已知函数 $f(x)=x^3$，$f^{-1}(x)$ 是 $f(x)$ 的反函数，则 $f^{-1}(x)=$______.

设 $a\in\mathbf{R}$，若存在定义域为 $\mathbf{R}$ 的函数 $f(x)$ 同时满足下列两个条件：

(1) 对任意的 $x_0\in\mathbf{R}$，$f(x_0)$ 的值为 $x_0$ 或 $x_0^2$； (2) 关于 $x$ 的方程 $f(x)=a$ 无实数解，

则 $a$ 的取值范围是______.

命题 $p$：存在 $a\in\mathbf{R}$ 且 $a\neq0$，对于任意的 $x\in\mathbf{R}$，使得 $f(x+a)<f(x)+f(a)$；

命题 $q_1$：$f(x)$ 单调递减且 $f(x)>0$ 恒成立；

命题 $q_2$：$f(x)$ 单调递增，存在 $x_0<0$ 使得 $f(x_0)=0$，

则下列说法正确的是（ ）

在研究某市交通情况时，道路密度是指该路段上一定时间内通过的车辆数除以时间，车辆密度是该路段一定时间内通过的车辆数除以该路段的长度，现定义交通流量 $v=f(x)=\frac{q}{x}$，其中 $x$ 为道路密度，$q$ 为车辆密度，且 $f(x)=100-135\left(\frac13\right)^{\frac{80}{x}}$（$0<x<40$）， $f(x)=-k(x-40)+85$（$40\le x\le80$）.

(1) 若交通流量 $v>95$，求道路密度 $x$ 的取值范围； (2) 已知道路密度 $x=80$ 时，测得交通流量 $v=50$，求车辆密度 $q$ 的最大值.