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21解析几何★★★★☆
设椭圆 C:x2a2+y2b2=1C:\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1（a>b>0a>b>0） 的右焦点为 FF，点 M(1,32)M\left(1,\dfrac32\right) 在 CC 上，且 MF⊥xMF\perp x 轴.
(1) 求 CC 的方程； (2) 过点 P(4,0)P(4,0) 的直线交 CC 于 AA，BB 两点，NN 为线段 FPFP 的中点，直线 NBNB 交直线 MFMF 于点 QQ，证明：AQ⊥yAQ\perp y 轴.

2024 · 全国 · 甲卷 · 文 · 第 21 题 · 解答题

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23不等式★★★☆☆
已知 f(x)=2∣x−a∣−af(x)=2|x-a|-a，a>0a>0.
(1) 求不等式 f(x)<xf(x)<x 的解集； (2) 若曲线 y=f(x)y=f(x) 与 xx 轴所围成的图形的面积为 22，求 aa.

2023 · 全国 · 甲卷 · 文 · 第 23 题 · 解答题

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21导数及其应用★★★★★
已知函数 f(x)=exx−ln⁡x+x−af(x)=\frac{\mathrm{e}^x}{x}-\ln x+x-a.
(1) 若 f(x)≥0f(x)\ge 0，求 aa 的取值范围； (2) 证明：若 f(x)f(x) 有两个零点 x1x_1，x2x_2，则 x1x2<1x_1x_2<1.

2022 · 全国 · 甲卷 · 理 · 第 21 题 · 解答题

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21导数及其应用★★★★☆
已知 a>0a>0 且 a≠1a\ne 1，函数 f(x)=xaaxf(x)=\dfrac{x^a}{a^x}（x>0x>0）.
(1) 当 a=2a=2 时，求 f(x)f(x) 的单调区间； (2) 若曲线 y=f(x)y=f(x) 与直线 y=1y=1 有且仅有两个交点，求 aa 的取值范围.

2021 · 全国 · 甲卷 · 理 · 第 21 题 · 解答题

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23不等式★★★☆☆
已知函数 f(x)=∣x−2∣f(x)=|x-2|，g(x)=∣2x+3∣−∣2x−1∣g(x)=|2x+3|-|2x-1|.
(1) 画出 y=f(x)y=f(x) 和 y=g(x)y=g(x) 的图像； (2) 若 f(x+a)≥g(x)f(x+a)\ge g(x)，求 aa 的取值范围.

2021 · 全国 · 甲卷 · 理 · 第 23 题 · 解答题

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23不等式★★★☆☆
已知函数 f(x)=∣x−2∣f(x)=|x-2|，g(x)=∣2x+3∣−∣2x−1∣g(x)=|2x+3|-|2x-1|.
(1) 画出 y=f(x)y=f(x) 和 y=g(x)y=g(x) 的图像； (2) 若 f(x+a)≥g(x)f(x+a)\ge g(x)，求 aa 的取值范围.

2021 · 全国 · 甲卷 · 文 · 第 23 题 · 解答题

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21导数及其应用★★★★☆
设函数 f(x)=x3+bx+cf(x)=x^3+bx+c，曲线 y=f(x)y=f(x) 在点 (12,f(12))\left( \dfrac{1}{2},f\left( \dfrac{1}{2} \right) \right) 处的切线与 yy 轴垂直.
(1) 求 bb； (2) 若 f(x)f(x) 有一个绝对值不大于 11 的零点，证明：f(x)f(x) 所有零点的绝对值都不大于 11.

2020 · 全国 · 三卷 · 理 · 第 21 题 · 解答题

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20导数及其应用★★★★☆
已知函数 f(x)=x3−kx+k2f(x)=x^3-kx+k^2.
(1) 讨论 f(x)f(x) 的单调性； (2) 若 f(x)f(x) 有三个零点，求 kk 的取值范围.

2020 · 全国 · 三卷 · 文 · 第 20 题 · 解答题

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21解析几何★★★★☆
已知曲线 C:y=x22C:y=\dfrac{x^2}{2}，DD 为直线 y=−12y=-\dfrac12 上的动点，过 DD 作 CC 的两条切线，切点分别为 AA，BB.
(1) 证明：直线 ABAB 过定点； (2) 若以 E(0,52)E(0,\dfrac52) 为圆心的圆与直线 ABAB 相切，且切点为线段 ABAB 的中点，求四边形 ADBEADBE 的面积.

2019 · 全国 · 三卷 · 理 · 第 21 题 · 解答题

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23不等式★★★☆☆
设函数 f(x)=∣2x+1∣+∣x−1∣f(x)=|2x+1|+|x-1|.
(1) 画出 y=f(x)y=f(x) 的图象； (2) 当 x∈[0,+∞)x\in[0,+\infty) 时，f(x)≤ax+bf(x)\le ax+b，求 a+ba+b 的最小值.

2018 · 全国 · 三卷 · 理 · 第 23 题 · 解答题

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23不等式★★★☆☆
设函数 f(x)=∣2x+1∣+∣x−1∣f(x)=|2x+1|+|x-1|.
(1) 画出 y=f(x)y=f(x) 的图象； (2) 当 x∈[0,+∞)x\in[0,+\infty) 时，f(x)≤ax+bf(x)\le ax+b，求 a+ba+b 的最小值.

2018 · 全国 · 三卷 · 文 · 第 23 题 · 解答题

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19三角函数★★★★☆
已知 AA，BB，CC 为 △ABC\triangle ABC 的内角，tan⁡A\tan A，tan⁡B\tan B 是关于 xx 的方程 x2+3px−p+1=0x^{2} + \sqrt{3}px - p + 1 = 0（p∈Rp \in \mathbf{R}）的两个实根.
(1) 求 CC 的大小； (2) 若 AB=3AB = 3，AC=6AC = \sqrt{6}，求 pp 的值.

2015 · 四川 · 文 · 第 19 题 · 解答题

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20解析几何★★★★☆
如图，椭圆 E:x2a2+y2b2=1E: \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1（a>b>0a > b > 0）的离心率是 22\frac{\sqrt{2}}{2}，点 P(0,1)P(0,1) 在短轴 CDCD 上，且 PC‾⋅PD‾=−1\overline{PC} \cdot \overline{PD} = -1.
(1) 求椭圆 EE 的方程； (2) 设 OO 为坐标原点，过点 PP 的动直线与椭圆交于 AA，BB 两点. 是否存在常数 λ\lambda，使得 OA→⋅OB→+λPA→⋅PB→\overrightarrow{OA} \cdot \overrightarrow{OB} + \lambda \overrightarrow{PA} \cdot \overrightarrow{PB} 为定值？若存在，求 λ\lambda 的值；若不存在，请说明理由.

2015 · 四川 · 文 · 第 20 题 · 解答题

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21导数及其应用★★★★★
已知函数 f(x)=−2xln⁡x+x2−2ax+a2f(x) = -2x\ln x + x^2 - 2ax + a^2，其中 a>0a > 0.
(1) 设 g(x)g(x) 是 f(x)f(x) 的导函数，讨论 g(x)g(x) 的单调性； (2) 证明：存在 a∈(0,1)a \in (0,1)，使得 f(x)⩾0f(x) \geqslant 0 恒成立，且 f(x)=0f(x) = 0 在区间 (1,+∞)(1, +\infty) 内有唯一解.

2015 · 四川 · 文 · 第 21 题 · 解答题

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21导数及其应用★★★★★
已知函数 f(x)=ex−ax2−bx−1f(x) = \mathrm{e}^{x} - ax^{2} - bx - 1，其中 aa，b∈Rb \in \mathbf{R}，e=2.71828⋯\mathrm{e} = 2.71828\cdots 为自然对数的底数.
(1) 设 g(x)g(x) 是函数 f(x)f(x) 的导函数，求函数 g(x)g(x) 在区间 [0,1][0,1] 上的最小值； (2) 若 f(1)=0f(1)=0，函数 f(x)f(x) 在区间 (0,1)(0,1) 内有零点，求 a 的取值范围.

2014 · 四川 · 理 · 第 21 题 · 解答题

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20解析几何★★★★☆
已知椭圆 C:x2a2+y2b2=1C: \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1（a>b>0a > b > 0）的左焦点为 F(−2,0)F(-2,0)，离心率为 63\frac{\sqrt{6}}{3}.
(1) 求椭圆 CC 的标准方程； (2) 设 OO 为坐标原点，TT 为直线 x=−3x = -3 上一点，过 FF 作 TFTF 的垂线交椭圆于 PP，QQ. 当四边形 OPTQOPTQ 是平行四边形时，求四边形 OPTQOPTQ 的面积.
\begin{solution} \begin{enumerate} \item 设椭圆焦距参数为 cc. 由左焦点 F(−2,0)F(-2,0) 得 c=2c=2，再由离心率 e=ca=63e=\frac ca=\frac{\sqrt6}{3}，得 a=6a=\sqrt6. 因为 b2=a2−c2=6−4=2b^2=a^2-c^2=6-4=2，所以椭圆的标准方程为 x26+y22=1\frac{x^2}{6}+\frac{y^2}{2}=1. \item 设 T=(−3,m)T=(-3,m). 向量 TF→=(1,−m)\overrightarrow{TF}=(1,-m)，过 FF 且垂直于 TFTF 的直线可写为 x=my−2x=my-2. 设 P=(x1,y1)P=(x_1,y_1)，Q=(x2,y2)Q=(x_2,y_2)，代入椭圆方程得
(m2+3)y2−4my−2=0(m^2+3)y^2-4my-2=0
由韦达定理， y1+y2=4mm2+3y_1+y_2=\frac{4m}{m^2+3}，y1y2=−2m2+3y_1y_2=-\frac2{m^2+3}. 又 xi=myi−2x_i=my_i-2，所以 x1+x2=4m2m2+3−4=−12m2+3x_1+x_2=\frac{4m^2}{m^2+3}-4=-\frac{12}{m^2+3}. 四边形 OPTQOPTQ 为平行四边形时，对角线互相平分，即 P+Q=O+T=TP+Q=O+T=T，故 4mm2+3=m\frac{4m}{m^2+3}=m，−12m2+3=−3-\frac{12}{m^2+3}=-3. 第二个等式给出 m2=1m^2=1，这两个值也满足第一个等式，因此 m=±1m=\pm1.
取 m=1m=1，则 T=(−3,1)T=(-3,1)，直线 PQPQ 为 y=x+2y=x+2，与椭圆的两个交点为 P(−3−32,1−32)P\left(\frac{-3-\sqrt3}{2},\frac{1-\sqrt3}{2}\right)，Q(−3+32,1+32)Q\left(\frac{-3+\sqrt3}{2},\frac{1+\sqrt3}{2}\right). 平行四边形的两条对角线为 OTOT 与 PQPQ，故面积为
12∣det⁡((−3,1),(3,3))∣=23\frac12\left|\det\left((-3,1),(\sqrt3,\sqrt3)\right)\right|=2\sqrt3
当 m=−1m=-1 时图形关于 xx 轴对称，面积相同. 因此四边形 OPTQOPTQ 的面积为 232\sqrt3. \end{enumerate} \end{solution}

2014 · 四川 · 文 · 第 20 题 · 解答题

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21导数及其应用★★★★★
已知函数
f(x)={x2+2x+a,x<0,ln⁡x,x>0,f(x) = \begin{cases} x^2 + 2x + a, & x < 0,\\ \ln x, & x > 0, \end{cases}
其中 aa 是实数. 设 A(x1,f(x1))A(x_1, f(x_1))，B(x2,f(x2))B(x_2, f(x_2)) 为该函数图象上的两点，且 x1<x2x_1 < x_2.
(1) 指出函数 f(x)f(x) 的单调区间； (2) 若函数 f(x)f(x) 的图象在点 AA，BB 处的切线互相垂直，且 x2<0x_{2} < 0，求 x2−x1x_{2} - x_{1} 的最小值； (3) 若函数 f(x)f(x) 的图象在点 A，B 处的切线重合，求 aa 的取值范围.

2013 · 四川 · 理 · 第 21 题 · 解答题

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20解析几何★★★★☆
已知圆 CC 的方程为 x2+(y−4)2=4x^{2}+\left(y-4\right)^{2}=4，点 OO 是坐标原点，直线 l:y=kxl:y=kx 与圆 CC 交于 MM，NN 两点.
(1) 求 kk 的取值范围； (2) 设 Q(m,n)Q(m,n) 是线段 MNMN 上的点，且 2∣OQ∣2=1∣OM∣2+1∣ON∣2\dfrac{2}{|OQ|^{2}}=\dfrac{1}{|OM|^{2}}+\dfrac{1}{|ON|^{2}}，请将 nn 表示为 mm 的函数.

2013 · 四川 · 文 · 第 20 题 · 解答题

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21解析几何★★★★☆
如图，动点 MM 与两定点 A(−1,0)A(-1,0)，B(1,0)B(1,0) 构成 △MAB\triangle MAB，且直线 MAMA，MBMB 的斜率之积为 44. 设动点 MM 的轨迹为 CC.
(1) 求轨迹 CC 的方程； (2) 设直线 y=x+my = x + m （m>0m > 0） 与 yy 轴相交于点 PP. 与轨迹 CC 相交于点 QQ，RR，且 ∣PQ∣<∣PR∣|PQ| < |PR|，求 ∣PR∣∣PQ∣\frac{|PR|}{|PQ|} 的取值范围.

2012 · 四川 · 文 · 第 21 题 · 解答题

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22指数函数与对数函数★★★★★
设 f(x)=1+ax1−axf(x) = \frac{1 + a^x}{1 - a^x}（a>0a > 0 且 a≠1a \ne 1），g(x)g(x) 是 f(x)f(x) 的反函数.
(1) 设关于 xx 的方程 log⁡at(x2−1)(7−x)=g(x)\log_{a} \frac{t}{(x^2 - 1)(7 - x)} = g(x) 在区间 [2,6][2,6] 上有实数解，求 tt 的取值范围. (2) 当 a=ea = \mathrm{e}（e\mathrm{e} 为自然对数的底数）时，证明：∑k=2ng(k)>2−n−n22n(n+1)\sum_{k=2}^{n} g(k) > \frac{2 - n - n^2}{\sqrt{2n(n+1)}}； (3) 当 0<a⩽120 < a \leqslant \frac{1}{2} 时，试比较 ∣∑k=1nf(k)−n∣\left| \sum_{k=1}^{n} f(k) - n \right| 与 44 的大小，并说明理由.

2010 · 四川 · 理 · 第 22 题 · 解答题

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22指数函数与对数函数★★★★★
设 f(x)=1+ax1−axf(x) = \frac{1 + a^x}{1 - a^x} （a>0a > 0 且 a≠1a \neq 1），g(x)g(x) 是 f(x)f(x) 的反函数.
(1) 求 g(x)g(x). (2) 当 x∈[2,6]x \in [2,6] 时，恒有 g(x)>log⁡at(x2−1)(7−x)g(x) > \log_a \frac{t}{(x^2 - 1)(7 - x)} 成立，求 tt 的取值范围； (3) 当 0<a⩽120 < a \leqslant \frac{1}{2} 时，试比较 f(1)+f(2)+⋯+f(n)f(1) + f(2) + \cdots + f(n) 与 n+4n + 4 的大小，并说明理由.

2010 · 四川 · 文 · 第 22 题 · 解答题

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21解析几何★★★★☆
已知椭圆 x2a2+y2b2=1\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1（a>b>0a > b > 0）的左，右焦点分别为 F1F_1，F2F_2，离心率 e=22e = \frac{\sqrt{2}}{2}，右准线方程为 x=2x = 2.
(1) 求椭圆的标准方程； (2) 过点 F1F_{1} 的直线 ll 与该椭圆交于 MM，NN 两点，且 ∣F2M→+F2N→∣=2263\left|\overrightarrow{F_2M} + \overrightarrow{F_2N}\right| = \frac{2\sqrt{26}}{3}，求直线 ll 的方程.
\begin{solution} \begin{enumerate} \item 由离心率 e=ca=22e=\frac ca=\frac{\sqrt2}{2}，右准线为 x=ae=2x=\frac ae=2，得 a=2a=\sqrt2，c=ae=1c=ae=1. 于是 b2=a2−c2=1b^2=a^2-c^2=1，椭圆的标准方程为
x22+y2=1\frac{x^2}{2}+y^2=1
\item 已知 F1=(−1,0)F_1=(-1,0). 若直线 ll 不是竖直线，设其方程为 y=k(x+1)y=k(x+1). 令交点 MM，NN 的横坐标分别为 x1x_1，x2x_2，代入椭圆方程得
(1+2k2)x2+4k2x+2k2−2=0(1+2k^2)x^2+4k^2x+2k^2-2=0
由韦达定理， x1+x2=−4k21+2k2x_1+x_2=-\frac{4k^2}{1+2k^2}，y1+y2=k(x1+x2+2)=2k1+2k2y_1+y_2=k(x_1+x_2+2)=\frac{2k}{1+2k^2}. 因 F2=(1,0)F_2=(1,0)，所以
F2M→+F2N→=(x1+x2−2,y1+y2)\overrightarrow{F_2M}+\overrightarrow{F_2N} =\left(x_1+x_2-2,y_1+y_2\right)
从而
∣F2M→+F2N→∣2=4(4k2+1)2+4k2(1+2k2)2\left|\overrightarrow{F_2M}+\overrightarrow{F_2N}\right|^2 =\frac{4(4k^2+1)^2+4k^2}{(1+2k^2)^2}
根据题设，该式等于 (2263)2=1049\left(\frac{2\sqrt{26}}{3}\right)^2=\frac{104}{9}，整理得 40k4−23k2−17=040k^4-23k^2-17=0，(k2−1)(40k2+17)=0(k^2-1)(40k^2+17)=0. 所以 k2=1k^2=1，即 k=1k=1 或 k=−1k=-1. 还需讨论过 F1F_1 的竖直线 x=−1x=-1. 此时交点为 M=(−1,22)M=(-1,\frac{\sqrt2}{2})、N=(−1,−22)N=(-1,-\frac{\sqrt2}{2})，从而 ∣F2M→+F2N→∣=4≠2263\left|\overrightarrow{F_2M}+\overrightarrow{F_2N}\right|=4\ne\frac{2\sqrt{26}}{3}，不符合题设. 因此
l:y=x+1或l:y=−x−1l:y=x+1\quad\text{或}\quad l:y=-x-1
\end{enumerate} \end{solution}

2009 · 四川 · 文 · 第 21 题 · 解答题

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20解析几何★★★★☆
设 F1F_{1}，F2F_{2} 分别是椭圆 x24+y2=1\frac{x^{2}}{4} + y^{2} = 1 的左，右焦点.
(1) 若 PP 是该椭圆上的一个动点，求 PF1→⋅PF2→\overrightarrow{PF_{1}} \cdot \overrightarrow{PF_{2}} 的最大值和最小值； (2) 设过定点 M(0,2)M(0,2) 的直线 ll 与椭圆交于不同的两点 AA，BB，且 ∠AOB\angle AOB 为锐角（其中 OO 为坐标原点），求直线 ll 的斜率 kk 的取值范围.

2007 · 四川 · 理 · 第 20 题 · 解答题

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21解析几何★★★★☆
已知 F1F_{1}，F2F_{2} 分别是椭圆 x24+y2=1\frac{x^{2}}{4} + y^{2} = 1 的左，右焦点.
(1) 若 PP 是第一象限内该椭圆上的一点，且 PF1→⋅PF2→=−54\overrightarrow{PF_{1}} \cdot \overrightarrow{PF_{2}} = -\frac{5}{4}，求点 PP 的坐标； (2) 设过定点 M(0,2)M(0,2) 的直线 ll 与椭圆交于不同的两点 AA，BB，且 ∠AOB\angle AOB 为锐角（其中 OO 为坐标原点），求直线 ll 的斜率 kk 的取值范围.

2007 · 四川 · 文 · 第 21 题 · 解答题

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