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20导数及其应用★★★★★
已知 f(x)=ax−(ln⁡x)2f(x)=ax-(\ln x)^2.
(1) 当 a=1a=1 时，求 f(x)f(x) 在点 (1,f(1))(1,f(1)) 处的切线方程； (2) 当 f(x)f(x) 有三个零点 x1<x2<x3x_1<x_2<x_3 时，
(i) 求 aa 的取值范围； (ii) 证明 (ln⁡x2−ln⁡x1)⋅ln⁡x3<4ee−1(\ln x_2-\ln x_1)\cdot \ln x_3<\frac{4\mathrm{e}}{\mathrm{e}-1}.

2025 · 天津 · 第 20 题 · 解答题

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18解析几何★★★★☆
设椭圆 x2a2+y2b2=1\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a>b>0a>b>0） 的左，右顶点分别为 A1A_1，A2A_2，右焦点为 FF，已知 ∣A1F∣=3|A_1F|=3，∣A2F∣=1|A_2F|=1.
(1) 求椭圆方程及其离心率； (2) 已知点 PP 是椭圆上一动点（不与端点重合），直线 A2PA_2P 交 yy 轴于点 QQ，若三角形 A1PQA_1PQ 的面积是三角形 A2FPA_2FP 面积的二倍，求直线 A2PA_2P 的方程.

2023 · 天津 · 第 18 题 · 解答题

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20导数及其应用★★★★★
设函数 f(x)=ln⁡x−a(x−1)exf(x)=\ln x-a(x-1)\mathrm{e}^x，其中 a∈Ra\in\mathbf{R}.
(1) 若 a≤0a\le0，讨论 f(x)f(x) 的单调性； (2) 若 0<a<\dfrac1\mathrm{e}，
(i) 证明 f(x)f(x) 恰有两个零点； (ii) 设 x0x_0 为 f(x)f(x) 的极值点，x1x_1 为 f(x)f(x) 的零点，且 x1>x0x_1>x_0，证明 3x0−x1>23x_0-x_1>2.

2019 · 天津 · 文 · 第 20 题 · 解答题

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20导数及其应用★★★★★
设 a∈Za\in\mathbf{Z}. 已知定义在 R\mathbf{R} 上的函数 f(x)=2x4+3x3−3x2−6x+af(x)=2x^4+3x^3-3x^2-6x+a 在区间 (1,2)(1,2) 内有一个零点 x0x_0，g(x)g(x) 为 f(x)f(x) 的导函数.
(1) 求 g(x)g(x) 的单调区间； (2) 设 m∈[1,x0)∪(x0,2]m\in[1,x_0)\cup(x_0,2]，函数 h(x)=g(x)(m−x0)−f(m)h(x)=g(x)(m-x_0)-f(m)，求证：h(m)h(x0)<0h(m)h(x_0)<0； (3) 求证：存在大于 00 的常数 AA，使得对于任意的正整数 pp，qq，且 pq∈[1,x0)∪(x0,2]\dfrac{p}{q}\in[1,x_0)\cup(x_0,2]，满足 ∣pq−x0∣≥1Aq4\left|\dfrac{p}{q}-x_0\right|\ge \dfrac{1}{Aq^4}.

2017 · 天津 · 理 · 第 20 题 · 解答题

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19解析几何★★★★★
设椭圆 x2a2+y23=1\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{3}=1（a>3a>\sqrt3）的右焦点为 FF，右顶点为 AA，已知 1∣OF∣+1∣OA∣=3e∣FA∣\dfrac1{\lvert OF\rvert}+\dfrac1{\lvert OA\rvert}=\dfrac{3e}{\lvert FA\rvert}，其中 OO 为原点，ee 为椭圆的离心率.
(1) 求椭圆的方程； (2) 设过点 AA 的直线 ll 与椭圆交于点 BB（BB 不在 xx 轴上），垂直于 ll 的直线与 ll 交于点 MM，与 yy 轴交于点 HH. 若 BF⊥HFBF\perp HF，且 ∠MOA≤∠MAO\angle MOA\le\angle MAO，求直线 ll 的斜率的取值范围.

2016 · 天津 · 理 · 第 19 题 · 解答题

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16不等式★★★☆☆
某化工厂生产甲，乙两种混合肥料，需要 AA，BB，CC 三种主要原料，生产 1 车皮甲种肥料和生产 1 车皮乙种肥料所需三种原料的吨数如表所示：
肥料\end{tabular}AABBCC
乙5510
现有 AA 种原料 200 吨，BB 种原料 360 吨，CC 种原料 300 吨，在此基础上生产甲，乙两种肥料. 已知生产 1 车皮甲种肥料，产生的利润为 2 万元；生产 1 车皮乙种肥料，产生的利润为 3 万元. 分别用 xx，yy 表示计划生产甲，乙两种肥料的车皮数.
(1) 用 xx，yy 列出满足生产条件的数学关系式，并画出相应的平面区域； (2) 问分别生产甲，乙两种肥料各多少车皮，能够产生最大的利润？并求出此最大利润.

2016 · 天津 · 文 · 第 16 题 · 解答题

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20导数及其应用★★★★★
已知函数 f(x)=4x−x4f(x) = 4x - x^4，x∈Rx \in \mathbf{R}.
(1) 求 f(x)f(x) 的单调区间； (2) 设曲线 y=f(x)y = f(x) 与 xx 轴正半轴的交点为 PP，曲线在点 PP 处的切线方程为 y=g(x)y = g(x). 求证：对于任意的实数 xx，都有 f(x)⩽g(x)f(x) \leqslant g(x)； (3) 若方程 f(x)=af(x) = a （aa 为实数） 有两个正实数根 x1x_1，x2x_2，且 x1<x2x_1 < x_2，求证：x2−x1⩽−a3+413x_2 - x_1 \leqslant -\frac{a}{3} + 4^{\frac{1}{3}}.

2015 · 天津 · 文 · 第 20 题 · 解答题

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20导数及其应用★★★★★
已知函数 f(x)=x−aexf(x)=x-a\mathrm{e}^{x}（a∈Ra\in\mathbf{R}，x∈Rx\in\mathbf{R}），已知函数 y=f(x)y=f(x) 有两个零点 x1x_1，x2x_2，且 x1<x2x_1<x_2.
(1) 求 aa 的取值范围； (2) 证明 x2x1\frac{x_2}{x_1} 随着 aa 的减小而增大； (3) 证明 x1+x2x_1+x_2 随着 aa 的减小而增大.

2014 · 天津 · 理 · 第 20 题 · 解答题

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18解析几何★★★★☆
设椭圆 x2a2+y2b2=1\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1 （a>b>0a > b > 0）的左焦点为 FF，离心率为 33\frac{\sqrt{3}}{3}，过点 FF 且与 xx 轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为 433\frac{4\sqrt{3}}{3}.
(1) 求椭圆的方程； (2) 设 AA，BB 分别为椭圆的左，右顶点，过点 FF 且斜率为 kk 的直线与椭圆交于 CC，DD 两点. 若 AC→⋅DB→+AD→⋅CB→=8\overrightarrow{AC} \cdot \overrightarrow{DB} + \overrightarrow{AD} \cdot \overrightarrow{CB} = 8，求 kk 的值.

2013 · 天津 · 理 · 第 18 题 · 解答题

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20导数及其应用★★★★★
已知函数 f(x)=x2ln⁡xf(x) = x^2 \ln x.
(1) 求函数 f(x)f(x) 的单调区间； (2) 证明：对任意的 t>0t > 0，存在唯一的 ss，使 t=f(s)t = f(s). (3) 设（2）中所确定的 ss 关于 tt 的函数为 s=g(t)s = g(t)，证明：当 t>e2t > \mathrm{e}^2 时，有 25<ln⁡g(t)ln⁡t<12\frac {2}{5} < \frac {\ln g(t)}{\ln t} < \frac {1}{2}.

2013 · 天津 · 理 · 第 20 题 · 解答题

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18解析几何★★★★☆
设椭圆 x2a2+y2b2=1\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1 （a>b>0a > b > 0）的左焦点为 FF，离心率为 33\frac{\sqrt{3}}{3}，过点 FF 且与 xx 轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为 433\frac{4\sqrt{3}}{3}.
(1) 求椭圆的方程； (2) 设 AA，BB 分别为椭圆的左，右顶点，过点 FF 且斜率为 kk 的直线与椭圆交于 CC，DD 两点. 若 AC→⋅DB→+AD→⋅CB→=8\overrightarrow{AC} \cdot \overrightarrow{DB} + \overrightarrow{AD} \cdot \overrightarrow{CB} = 8，求 kk 的值.

2013 · 天津 · 文 · 第 18 题 · 解答题

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20导数及其应用★★★★★
设 a∈[−2,0]a \in [-2,0]，已知函数
f(x)={x3−(a+5)x,x⩽0,x3−a+32x2+ax,x>0.f(x) = \begin{cases} x^3 - (a + 5)x, & x \leqslant 0,\\ x^3 - \frac{a + 3}{2}x^2 + ax, & x > 0. \end{cases}
(1) 证明： f(x)f(x) 在区间 (−1,1)(-1,1) 内单调递减，在区间 (1,+∞)(1,+\infty) 内单调递增； (2) 设曲线 y=f(x)y = f(x) 在点 Pi(xi,f(xi))P_i(x_i, f(x_i)) （i=1i = 1，22，33） 处的切线相互平行，且 x1x2x3≠0x_{1}x_{2}x_{3} \neq 0，证明：x1+x2+x3>−13x_{1} + x_{2} + x_{3} > -\frac{1}{3}.

2013 · 天津 · 文 · 第 20 题 · 解答题

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20导数及其应用★★★★★
已知函数 f(x)=13x3+1−a2x2−ax−af(x) = \frac{1}{3} x^3 + \frac{1 - a}{2} x^2 - ax - a，x∈Rx \in \mathbf{R}，其中 a>0a > 0.
(1) 求函数 f(x)f(x) 的单调区间； (2) 若函数 f(x)f(x) 在区间 (−2,0)(-2,0) 内恰有两个零点，求 aa 的取值范围； (3) 当 a=1a = 1 时，设函数 f(x)f(x) 在区间 [t,t+3][t, t + 3] 上的最大值为 M(t)M(t)，最小值为 m(t)m(t)，记 g(t)=M(t)−m(t)g(t) = M(t) - m(t)，求函数 g(t)g(t) 在区间 [−3,−1][-3, -1] 上的最小值.

2012 · 天津 · 文 · 第 20 题 · 解答题

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19导数及其应用★★★★★
已知 a>0a > 0，函数 f(x)=ln⁡x−ax2f(x) = \ln x - ax^2，x>0x > 0.（f(x)f(x) 的图象连续不断）
(1) 求 f(x)f(x) 的单调区间； (2) 当 a=18a = \frac{1}{8} 时，证明：存在 x0∈(2,+∞)x_0 \in (2, +\infty)，使 f(x0)=f(32)f(x_0) = f\left(\frac{3}{2}\right). (3) 若存在均属于区间 [1,3][1,3] 的 α\alpha，β\beta，且 β−α⩾1\beta - \alpha \geqslant 1，使 f(α)=f(β)f(\alpha) = f(\beta). 证明：ln⁡3−ln⁡25⩽a⩽ln⁡23\frac{\ln 3 - \ln 2}{5} \leqslant a \leqslant \frac{\ln 2}{3}.
\begin{solution} \begin{enumerate} \item
f′(x)=1x−2ax=1−2ax2xf'(x)=\frac1x-2ax=\frac{1-2ax^2}{x}
因 x>0x>0，所以当 0<x<12a0<x<\frac{1}{\sqrt{2a}} 时 f′(x)>0f'(x)>0，当 x>12ax>\frac{1}{\sqrt{2a}} 时 f′(x)<0f'(x)<0. 因此 f(x)f(x) 在
(0,12a)\left(0,\frac1{\sqrt{2a}}\right)
上单调递增，在
(12a,+∞)\left(\frac1{\sqrt{2a}},+\infty\right)
上单调递减.
\item 当 a=18a=\frac{1}{8} 时，令
g(x)=f(x)−f(32)=ln⁡x−x28−ln⁡32+932g(x)=f(x)-f\left(\frac32\right) =\ln x-\frac{x^2}{8}-\ln\frac32+\frac9{32}
函数 gg 在 [2,4][2,4] 上连续. 对 u>0u>0，由
u1+u<ln⁡(1+u)<u\frac{u}{1+u}<\ln(1+u)<u
可得
g(2)=ln⁡43−732>14−732=132>0g(2)=\ln\frac43-\frac7{32} >\frac14-\frac7{32} =\frac1{32}>0
以及
g(4)=ln⁡83−5532<53−5532=−596<0g(4)=\ln\frac83-\frac{55}{32} <\frac53-\frac{55}{32} =-\frac5{96}<0
由零点定理，存在 x0∈(2,4)⊂(2,+∞)x_0\in(2,4)\subset(2,+\infty)，使 g(x0)=0g(x_0)=0，即 f(x0)=f(32)f(x_0)=f\left(\frac32\right).
\item 由 β−α⩾1\beta-\alpha\geqslant1 知 α<β\alpha<\beta. 令 d=β−αd=\beta-\alpha，1⩽d⩽21\leqslant d\leqslant2，1⩽α⩽3−d1\leqslant\alpha\leqslant3-d. 由 f(α)=f(β)f(\alpha)=f(\beta)，得
a=ln⁡(βα)β2−α2=ln⁡(1+dα)d(2α+d)a=\frac{\ln(\frac{\beta}{\alpha})}{\beta^2-\alpha^2} =\frac{\ln(1+\frac{d}{\alpha})}{d(2\alpha+d)}
先证上界. 因 α⩾1\alpha\geqslant1 且 1⩽d⩽21\leqslant d\leqslant2，有 1+dα⩽1+d1+\frac{d}{\alpha}\leqslant1+d. 又令 h(d)=2d−d−1h(d)=2^d-d-1，则 h(1)=0h(1)=0，且 h′(d)=2dln⁡2−1⩾2ln⁡2−1>0h'(d)=2^d\ln2-1\geqslant2\ln2-1>0，所以 1+d⩽2d1+d\leqslant2^d. 因而
ln⁡(1+dα)⩽dln⁡2\ln(1+\frac{d}{\alpha})\leqslant d\ln2
又 2α+d=α+β⩾32\alpha+d=\alpha+\beta\geqslant3，所以
a⩽dln⁡23d=ln⁡23a\leqslant\frac{d\ln2}{3d}=\frac{\ln2}{3}
再证下界. 对固定的 dd，分子 ln⁡(1+dα)\ln(1+\frac{d}{\alpha}) 随 α\alpha 增大而减小，分母 d(2α+d)d(2\alpha+d) 随 α\alpha 增大而增大，故该比值随 α\alpha 减小. 由 α⩽3−d\alpha\leqslant3-d，
a⩾ln⁡(1+d3−d)d(6−d)=:G(d)a\geqslant \frac{\ln\left(1+\frac{d}{3-d}\right)}{d(6-d)} =:G(d)
令 u=d(3−d)u=\frac{d}{(3-d)}，则 u∈[12,2]u\in[\frac{1}{2},2]，且
G(d)=ln⁡(1+u)d(6−d)G(d)=\frac{\ln(1+u)}{d(6-d)}
直接求导得
G′(d)=d(6−d)3−d−2(3−d)ln⁡(1+u)[d(6−d)]2=3[u(2+u)−2ln⁡(1+u)](1+u)[d(6−d)]2G'(d)= \frac{\dfrac{d(6-d)}{3-d}-2(3-d)\ln(1+u)}{[d(6-d)]^2} =\frac{3\left[u(2+u)-2\ln(1+u)\right]}{(1+u)[d(6-d)]^2}
由于 ln⁡(1+u)<u\ln(1+u)<u，有
u(2+u)−2ln⁡(1+u)>u(2+u)−2u=u2>0u(2+u)-2\ln(1+u)>u(2+u)-2u=u^2>0
所以 G(d)G(d) 在 [1,2][1,2] 上递增，从而
a⩾G(1)=ln⁡(32)5=ln⁡3−ln⁡25a\geqslant G(1) =\frac{\ln\left(\frac32\right)}5 =\frac{\ln3-\ln2}{5}
综上，
ln⁡3−ln⁡25⩽a⩽ln⁡23\frac{\ln3-\ln2}{5}\leqslant a\leqslant\frac{\ln2}{3}
\end{enumerate} \end{solution}

2011 · 天津 · 理 · 第 19 题 · 解答题

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19导数及其应用★★★★☆
已知函数 f(x)=4x3+3tx2−6t2x+t−1f(x) = 4x^{3} + 3tx^{2} - 6t^{2}x + t - 1，x∈Rx \in \mathbf{R}，其中 t∈Rt \in \mathbf{R}.
(1) 当 t=1t = 1 时，求曲线 y=f(x)y = f(x) 在点 (0,f(0))(0, f(0)) 处的切线方程； (2) 当 t≠0t \neq 0 时，求 f(x)f(x) 的单调区间； (3) 证明：对任意的 t∈(0,+∞)t \in (0, +\infty)，f(x)f(x) 在区间 (0,1)(0, 1) 内均存在零点.

2011 · 天津 · 文 · 第 19 题 · 解答题

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21解析几何★★★★★
已知椭圆 x2a2+y2b2=1\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1 （a>b>0a > b > 0）的两个焦点分别为 F1(−c,0)F_1(-c, 0) 和 F2(c,0)F_2(c, 0)（c>0c > 0），过点 E(a2c,0)E\left(\frac{a^2}{c}, 0\right) 的直线与椭圆相交于 AA，BB 两点，且 F1A∥F2BF_1A \parallel F_2B，∣F1A∣=2∣F2B∣|F_1A| = 2|F_2B|.
(1) 求椭圆的离心率. (2) 求直线 ABAB 的斜率. (3) 设点 CC 与点 AA 关于坐标原点对称. 直线 F2BF_{2}B 上有一点 H(m,n)H(m,n)（m≠0m \neq 0）在 △AF1C\triangle AF_{1}C 的外接圆上，求 nm\frac{n}{m} 的值.

2009 · 天津 · 理 · 第 21 题 · 解答题

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20导数及其应用★★★★☆
已知函数 f(x)=x+ax+bf(x) = x + \frac{a}{x} + b（x≠0x \neq 0），其中 aa，b∈Rb \in \mathbf{R}.
(1) 若曲线 y=f(x)y = f(x) 在点 P(2,f(2))P(2, f(2)) 处的切线方程为 y=3x+1y = 3x + 1，求函数 f(x)f(x) 的解析式； (2) 讨论函数 f(x)f(x) 的单调性； (3) 若对于任意的 a∈[12,2]a \in \left[\frac{1}{2}, 2\right]，不等式 f(x)⩽10f(x) \leqslant 10 在 [14,1]\left[\frac{1}{4}, 1\right] 上恒成立，求 bb 的取值范围.

2008 · 天津 · 理 · 第 20 题 · 解答题

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21解析几何★★★★☆
已知中心在原点的双曲线 CC 的一个焦点是 F1(−3,0)F_{1}(-3,0)，一条渐近线的方程是 5x−2y=0\sqrt{5} x - 2y = 0.
(1) 求双曲线 CC 的方程； (2) 若以 kk（k≠0k \neq 0）为斜率的直线 ll 与双曲线 CC 相交于两个不同的点 MM，NN，线段 MNMN 的垂直平分线与两坐标轴围成的三角形的面积为 812\frac{81}{2}，求 kk 的取值范围.

2008 · 天津 · 理 · 第 21 题 · 解答题

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20导数及其应用★★★★★
已知函数 f(x)=4x3−3x2cos⁡θ+132f(x) = 4x^{3} - 3x^{2}\cos \theta + \frac{1}{32}，其中 x∈Rx \in \mathbf{R}，θ\theta 为参数，且 0⩽θ⩽π20 \leqslant \theta \leqslant \frac{\pi}{2}.
(1) 当 cos⁡θ=0\cos\theta = 0 时，判断函数 f(x)f(x) 是否有极值； (2) 要使函数 f(x)f(x) 的极小值大于零，求参数 θ\theta 的取值范围； (3) 若对（2）中所求的取值范围内的任意参数 θ\theta，函数 f(x)f(x) 在区间 (2a−1,a)(2a - 1, a) 内都是增函数，求实数 aa 的取值范围.

2006 · 天津 · 文 · 第 20 题 · 解答题

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22解析几何★★★★★
如图，双曲线 x2a2−y2b2=1\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1（a>0a > 0，b>0b > 0）的离心率为 52\frac{\sqrt{5}}{2}，F1F_1，F2F_2 分别为左，右焦点，MM 为左准线与渐近线在第二象限内的交点，且 F1M→⋅F2M→=−14\overrightarrow{F_1M} \cdot \overrightarrow{F_2M} = -\frac{1}{4}.
(1) 求双曲线的方程； (2) 设 A(m,0)A(m,0) 和 B(1m,0)B\left(\frac{1}{m},0\right)（0<m<10 < m < 1）是 xx 轴上的两点，过点 AA 作斜率不为 00 的直线 ll，使得 ll 交双曲线于 CC，DD 两点，作直线 BCBC 交双曲线于另一点 EE. 证明：直线 DEDE 垂直于 xx 轴.

2006 · 天津 · 文 · 第 22 题 · 解答题

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