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135分函数与初等函数★★★☆☆
若函数 f(x)=2x+22−x−mf\left( x \right)=2^x+2^{2-x}-m 有两个零点，则 mm 的取值范围是______.

2026 · 全国 · 二卷 · 第 13 题 · 填空题

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16导数及其应用★★★★☆
当 x>0x>0 时，曲线 y=x3−3xy=x^3-3x 与曲线 y=−(x−1)2+ay=-(x-1)^2+a 有两个交点，则 aa 的取值范围是______.

2024 · 全国 · 甲卷 · 文 · 第 16 题 · 填空题

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13函数与初等函数★★☆☆☆
设 f(x)=(x−1)2+ax+sin⁡(x+π2)f(x)=\left( x-1 \right)^2+ax+\sin\left( x+\frac{\pi}{2} \right). 若 f(x)f(x) 为偶函数，则 a=a=______.

2023 · 全国 · 甲卷 · 理 · 第 13 题 · 填空题

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14函数与初等函数★★☆☆☆
若 f(x)=(x−1)2+ax+sin⁡(x+π2)f(x)=\left(x-1\right)^2+ax+\sin\left(x+\dfrac{\pi}{2}\right) 为偶函数，则 a=‾a=\underline{\hspace{2em}}.

2023 · 全国 · 甲卷 · 文 · 第 14 题 · 填空题

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16函数与初等函数★★★☆☆
关于函数 f(x)=sin⁡x+1sin⁡xf(x)=\sin x+\dfrac{1}{\sin x} 有如下四个命题：
① f(x)f(x) 的图象关于 yy 轴对称； ② f(x)f(x) 的图象关于原点对称； ③ f(x)f(x) 的图象关于直线 x=π2x=\dfrac{\pi}{2} 对称； ④ f(x)f(x) 的最小值为 22.
其中所有真命题的序号是______.

2020 · 全国 · 三卷 · 理 · 第 16 题 · 填空题

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15函数与初等函数★★☆☆☆
函数 f(x)=cos⁡ ⁣(3x+π6)f(x)=\cos\!\left(3x+\dfrac{\pi}{6}\right) 在 [0,π][0,\pi] 的零点个数为______.

2018 · 全国 · 三卷 · 理 · 第 15 题 · 填空题

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16解析几何★★★★☆
已知点 M(−1,1)M(-1,1) 和抛物线 C:y2=4xC:y^2=4x，过 CC 的焦点且斜率为 kk 的直线与 CC 交于 AA，BB 两点. 若 ∠AMB=90∘\angle AMB=90^\circ，则 k=‾k=\underline{\hspace{2em}}.

2018 · 全国 · 三卷 · 理 · 第 16 题 · 填空题

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16函数与初等函数★★★☆☆
已知函数 f(x)=ln⁡ ⁣(1+x2−x)+1f(x)=\ln\!\left(\sqrt{1+x^2}-x\right)+1，f(a)=4f(a)=4，则 f(−a)=f(-a)=______.

2018 · 全国 · 三卷 · 文 · 第 16 题 · 填空题

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14函数与初等函数★★☆☆☆
已知函数 f(x)f(x) 是定义在 R\mathbf{R} 上的周期为 22 的奇函数，当 0<x<10<x<1 时，f(x)=4xf(x)=4^x，则 f(−52)+f(1)=‾f\left(-\dfrac52\right)+f(1)=\underline{\hspace{2em}}.
\begin{solution} 由周期性，
f(−52)=f(−12)f\left(-\dfrac52\right)=f\left(-\dfrac12\right)
由奇函数性质，
f(−12)=−f(12)=−412=−2f\left(-\frac12\right)=-f\left(\frac12\right)=-4^{\frac{1}{2}}=-2
又因周期为 22，有 f(−1)=f(1)f(-1)=f(1)；因奇函数 f(−1)=−f(1)f(-1)=-f(1)，所以 f(1)=0f(1)=0.故
f(−52)+f(1)=−2f\left(-\frac52\right)+f(1)=-2
\end{solution}

2016 · 四川 · 理 · 第 14 题 · 填空题

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15函数与初等函数★★★★☆
在平面直角坐标系中，当 P(x,y)P(x,y) 不是原点时，定义 PP 的“伴随点”为 P′(yx2+y2,−xx2+y2)P'\left(\dfrac{y}{x^2+y^2},-\dfrac{x}{x^2+y^2}\right)；当 PP 是原点时，定义 PP 的“伴随点”为它自身，平面曲线 CC 上所有点的“伴随点”所构成的曲线 C′C' 定义为曲线 CC 的“伴随曲线”. 现有下列命题：
① 若点 AA 的“伴随点”是点 A′A'，则点 A′A' 的“伴随点”是点 AA； ② 单位圆的“伴随曲线”是它自身； ③ 若曲线 CC 关于 xx 轴对称，则其“伴随曲线” C′C' 关于 yy 轴对称； ④ 一条直线的“伴随曲线”是一条直线.
其中的真命题是______. （写出所有真命题的序列）
\begin{solution} 对非原点 P=(x,y)P=(x,y)，记 r2=x2+y2r^2=x^2+y^2，则其伴随点为
P′=(yr2,−xr2)P'=\left(\frac y{r^2},-\frac x{r^2}\right)
再次取伴随点时，因
(yr2)2+(−xr2)2=1r2\left(\dfrac y{r^2}\right)^2+\left(-\dfrac x{r^2}\right)^2=\dfrac1{r^2}
有
(P′)′=(−x,−y)≠(x,y)(P')'=\left(-x,-y\right)\neq(x,y)
一般并不成立.例如 (1,0)(1,0) 的伴随点为 (0,−1)(0,-1)，而 (0,−1)(0,-1) 的伴随点为 (−1,0)(-1,0)，所以命题 \circled1\circled{1} 错误.
若 PP 在单位圆上，则 r2=1r^2=1，其伴随点为 (y,−x)(y,-x)，仍在单位圆上；该变换在单位圆上是旋转，且为双射，所以单位圆的伴随曲线仍是单位圆，命题 \circled2\circled{2} 正确.
若 CC 关于 xx 轴对称，则 (x,y)∈C(x,y)\in C 时 (x,−y)∈C(x,-y)\in C.这两个点的伴随点分别为 (yx2+y2,−xx2+y2)\left(\frac y{x^2+y^2},-\frac x{x^2+y^2}\right)，(−yx2+y2,−xx2+y2)\left(-\frac y{x^2+y^2},-\frac x{x^2+y^2}\right) 它们关于 yy 轴对称，所以命题 \circled3\circled{3} 正确.
命题 \circled4\circled{4} 错误.例如直线 y=1y=1 上的三个点 (0,1)(0,1)、(1,1)(1,1)、(2,1)(2,1) 的伴随点分别为 (1,0)(1,0)，(12,−12)\left(\dfrac12,-\dfrac12\right)，(15,−25)\left(\dfrac15,-\dfrac25\right). 前两点连线斜率为 11，后两点连线斜率为 −13-\dfrac13，三点不共线.因此所有真命题的序列为 \circled2\circled3\circled{2}\circled{3}. \end{solution}

2016 · 四川 · 理 · 第 15 题 · 填空题

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14函数与初等函数★★☆☆☆
若函数 f(x)f(x) 是定义在 R\mathbf{R} 上的周期为 22 的奇函数，当 0<x<10<x<1 时，f(x)=4xf(x)=4^x，则 f ⁣(−52)+f(2)=‾f\!\left(-\dfrac52\right)+f(2)=\underline{\hspace{2em}}.

2016 · 四川 · 文 · 第 14 题 · 填空题

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15函数与初等函数★★★★☆
在平面直角坐标系中，当 P(x,y)P(x,y) 不是原点时，定义 PP 的“伴随点”为 P′ ⁣(yx2+y2,−xx2+y2)P'\!\left( \dfrac{y}{x^2+y^2},-\dfrac{x}{x^2+y^2} \right)；当 PP 是原点时，定义 PP 的“伴随点”为它自身. 平面曲线 CC 上所有点的“伴随点”所构成的曲线 C′C' 定义为曲线 CC 的“伴随曲线”，现有下列命题：
① 若点 AA 的“伴随点”是点 A′A'，则点 A′A' 的“伴随点”是点 AA； ② 单位圆上的“伴随点”仍在单位圆上； ③ 若两点关于 xx 轴对称，则他们的“伴随点”关于 yy 轴对称； ④ 若三点在同一条直线上，则他们的“伴随点”一定共线.
其中的真命题是______. （写出所有真命题的序列）

2016 · 四川 · 文 · 第 15 题 · 填空题

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13函数与初等函数★★☆☆☆
某食品的保鲜时间 yy（单位：小时）与储藏温度 xx（单位：∘C^{\circ}\mathrm{C}）满足函数关系 y=ekx+by = \mathrm{e}^{kx + b}（e=2.718⋯\mathrm{e} = 2.718 \cdots 为自然对数的底数，kk，bb 为常数）. 若该食品在 0∘C0^{\circ}\mathrm{C} 的保鲜时间是 192192 小时，在 22∘C22^{\circ}\mathrm{C} 的保鲜时间是 4848 小时，则该食品在 33∘C33^{\circ}\mathrm{C} 的保鲜时间是______ 小时.
\begin{solution} 由 y(0)=eb=192y(0)=\mathrm{e}^b=192，y(22)=e22k+b=48y(22)=\mathrm{e}^{22k+b}=48，两式相除得 e22k=14\mathrm{e}^{22k}=\dfrac14. 因此
y(33)=e33k+b=eb(e22k)3322=192(14)32=24y(33)=\mathrm{e}^{33k+b}=\mathrm{e}^b\left(\mathrm{e}^{22k}\right)^{\frac{33}{22}}=192\left(\frac14\right)^{\frac{3}{2}}=24
\end{solution}

2015 · 四川 · 理 · 第 13 题 · 填空题

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15函数与初等函数★★★★☆
已知函数 f(x)=2xf(x) = 2^x，g(x)=x2+axg(x) = x^2 + ax（其中 a∈Ra \in \mathbf{R}）. 对于不相等的实数 x1x_1，x2x_2，设 m=f(x1)−f(x2)x1−x2m = \frac{f(x_1) - f(x_2)}{x_1 - x_2}，n=g(x1)−g(x2)x1−x2n = \frac{g(x_1) - g(x_2)}{x_1 - x_2}，现有如下命题：
① 对于任意不相等的实数 x1x_{1}，x2x_{2}，都有 m>0m > 0； ② 对于任意的 aa 及任意不相等的实数 x1x_{1}，x2x_{2}，都有 n>0n > 0； ③ 对于任意的 aa，存在不相等的实数 x1x_{1}，x2x_{2}，使得 m=nm = n； ④ 对于任意的 aa，存在不相等的实数 x1x_{1}，x2x_{2}，使得 m=−nm = -n.
其中的真命题有______. （写出所有真命题的序号）
\begin{solution} 先化简
n=x12−x22+a(x1−x2)x1−x2=x1+x2+an=\frac{x_1^2-x_2^2+a(x_1-x_2)}{x_1-x_2}=x_1+x_2+a
因为 2x2^x 在 R\mathbf{R} 上严格递增，所以 x1≠x2x_1\ne x_2 时 m>0m>0，命题 1 为真. 命题 2 不真，例如取 a=0a=0，x1=−2x_1=-2，x2=−1x_2=-1，则 n=−3<0n=-3<0.
命题 3 也不真. 取 a=−10a=-10，记 s=x1+x2s=x_1+x_2，d=x1−x2≠0d=x_1-x_2\ne0，则
m=2s22d2−2−d2d>(ln⁡2)2s2m=2^{\frac{s}{2}}\frac{2^{\frac{d}{2}}-2^{-\frac{d}{2}}}{d}>(\ln2)2^{\frac{s}{2}}
若 s⩽10s\leqslant10，则 n=s−10⩽0<mn=s-10\leqslant0<m. 若 s>10s>10，函数 (ln⁡2)2s2−(s−10)(\ln2)2^{\frac{s}{2}}-(s-10) 的导数在 [10,+∞)[10,+\infty) 上为正，因此该函数递增且在 s=10s=10 时为正，所以仍有 m>s−10=nm>s-10=n，不可能 m=nm=n.
对于命题 4，固定取 x1=t+1x_1=t+1，x2=t−1x_2=t-1，则 m=34 2tm=\dfrac34\,2^t，n=2t+an=2t+a. 函数 h(t)=34 2t+2t+ah(t)=\dfrac34\,2^t+2t+a 连续，且当 t→−∞t\to-\infty 时 h(t)→−∞h(t)\to-\infty，当 t→+∞t\to+\infty 时 h(t)→+∞h(t)\to+\infty. 由介值定理，存在 tt 使 h(t)=0h(t)=0，即 m=−nm=-n，命题 4 为真. 所以真命题的序号为 \circled1\circled4\circled{1}\circled{4}. \end{solution}

2015 · 四川 · 理 · 第 15 题 · 填空题

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15函数与初等函数★★★★☆
已知函数 f(x)=2xf(x) = 2^x，g(x)=x2+axg(x) = x^2 + ax（其中 a∈Ra \in \mathbf{R}）. 对于不相等的实数 x1x_1，x2x_2，设 m=f(x1)−f(x2)x1−x2m = \frac{f(x_1) - f(x_2)}{x_1 - x_2}，n=g(x1)−g(x2)x1−x2n = \frac{g(x_1) - g(x_2)}{x_1 - x_2}，现有如下命题：
① 对于任意不相等的实数 x1x_1，x2x_2，都有 m>0m > 0； ② 对于任意的 aa 及任意不相等的实数 x1x_1，x2x_2，都有 n>0n > 0； ③ 对于任意的 aa，存在不相等的实数 x1x_1，x2x_2，使得 m=nm = n； ④ 对于任意的 aa，存在不相等的实数 x1x_1，x2x_2，使得 m=−nm = -n.
其中的真命题有______（写出所有真命题的序号）.

2015 · 四川 · 文 · 第 15 题 · 填空题

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12函数与初等函数★☆☆☆☆
设 f(x)f(x) 是定义在 R\mathbf{R} 上的周期为 2 的函数，当 x∈[−1,1)x \in [-1, 1) 时，
f(x)={−4x2+2,−1⩽x<0,x,0⩽x<1,f(x) = \begin{cases} -4x^{2} + 2, & -1 \leqslant x < 0,\\ x, & 0 \leqslant x < 1, \end{cases}
则 f(32)=f\left(\frac{3}{2}\right) =______.

2014 · 四川 · 理 · 第 12 题 · 填空题

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15函数与初等函数★★★★☆
以 AA 表示值域为 R\mathbf{R} 的函数组成的集合，BB 表示具有如下性质的函数 φ(x)\varphi(x) 组成的集合：对于函数 φ(x)\varphi(x)，存在一个正数 MM，使得函数 φ(x)\varphi(x) 的值域包含于区间 [−M,M][-M, M]. 例如，当 φ1(x)=x3\varphi_1(x) = x^3，φ2(x)=sin⁡x\varphi_2(x) = \sin x 时，φ1(x)∈A\varphi_1(x) \in A，φ2(x)∈B\varphi_2(x) \in B. 现有如下命题：
① 设函数 f(x)f(x) 的定义域为 DD，则“f(x)∈Af(x) \in A”的充要条件是“∀b∈R\forall b \in \mathbf{R}，∃a∈D\exists a \in D，f(a)=bf(a)=b”； ② 函数 f(x)∈Bf(x) \in B 的充要条件是 f(x)f(x) 有最大值和最小值； ③ 若函数 f(x)f(x)，g(x)g(x) 的定义域相同，且 f(x)∈Af(x) \in A，g(x)∈Bg(x) \in B，则 f(x)+g(x)∉Bf(x) + g(x) \notin B； ④ 若函数 f(x)=aln⁡(x+2)+xx2+1f(x) = a\ln(x + 2) + \frac{x}{x^{2} + 1}（x>−2x > -2，a∈Ra \in \mathbf{R}）有最大值，则 f(x)∈Bf(x) \in B.
其中的真命题有______.（写出所有真命题的序号）

2014 · 四川 · 理 · 第 15 题 · 填空题

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13函数与初等函数★★☆☆☆
设 f(x)f(x) 是定义在 R\mathbf{R} 上的周期为 2 的函数，当 x∈[−1,1)x \in [-1,1) 时，
f(x)={−4x2+2,−1⩽x<0,x,0⩽x<1,f(x) = \begin{cases} -4x^{2} + 2, & -1 \leqslant x < 0,\\ x, & 0 \leqslant x < 1, \end{cases}
则 f(32)=f\left(\frac{3}{2}\right) =______. \begin{answer} 1 \end{answer}
\begin{solution} 函数周期为 22，所以 f(32)=f(32−2)=f(−12)f\left(\frac32\right)=f\left(\frac32-2\right)=f\left(-\frac12\right). 由于 −12∈[−1,0)-\frac12\in[-1,0)，代入分段表达式得
f(−12)=−4(−12)2+2=1f\left(-\frac12\right)=-4\left(-\frac12\right)^2+2=1
故填 11. \end{solution}

2014 · 四川 · 文 · 第 13 题 · 填空题

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15函数与初等函数★★★★☆
以 AA 表示值域为 R\mathbf{R} 的函数组成的集合，BB 表示具有如下性质的函数 φ(x)\varphi(x) 组成的集合：对于函数 φ(x)\varphi(x)，存在一个正数 MM，使得函数 φ(x)\varphi(x) 的值域包含于区间 [−M,M][-M, M]. 例如，当 φ1(x)=x3\varphi_{1}(x) = x^{3}，φ2(x)=sin⁡x\varphi_{2}(x) = \sin x 时，φ1(x)∈A\varphi_{1}(x) \in A，φ2(x)∈B\varphi_{2}(x) \in B. 现有如下命题：
① 设函数 f(x)f(x) 的定义域为 DD，则“f(x)∈Af(x) \in A”的充要条件是“∀b∈R\forall b \in \mathbf{R}，∃a∈D\exists a \in D，f(a)=bf(a)=b”； ② 函数 f(x)∈Bf(x) \in B 的充要条件是 f(x)f(x) 有最大值和最小值； ③ 若函数 f(x)f(x)，g(x)g(x) 的定义域相同，且 f(x)∈Af(x) \in A，g(x)∈Bg(x) \in B，则 f(x)+g(x)∉Bf(x)+g(x) \notin B； ④ 若函数 f(x)=aln⁡(x+2)+xx2+1f(x) = a\ln(x + 2) + \frac{x}{x^{2} + 1}（x>−2x > -2，a∈Ra \in \mathbf{R}）有最大值，则 f(x)∈Bf(x) \in B.
其中的真命题有______.（写出所有真命题的序号） \begin{answer} \circled1\circled3\circled4\circled{1}\circled{3}\circled{4} \end{answer}
\begin{solution} 命题 1 直接是值域为 R\mathbf{R} 的定义，因此命题 1 为真.
命题 2 中，函数有最大值和最小值可以推出值域有界，但有界函数不一定取得最大值和最小值. 例如 f(x)=arctan⁡xf(x)=\arctan x 的值域为 (−π2,π2)\left(-\frac\pi2,\frac\pi2\right)，有界却没有最大值和最小值，因此命题 2 为假.
命题 3 中，设 g(x)g(x) 的值域包含于 [−M,M][-M,M]. 对任意正数 KK，由于 f(x)f(x) 的值域为 R\mathbf{R}，存在 xx 使 f(x)>K+Mf(x)>K+M，于是 f(x)+g(x)>Kf(x)+g(x)>K. 因而 f+gf+g 无上界，不能属于 BB，命题 3 为真.
命题 4 中，若 a>0a>0，则 aln⁡(x+2)→+∞a\ln(x+2)\to+\infty（x→+∞x\to+\infty），函数不可能有最大值；若 a<0a<0，则 aln⁡(x+2)→+∞a\ln(x+2)\to+\infty（x→−2+x\to-2^+），函数同样不可能有最大值. 因此函数有最大值时只能有 a=0a=0，此时 f(x)=xx2+1f(x)=\frac{x}{x^2+1}，且 ∣xx2+1∣⩽12\left|\frac{x}{x^2+1}\right|\leqslant\frac12，所以 f(x)∈Bf(x)\in B. 命题 4 为真.
所以真命题的序号为 11，33，44. \end{solution}

2014 · 四川 · 文 · 第 15 题 · 填空题

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14函数与初等函数★★☆☆☆
已知 f(x)f(x) 是定义域为 R\mathbf{R} 的偶函数，当 x⩾0x \geqslant 0 时，f(x)=x2−4xf(x) = x^2 - 4x，那么，不等式 f(x+2)<5f(x + 2) < 5 的解集是______.

2013 · 四川 · 理 · 第 14 题 · 填空题

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13函数与初等函数★☆☆☆☆
函数 f(x)=11−2xf(x) = \frac{1}{\sqrt{1 - 2x}} 的定义域是______（用区间表示）.

2012 · 四川 · 文 · 第 13 题 · 填空题

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16函数与初等函数★★★☆☆
函数 f(x)f(x) 的定义域为 AA. 若 x1x_{1}，x2∈Ax_{2} \in A 且 f(x1)=f(x2)f(x_{1}) = f(x_{2}) 时总有 x1=x2x_{1} = x_{2}，则称 f(x)f(x) 为单函数. 例如，函数 f(x)=2x+1f(x) = 2x + 1 （x∈Rx \in \mathbf{R}） 是单函数. 下列命题：
① 函数 f(x)=x2f(x)=x^{2}（x∈Rx\in\mathbf{R}）是单函数； ② 若 f(x)f(x) 为单函数，x1x_{1}，x2∈Ax_{2} \in A 且 x1≠x2x_{1} \neq x_{2}，则 f(x1)≠f(x2)f(x_{1}) \neq f(x_{2})； ③ 若 f:A→Bf: A \to B 为单函数，则对于任意 b∈Bb \in B，它至多有一个原象； ④ 函数 f(x)f(x) 在某区间上具有单调性，
则 f(x)f(x) 一定是单函数. 其中的真命题是______.（写出所有真命题的编号）

2011 · 四川 · 理 · 第 16 题 · 填空题

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16函数与初等函数★★☆☆☆
函数 f(x)f(x) 的定义域为 AA，若 x1x_1，x2∈Ax_2 \in A 且 f(x1)=f(x2)f(x_1) = f(x_2) 时总有 x1=x2x_1 = x_2，则称 f(x)f(x) 为单函数. 例如，函数 f(x)=2x+1f(x) = 2x + 1（x∈Rx \in \mathbf{R}）是单函数. 下列命题：
① f(x)=x2f(x) = x^2（x∈Rx \in \mathbf{R}）是单函数； ② f(x)=2xf(x) = 2^x（x∈Rx \in \mathbf{R}）是单函数； ③ 若 f(x)f(x) 为单函数，x1x_1，x2∈Ax_2 \in A 且 x1≠x2x_1 \neq x_2，则 f(x1)≠f(x2)f(x_1) \neq f(x_2)； ④ 在定义域上具有单调性的函数一定是单函数.
其中的真命题是______.（写出所有真命题的编号）

2011 · 四川 · 文 · 第 16 题 · 填空题

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13函数与初等函数★☆☆☆☆
设函数 f(x)=e−(x−u)2f(x) = \mathrm{e}^{-(x-u)^2}（e\mathrm{e} 是自然对数的底数）的最大值是 mm，且 f(x)f(x) 是偶函数，则 m+u=‾m + u =\underline{\hspace{2em}}.

2007 · 四川 · 理 · 第 13 题 · 填空题

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