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08函数与初等函数★★★★☆
数学中有许多形状优美，寓意美好的曲线，曲线 C:x2+y2=1+∣x∣yC:x^2+y^2=1+\left|x\right|y 就是其中之一（如图）. 给出下列三个结论：
① 曲线 CC 恰好经过 66 个整点（即横，纵坐标均为整数的点）； ② 曲线 CC 上任意一点到原点的距离都不超过 2\sqrt2； ③ 曲线 CC 所围成的“心形”区域的面积小于 33.
其中，所有正确结论的序号是（ ）.
A.
①
B.
②
C.
①②
D.
①②③

2019 · 北京 · 理 · 第 8 题 · 选择题

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13函数与初等函数★★☆☆☆
设函数 f(x)=ex+ae−xf(x)=\mathrm{e}^x+a\mathrm{e}^{-x}（aa 为常数），若 f(x)f(x) 为奇函数，则 a=‾a=\underline{\hspace{2em}}；若 f(x)f(x) 是 R\mathbf{R} 上的增函数，则 aa 的取值范围是______.

2019 · 北京 · 理 · 第 13 题 · 填空题

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14函数与初等函数★★★☆☆
李明自主创业，在网上经营一家水果店，销售的水果中有草莓，京白梨，西瓜，桃. 价格依次为 6060 元/盒，6565 元/盒，8080 元/盒，9090 元/盒. 为增加销量，李明对这四种水果进行促销：一次购买水果的总价达到 120120 元，顾客就少付 xx 元. 每笔订单顾客网上支付成功后，李明会得到支付款的 80%80\%.
(1) 当 x=10x=10 时，顾客一次购买草莓和西瓜各 11 盒，需要支付______ 元； (2) 在促销活动中，为保证李明每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折，则 xx 的最大值为______.

2019 · 北京 · 理 · 第 14 题 · 填空题

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18解析几何★★★★☆
已知抛物线 C:x2=−2pyC:x^2=-2py 经过点 (2,−1)(2,-1).
(1) 求抛物线 CC 的方程及其准线方程； (2) 设 OO 为原点，过抛物线 CC 的焦点作斜率不为 00 的直线 ll 交抛物线 CC 于两点 MM，NN，直线 y=−1y=-1 分别交直线 OMOM，ONON 于点 AA 和点 BB，求证：以 ABAB 为直径的圆经过 yy 轴上的两个定点.

2019 · 北京 · 理 · 第 18 题 · 解答题

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03函数与初等函数★☆☆☆☆
下列函数中，在区间 (0,+∞)\left(0,+\infty\right) 上单调递增的是（ ）.
A.
y=xy=\sqrt{x}
B.
y=2−xy=2^{-x}
C.
y=log⁡12xy=\log_{\frac12}x
D.
y=1xy=\dfrac1x

2019 · 北京 · 文 · 第 3 题 · 选择题

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04函数与初等函数★★☆☆☆
执行如图所示的程序框图，输出的 ss 值为（ ）.
A.
11
B.
22
C.
33
D.
44

2019 · 北京 · 文 · 第 4 题 · 选择题

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06集合与逻辑基础★★☆☆☆
设函数 f(x)=cos⁡x+bsin⁡xf(x)=\cos x+b\sin x（bb 为常数），则“b=0b=0”是“f(x)f(x) 为偶函数”的（ ）.
A.
充分而不必要条件
B.
必要而不充分条件
C.
充分必要条件
D.
既不充分也不必要条件

2019 · 北京 · 文 · 第 6 题 · 选择题

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14函数与初等函数★★★☆☆
李明自主创业，在网上经营一家水果店，销售的水果中有草莓，京白梨，西瓜，桃，价格依次为 6060 元/盒，6565 元/盒，8080 元/盒，9090 元/盒. 为增加销量，李明对这四种水果进行促销：一次购买水果的总价达到 120120 元，顾客就少付 xx 元. 每笔订单顾客网上支付成功后，李明会得到支付款的 80%80\%.
(1) 当 x=10x=10 时，顾客一次购买草莓和西瓜各 11 盒，需要支付______ 元； (2) 在促销活动中，为保证李明每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折，则 xx 的最大值为______.

2019 · 北京 · 文 · 第 14 题 · 填空题

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19解析几何★★★★☆
已知椭圆 C:x2a2+y2b2=1C:\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1 的右焦点为 (1,0)(1,0)，且经过点 A(0,1)A(0,1).
(1) 求椭圆 CC 的方程； (2) 设 OO 为原点，直线 l:y=kx+tl:y=kx+t（t≠±1t\ne\pm1）与椭圆 CC 交于两个不同点 PP，QQ，直线 APAP 与 xx 轴交于点 MM，直线 AQAQ 与 xx 轴交于点 NN，若 ∣OM∣⋅∣ON∣=2\lvert OM\rvert\cdot\lvert ON\rvert=2，求证：直线 ll 经过定点.

2019 · 北京 · 文 · 第 19 题 · 解答题

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