已知函数 $f(x)$ 周期为 $1$，且当 $0<x\le1$ 时，$f(x)=-\log_2x$，则 $f\left(\frac32\right)=$______.

若 $x$，$y\in\mathbf{R}^+$，且 $\frac1x+2y=3$，则 $\frac yx$ 的最大值为______.

常数 $a>0$，将函数 $y=\frac2x$（$x>0$）的图象先向右平移 $1$ 个单位，再向下平移 $a$ 个单位，然后将所得的图象在 $x$ 轴下方的部分沿 $x$ 轴向上翻折，其余部分保持不变，得到函数 $f(x)=\left|\frac2{x-1}-a\right|$（$x>1$）的图象 $L$，当 $a=a_0$ 时，$L$ 与 $x$ 轴交点为 $A$，在 $L$ 上任意一点 $P$（$P$ 异于 $A$），总存在一点 $Q$ 使得 $AP\perp AQ$ 且 $|AP|=|AQ|$，则 $a_0=$______.

已知 $\omega\in\mathbf{R}$，函数 $f(x)=(x-6)^2\sin(\omega x)$，存在常数 $a\in\mathbf{R}$，使得 $f(x+a)$ 为偶函数，则 $\omega$ 可能的值为（ ）

已知 $f(x)=ax+\frac1{x+1}$（$a\in\mathbf{R}$）.

(1) 当 $a=1$ 时，求不等式 $f(x)+1<f(x+1)$ 的解集； (2) 若 $x\in[1,2]$ 时，$f(x)$ 有零点，求 $a$ 的范围.