对数函数★★★★☆
已知 a∈Ra\in\mathbf{R}，函数 f(x)=log⁡2 ⁣(1x+a)f(x)=\log_2\!\left(\dfrac1x+a\right).
(1) 当 a=5a=5 时，解不等式 f(x)>0f(x)>0； (2) 若关于 xx 的方程 f(x)−log⁡2[(a−4)x+2a−5]=0f(x)-\log_2[(a-4)x+2a-5]=0 的解集中恰有一个元素，求 aa 的取值范围； (3) 设 a>0a>0，若对任意 t∈[12,1]t\in\left[\dfrac12,1\right]，函数 f(x)f(x) 在区间 [t,t+1][t,t+1] 上的最大值和最小值的差不超过 11，求 aa 的取值范围.

2016 · 上海 · 理 · 第 22 题 · 解答题

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21解析几何★★★★☆
双曲线 x2−y2b2=1x^2-\dfrac{y^2}{b^2}=1（b>0b>0）的左，右焦点分别为 F1F_1，F2F_2，直线 ll 过 F2F_2 且与双曲线交于 AA，BB 两点.
(1) 若 ll 的倾斜角为 π2\dfrac{\pi}{2}，△F1AB\triangle F_1AB 是等边三角形，求双曲线的渐近线方程； (2) 设 b=3b=\sqrt3，若 ll 的斜率存在，且 ∣AB∣=4|AB|=4，求 ll 的斜率.

2016 · 上海 · 文 · 第 21 题 · 解答题

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23指数函数与对数函数★★★★☆
已知 a∈Ra\in\mathbf{R}，函数 f(x)=log⁡2 ⁣(1x+a)f(x)=\log_2\!\left(\dfrac1x+a\right).
(1) 当 a=1a=1 时，解不等式 f(x)>1f(x)>1； (2) 若关于 xx 的方程 f(x)+log⁡2(x2)=0f(x)+\log_2(x^2)=0 的解集中恰有一个元素，求 aa 的值； (3) 设 a>0a>0，若对任意 t∈[12,1]t\in\left[\dfrac12,1\right]，函数 f(x)f(x) 在区间 [t,t+1][t,t+1] 上的最大值与最小值的差不超过 11，求 aa 的取值范围.

2016 · 上海 · 文 · 第 23 题 · 解答题

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20函数与初等函数★★★★☆
如图，AA，BB，CC 三地有直道相通，AB=5 千米AB = 5\text{ 千米}，AC=3 千米AC = 3\text{ 千米}，BC=4 千米BC = 4\text{ 千米}. 现甲，乙两警员同时从 AA 地出发匀速前往 BB 地，过 t 小时t\text{ 小时}，他们之间的距离为 f(t)f(t) （单位：千米）. 甲的路线是 ABAB，速度为 5 千米/小时5\text{ 千米/小时}，乙的路线是 ACBACB，速度为 8 千米/小时8\text{ 千米/小时}. 乙到达 BB 地后在原地等待. 设 t=t1t = t_1 时，乙到达 CC 地.
(1) 求 t1t_{1} 与 f(t1)f(t_{1}) 的值； (2) 已知警员的对讲机的有效通话距离是 3 千米3\text{ 千米}. 当 t1⩽t⩽1t_{1} \leqslant t \leqslant 1 时，求 f(t)f(t) 的表达式，并判断 f(t)f(t) 在 [t1,1][t_{1}, 1] 上的最大值是否超过 33. 说明理由.

2015 · 上海 · 理 · 第 20 题 · 解答题

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23函数与初等函数★★★★★
对于定义域为 R\mathbf{R} 的函数 g(x)g(x). 若存在正常数 TT，使 cos⁡g(x)\cos g(x) 是以 TT 为周期的函数，则称 g(x)g(x) 为余弦周期函数，且称 TT 为其余周期. 已知 f(x)f(x) 是以 TT 为余弦周期的余弦周期函数，其值域为 R\mathbf{R}. 设 f(x)f(x) 单调递增，f(0)=0f(0) = 0，f(T)=4πf(T) = 4\pi.
(1) 验证 h(x)=x+sin⁡x3h(x) = x + \sin \frac{x}{3} 是以 6π6\pi 为余弦周期的余弦周期函数； (2) 设 a<ba < b，证明对任意 c∈[f(a),f(b)]c \in [f(a), f(b)]，存在 x0∈[a,b]x_0 \in [a, b]，使得 f(x0)=cf(x_0) = c； (3) 证明：“u0u_0 为方程 cos⁡f(x)=1\cos f(x) = 1 在 [0,T][0, T] 上的解”的充要条件是“u0+Tu_0 + T 为方程 cos⁡f(x)=1\cos f(x) = 1 在 [T,2T][T, 2T] 上的解”，并证明对任意 x∈[0,T]x \in [0, T] 都有 f(x+T)=f(x)+f(T)f(x + T) = f(x) + f(T).

2015 · 上海 · 理 · 第 23 题 · 解答题

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20函数与初等函数★★★☆☆
已知函数 f(x)=ax2+1xf(x) = ax^2 + \frac{1}{x}，其中 aa 为常数.
(1) 根据 aa 的不同取值，判断函数 f(x)f(x) 的奇偶性，并说明理由； (2) 若 a∈(1,3)a \in (1,3)，判断函数 f(x)f(x) 在 [1,2][1,2] 上的单调性，并说明理由.

2015 · 上海 · 文 · 第 20 题 · 解答题

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21函数与初等函数★★★☆☆
如图，OO，PP，QQ 三地有直道相通，OP=3 千米OP = 3\text{ 千米}，PQ=4 千米PQ = 4\text{ 千米}，OQ=5 千米OQ = 5\text{ 千米}. 现甲，乙两警员同时从 OO 地出发匀速前往 QQ 地. 经过 tt 小时，他们之间的距离为 f(t)f(t)（单位：千米）. 甲的路线是 OQOQ，速度为 5 千米/小时5\text{ 千米/小时}，乙的路线是 OPQOPQ，速度为 8 千米/小时8\text{ 千米/小时}. 乙到达 QQ 地后在原地等待. 设 t=t1t = t_1 时，乙到达 PP 地；t=t2t = t_2 时，乙到达 QQ 地.
(1) 求 t1t_{1} 与 f(t1)f(t_{1}) 的值； (2) 已知警员的对讲机的有效通话距离是 3 千米. 当 t1⩽t⩽t2t_1 \leqslant t \leqslant t_2 时，求 f(t)f(t) 的表达式，并判断 f(t)f(t) 在 [t1,t2][t_1, t_2] 上的最大值是否超过 3？ 说明理由.

2015 · 上海 · 文 · 第 21 题 · 解答题

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20函数与初等函数★★★☆☆
设常数 a⩾0a \geqslant 0，函数 f(x)=2x+a2x−af(x) = \frac{2^x + a}{2^x - a}.
(1) 若 a=4a = 4，求函数 y=f(x)y = f(x) 的反函数 y=f−1(x)y = f^{-1}(x)； (2) 根据 aa 的不同取值，讨论函数 y=f(x)y = f(x) 的奇偶性，并说明理由.

2014 · 上海 · 理 · 第 20 题 · 解答题

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20函数与初等函数★★☆☆☆
设常数 a⩾0a \geqslant 0，函数 f(x)=2x+a2x−af(x) = \dfrac{2^x + a}{2^x - a}.
(1) 若 a=4a = 4，求函数 y=f(x)y = f(x) 的反函数 y=f−1(x)y = f^{-1}(x)； (2) 根据 aa 的不同取值，讨论函数 y=f(x)y = f(x) 的奇偶性，并说明理由.
\begin{solution} \begin{enumerate} \item 当 a=4a=4 时，函数定义域为 x≠2x\ne2. 设 y=2x+42x−4y=\dfrac{2^x+4}{2^x-4}，则 y(2x−4)=2x+4y(2^x-4)=2^x+4，所以 (y−1)2x=4(y+1)(y-1)2^x=4(y+1)，即 2x=4(y+1)y−12^x=\dfrac{4(y+1)}{y-1}. 因而 x=log⁡24(y+1)y−1x=\log_2\dfrac{4(y+1)}{y-1}. 当 0<2x<40<2^x<4 时，y<−1y<-1；当 2x>42^x>4 时，y>1y>1，所以值域为 (−∞,−1)∪(1,+∞)(-\infty,-1)\cup(1,+\infty). 交换自变量与因变量，得 f−1(x)=log⁡24x+4x−1f^{-1}(x)=\log_2\dfrac{4x+4}{x-1}，定义域为 x∈(−∞,−1)∪(1,+∞)x\in(-\infty,-1)\cup(1,+\infty). \item 当 a=0a=0 时，f(x)=1f(x)=1，定义域为 R\mathbf{R}，且 f(−x)=f(x)f(-x)=f(x)，所以是偶函数. 当 a=1a=1 时，定义域为 R\{0}\mathbf{R}\mathbin{\backslash}\{0\}，且 f(−x)=2−x+12−x−1=1+2x1−2x=−2x+12x−1=−f(x)f(-x)=\dfrac{2^{-x}+1}{2^{-x}-1}=\dfrac{1+2^x}{1-2^x}=-\dfrac{2^x+1}{2^x-1}=-f(x)，所以是奇函数. 当 a>0a>0 且 a≠1a\ne1 时，定义域为 R\{log⁡2a}\mathbf{R}\mathbin{\backslash}\{\log_2a\}，被排除的点不为 00，定义域不关于原点对称，因而既不是奇函数也不是偶函数. \end{enumerate} \end{solution}

2014 · 上海 · 文 · 第 20 题 · 解答题

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20导数及其应用★★★☆☆
甲厂以 xx 千克/小时的速度运输生产某种产品（生产条件要求 1⩽x⩽101\leqslant x\leqslant 10），每一小时可获得利润是 100(5x+1−3x)100\left(5x+1-\frac{3}{x}\right) 元.
(1) 要使生产该产品 22 小时获得的利润不低于 30003000 元，求 xx 的取值范围； (2) 要使生产 900900 千克该产品获得的利润最大，问：甲厂应该选取何种生产速度？并求最大利润.

2013 · 上海 · 理 · 第 20 题 · 解答题

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21三角函数★★★★☆
已知函数 f(x)=2sin⁡ωxf(x)=2\sin\omega x. 其中常数 ω>0\omega>0.
(1) 若 y=f(x)y=f(x) 在 [−π4,2π3]\left[-\frac{\pi}{4},\frac{2\pi}{3}\right] 上单调递增，求 ω\omega 的取值范围； (2) 令 ω=2\omega=2，将函数 y=f(x)y=f(x) 的图象向左平移 π6\frac{\pi}{6} 个单位，再向上平移 11 个单位，得到函数 y=g(x)y=g(x) 的图象. 区间 [a,b][a,b] （aa，b∈Rb\in\mathbf{R} 且 a<ba<b）满足：y=g(x)y=g(x) 在 [a,b][a,b] 上至少含有 3030 个零点. 在所有满足上述条件的 [a,b][a,b] 中，求 b−ab-a 的最小值.

2013 · 上海 · 理 · 第 21 题 · 解答题

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20导数及其应用★★★☆☆
甲厂以 x 千克/小时x\text{ 千克/小时} 的速度匀速生产某种产品（生产条件要求 1⩽x⩽101 \leqslant x \leqslant 10），每一小时可获得的利润是 100(5x+1−3x) 元100\left(5x + 1 - \frac{3}{x}\right)\text{ 元}.
(1) 求证：生产 a 千克a\text{ 千克} 该产品所获得的利润为 100a(5+1x−3x2) 元100a\left(5 + \frac{1}{x} - \frac{3}{x^2}\right)\text{ 元}； (2) 要使生产 900 千克900\text{ 千克} 该产品获得的利润最大，问：甲厂应该选取何种生产速度？并求最大利润.
\begin{solution} \begin{enumerate} \item 生产 a 千克a\text{ 千克} 产品需要 ax\frac{a}{x} 小时，所以所获得的利润为
ax×100(5x+1−3x)=100a(5+1x−3x2) 元\frac{a}{x}\times100\left(5x+1-\frac{3}{x}\right)=100a\left(5+\frac{1}{x}-\frac{3}{x^2}\right)\text{ 元}
\item 当生产 900 千克900\text{ 千克} 产品时，利润函数为 P(x)=90000(5+1x−3x2)P(x)=90000\left(5+\frac{1}{x}-\frac{3}{x^2}\right)，1⩽x⩽101\leqslant x\leqslant10. 其导数为
P′(x)=90000(−1x2+6x3)=90000(6−x)x3P'(x)=90000\left(-\frac{1}{x^2}+\frac{6}{x^3}\right)=\frac{90000(6-x)}{x^3}
由于 x>0x>0，当 1⩽x<61\leqslant x<6 时 P′(x)>0P'(x)>0，当 6<x⩽106<x\leqslant10 时 P′(x)<0P'(x)<0，所以 P(x)P(x) 在 [1,6][1,6] 上递增，在 [6,10][6,10] 上递减，最大值在 x=6x=6 时取得. 最大利润为
P(6)=90000(5+16−336)=90000×6112=457500 元P(6)=90000\left(5+\frac{1}{6}-\frac{3}{36}\right)=90000\times\frac{61}{12}=457500\text{ 元}
因此甲厂应选择 6 千克/小时6\text{ 千克/小时} 的生产速度，最大利润为 457500 元457500\text{ 元}. \end{enumerate} \end{solution}

2013 · 上海 · 文 · 第 20 题 · 解答题

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21三角函数★★★★☆
已知函数 f(x)=2sin⁡ωxf(x) = 2\sin \omega x. 其中常数 ω>0\omega > 0.
(1) 令 ω=1\omega = 1，判断函数 F(x)=f(x)+f(x+π2)F(x) = f(x) + f\left(x + \frac{\pi}{2}\right) 的奇偶性并说明理由； (2) 令 ω=2\omega = 2，将函数 y=f(x)y = f(x) 的图象向左平移 π6\frac{\pi}{6} 个单位，再向上平移 11 个单位，得到函数 y=g(x)y = g(x) 的图象. 对任意的 a∈Ra \in \mathbf{R}，求 y=g(x)y = g(x) 在区间 [a,a+10π][a, a + 10\pi] 上零点个数的所有可能值.
\begin{solution} \begin{enumerate} \item 当 ω=1\omega=1 时，f(x)=2sin⁡xf(x)=2\sin x，所以
F(x)=2sin⁡x+2sin⁡(x+π2)=2sin⁡x+2cos⁡xF(x)=2\sin x+2\sin\left(x+\frac{\pi}{2}\right)=2\sin x+2\cos x
于是 F(−x)=2cos⁡x−2sin⁡xF(-x)=2\cos x-2\sin x. 又 F(0)=2≠−2=−F(0)F(0)=2\neq-2=-F(0)，故 F(x)F(x) 不是奇函数；并且 F(π2)=2F\left(\frac{\pi}{2}\right)=2，F(−π2)=−2F\left(-\frac{\pi}{2}\right)=-2，故 F(x)F(x) 不是偶函数. 因此 F(x)F(x) 既不是奇函数，也不是偶函数. \item 当 ω=2\omega=2 时，f(x)=2sin⁡2xf(x)=2\sin2x. 图象向左平移 π6\frac{\pi}{6} 后，横坐标 xx 处的函数值为 f(x+π6)f\left(x+\frac{\pi}{6}\right)，再向上平移 11 个单位，故
g(x)=2sin⁡(2x+π3)+1g(x)=2\sin\left(2x+\frac{\pi}{3}\right)+1
令 g(x)=0g(x)=0，得
sin⁡(2x+π3)=−12\sin\left(2x+\frac{\pi}{3}\right)=-\frac{1}{2}
因此 2x+π3=−π6+2kπ或2x+π3=7π6+2kπ2x+\frac{\pi}{3}=-\frac{\pi}{6}+2k\pi\quad\text{或}\quad2x+\frac{\pi}{3}=\frac{7\pi}{6}+2k\pi，k∈Zk\in\mathbf{Z} 即零点为 x=−π4+kπ或x=5π12+kπx=-\frac{\pi}{4}+k\pi\quad\text{或}\quad x=\frac{5\pi}{12}+k\pi，k∈Zk\in\mathbf{Z}. 函数 g(x)g(x) 的周期为 π\pi，每个周期内有两个零点. 区间 [a,a+10π][a,a+10\pi] 的长度是 1010 个周期，因此当 aa 不是零点时，区间内有 2020 个零点；当 aa 是零点时，a+10πa+10\pi 也是零点，两个端点同时计入，区间内有 2121 个零点. 故所有可能值为 2020，2121. \end{enumerate} \end{solution}

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