数迹
题目列表试卷列表
共找到 25 题
排序：
组题
本页 25 题去组卷
1917分函数与初等函数★★★★★
已知函数 f(x)f(x) 的定义域为 R\mathbf{R}，且当 x<0x<0 时，f(x)=2xf(x)=2^x. 对任意 x0∈Rx_0\in\mathbf{R}，定义集合 D(x0)={d∈R∣f(x0+d)>f(x0)}D(x_0)=\{d\in\mathbf{R} \mid f(x_0+d)>f(x_0)\}.
(1) 若当 x≥0x\ge 0 时，f(x)=1−xf(x)=1-x，求 D(−1)D(-1)； (2) 若 f(x)f(x) 是奇函数，f(x1)≤f(x2)f(x_1)\le f(x_2)，且 x1x2≠0x_1x_2\ne 0，证明：D(x2)⊆D(x1)D(x_2)\subseteq D(x_1)； (3) 设 f(x)f(x) 满足：① 若 f(x1)≤f(x2)f(x_1)\le f(x_2)，则 D(x2)⊆D(x1)D(x_2)\subseteq D(x_1)；② 当 0<x<10<x<1 时，f(x)<f(0)f(x)<f(0).
(i) 证明：f(0)≥1f(0)\ge 1； (ii) 证明：f(x)f(x) 在区间 (0,+∞)(0,+\infty) 单调递增．

2026 · 全国 · 一卷 · 第 19 题 · 解答题

查看答案和解析
1817分导数及其应用★★★★★
已知函数 f(x)=ln⁡x2−x+ax+b(x−1)3f(x)=\ln\frac{x}{2-x}+ax+b(x-1)^3（x∈(0,2)x\in(0,2)）.
(1) 若 b=0b=0 且 f′(x)≥0f'(x)\ge0，求 aa 的最小值； (2) 证明：曲线 y=f(x)y=f(x) 关于点 (1,a)(1,a) 中心对称； (3) 若 f(x)>−2f(x)>-2 当且仅当 1<x<21<x<2，求 bb 的取值范围.

2024 · 全国 · 新高考一卷 · 第 18 题 · 解答题

查看答案和解析
1917分概率与统计★★★☆☆
某研究小组经过研究发现某种疾病的患病者与未患病者的某项医学指标有明显差异. 经过大量调查，得到如下的患病者和未患病者该项指标的频率分布直方图：
利用该指标制定一个检测标准，需要确定临界值 cc，将该指标大于 cc 的人判定为阳性，小于或等于 cc 的人判定为阴性. 此检测标准的漏诊率是将患病者判定为阴性的概率，记为 p(c)p(c)；误诊率是将未患病者判定为阳性的概率，记为 q(c)q(c). 假设数据在组内均匀分布，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率.
(1) 当漏诊率 p(c)=0.5%p(c)=0.5\% 时，求临界值 cc 和误诊率 q(c)q(c)； (2) 设函数 f(c)=p(c)+q(c)f(c)=p(c)+q(c). 当 c∈[95,105]c\in[95,105] 时，求 f(c)f(c) 的解析式，并求 f(c)f(c) 在区间 [95,105][95,105] 的最小值.

2023 · 全国 · 新高考二卷 · 第 19 题 · 解答题

查看答案和解析
21导数及其应用★★★★★
已知函数 f(x)=ln⁡(1+x)+axe−xf(x)=\ln(1+x)+ax\mathrm{e}^{-x}.
(1) 当 a=1a=1 时，求曲线 y=f(x)y=f(x) 在点 (0,f(0))\left( 0,f(0) \right) 处的切线方程； (2) 若 f(x)f(x) 在区间 (−1,0)(-1,0)，(0,+∞)(0,+\infty) 各恰有一个零点，求 aa 的取值范围.

2022 · 全国 · 乙卷 · 理 · 第 21 题 · 解答题

查看答案和解析
22解析几何★★★☆☆
在直角坐标系 xOyxOy 中，曲线 CC 的参数方程为 x=3cos⁡2tx=\sqrt{3}\cos 2t，y=2sin⁡ty=2\sin t（tt 为参数），以坐标原点为极点，xx 轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知直线 ll 的极坐标方程为 ρsin⁡(θ+π3)+m=0\rho \sin \left( \theta+\frac{\pi}{3} \right)+m=0.
(1) 写出 ll 的直角坐标方程； (2) 若 ll 与 C 有公共点，求 mm 的取值范围.

2022 · 全国 · 乙卷 · 理 · 第 22 题 · 解答题

查看答案和解析
20导数及其应用★★★★☆
已知函数 f(x)=ax−1x−(a+1)ln⁡xf(x)=ax-\dfrac{1}{x}-(a+1)\ln x，x>0x>0.
(1) 当 a=0a=0 时，求 f(x)f(x) 的最大值； (2) 若 f(x)f(x) 恰有一个零点，求 aa 的取值范围.

2022 · 全国 · 乙卷 · 文 · 第 20 题 · 解答题

查看答案和解析
23不等式★★★☆☆
已知函数 f(x)=∣3x+1∣−2∣x−1∣f(x)=\left\lvert 3x+1 \right\rvert-2\left\lvert x-1 \right\rvert.
(1) 画出 y=f(x)y=f(x) 的图象； (2) 求不等式 f(x)>f(x+1)f(x)>f(x+1) 的解集.

2020 · 全国 · 一卷 · 理 · 第 23 题 · 解答题

查看答案和解析
20导数及其应用★★★★☆
已知函数 f(x)=ex−a(x+2)f(x)=\mathrm{e}^x-a(x+2).
(1) 当 a=1a=1 时，讨论 f(x)f(x) 的单调性； (2) 若 f(x)f(x) 有两个零点，求 aa 的取值范围.

2020 · 全国 · 一卷 · 文 · 第 20 题 · 解答题

查看答案和解析
23不等式★★★☆☆
已知函数 f(x)=∣3x+1∣−2∣x−1∣f(x)=\lvert 3x+1\rvert-2\lvert x-1\rvert.
(1) 画出 y=f(x)y=f(x) 的图象； (2) 求不等式 f(x)>f(x+1)f(x)>f(x+1) 的解集.

2020 · 全国 · 一卷 · 文 · 第 23 题 · 解答题

查看答案和解析
20导数及其应用★★★★★
已知函数 f(x)=sin⁡x−ln⁡(1+x)f(x)=\sin x-\ln(1+x)，且 f′(x)f'(x) 为 f(x)f(x) 的导数. 证明：
(1) f′(x)f'(x) 在区间 (−1,π2)\left(-1,\dfrac{\pi}{2}\right) 存在唯一极大值点； (2) f(x)f(x) 有且仅有 22 个零点.

2019 · 全国 · 一卷 · 理 · 第 20 题 · 解答题

查看答案和解析
20导数及其应用★★★★☆
已知函数 f(x)=2sin⁡x−xcos⁡x−xf(x)=2\sin x-x\cos x-x，f′(x)f'(x) 为 f(x)f(x) 的导数.
(1) 证明：f′(x)f'(x) 在区间 (0,π)(0,\pi) 存在唯一零点； (2) 若 x∈[0,π]x\in [0,\pi] 时，f(x)≥axf(x)\ge ax，求 aa 的取值范围.

2019 · 全国 · 一卷 · 文 · 第 20 题 · 解答题

查看答案和解析
19解析几何★★★★☆
设椭圆 C:x22+y2=1C:\frac{x^2}{2}+y^2=1 的右焦点为 FF，过 FF 的直线 ll 与 CC 交于 AA，BB 两点，点 MM 的坐标为 (2,0)(2,0).
(1) 当 ll 与 xx 轴垂直时，求直线 AMAM 的方程； (2) 设 OO 为坐标原点，证明：∠OMA=∠OMB\angle OMA=\angle OMB.

2018 · 全国 · 一卷 · 理 · 第 19 题 · 解答题

查看答案和解析
22解析几何★★★★☆
在直角坐标系 xOyxOy 中，曲线 C1C_1 的方程为 y=k∣x∣+2y=k\lvert x\rvert+2. 以坐标原点为极点，xx 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C2C_2 的极坐标方程为 ρ2+2ρcos⁡θ−3=0\rho^2+2\rho\cos\theta-3=0.
(1) 求 C2C_2 的直角坐标方程； (2) 若 C1C_1 与 C2C_2 有且仅有三个公共点，求 C1C_1 的方程.

2018 · 全国 · 一卷 · 理 · 第 22 题 · 解答题

查看答案和解析
21导数及其应用★★★★★
设函数 f(x)=x2−ax+bf(x) = x^{2} - ax + b.
(1) 讨论函数 f(sin⁡x)f(\sin x) 在 (−π2,π2)\left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right) 内的单调性并判断有无极值. 有极值时求出极值； (2) 记 f0(x)=x2−a0x+b0f_{0}(x) = x^{2} - a_{0}x + b_{0}，求函数 ∣f(sin⁡x)−f0(sin⁡x)∣|f(\sin x) - f_{0}(\sin x)| 在 [−π2,π2]\left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right] 上的最大值 DD； (3) 在上一问中，取 a0=b0=0a_0 = b_0 = 0，求 z=b−a24z = b - \frac{a^2}{4} 满足 D⩽1D \leqslant 1 时的最大值.
\begin{solution} \begin{enumerate} \item 设 h(x)=f(sin⁡x)=sin⁡2x−asin⁡x+bh(x)=f(\sin x)=\sin^2x-a\sin x+b. 则
h′(x)=(2sin⁡x−a)cos⁡xh'(x)=(2\sin x-a)\cos x
在给定区间内 cos⁡x>0\cos x>0，所以单调性由 2sin⁡x−a2\sin x-a 的符号决定.
当 a⩽−2a\leqslant-2 时，对任意 x∈(−π2,π2)x\in(-\frac\pi2,\frac\pi2)，有 2sin⁡x−a>02\sin x-a>0，故 h(x)h(x) 单调递增且无极值. 当 a⩾2a\geqslant2 时，有 2sin⁡x−a<02\sin x-a<0，故 h(x)h(x) 单调递减且无极值. 当 −2<a<2-2<a<2 时，方程 2sin⁡x−a=02\sin x-a=0 在区间内有唯一解 x0=arcsin⁡a2x_0=\arcsin\frac a2，函数先减后增，在 x0x_0 处取得极小值
h(x0)=(a2)2−a⋅a2+b=b−a24h(x_0)=\left(\frac a2\right)^2-a\cdot\frac a2+b=b-\frac{a^2}{4}
\item 令 t=sin⁡xt=\sin x，则 t∈[−1,1]t\in[-1,1]，并且
f(t)−f0(t)=−(a−a0)t+(b−b0)f(t)-f_0(t)=-(a-a_0)t+(b-b_0)
因此
D=max⁡−1⩽t⩽1∣−(a−a0)t+(b−b0)∣=max⁡{∣b−b0−(a−a0)∣,∣b−b0+(a−a0)∣}D=\max_{-1\leqslant t\leqslant1}|-(a-a_0)t+(b-b_0)| =\max\{|b-b_0-(a-a_0)|,|b-b_0+(a-a_0)|\}
根据 max⁡{∣u−v∣,∣u+v∣}=∣u∣+∣v∣\max\{|u-v|,|u+v|\}=|u|+|v|，得到
D=∣a−a0∣+∣b−b0∣D=|a-a_0|+|b-b_0|
\item 此时 D=∣a∣+∣b∣⩽1D=|a|+|b|\leqslant1. 于是
z=b−a24⩽b⩽∣b∣⩽1−∣a∣⩽1z=b-\frac{a^2}{4}\leqslant b\leqslant|b|\leqslant1-|a|\leqslant1
取 a=0a=0，b=1b=1 时 D=1D=1，且 z=1z=1，所以 zz 的最大值为 11. \end{enumerate} \end{solution}

2015 · 安徽 · 理 · 第 21 题 · 解答题

查看答案和解析
21导数及其应用★★★☆☆
已知函数 f(x)=ax(x+r)2f(x) = \frac{ax}{(x + r)^2}（a>0a > 0，r>0r > 0）.
(1) 求 f(x)f(x) 的定义域，并讨论 f(x)f(x) 的单调性； (2) 若 ar=400\frac{a}{r} = 400，求 f(x)f(x) 在 (0,+∞)(0, +\infty) 内的极值.

2015 · 安徽 · 文 · 第 21 题 · 解答题

查看答案和解析
20导数及其应用★★★★★
设函数 fn(x)=−1+x+x222+x332+⋯+xnn2f_{n}(x) = -1 + x + \frac{x^{2}}{2^{2}} + \frac{x^{3}}{3^{2}} + \cdots + \frac{x^{n}}{n^{2}} （x∈Rx \in \mathbf{R}，n∈N∗n \in \mathbf{N}^{*}）. 证明：
(1) 对每个 n∈N∗n \in \mathbf{N}^*，存在唯一的 xn∈[23,1]x_n \in \left[\frac{2}{3}, 1\right]，满足 fn(xn)=0f_n(x_n) = 0； (2) 对任意 p∈N∗p \in \mathbf{N}^*，由上一问中 xnx_n 构成的数列 {xn}\{x_n\} 满足 0<xn−xn+p<1n0 < x_n - x_{n+p} < \frac{1}{n}.

2013 · 安徽 · 理 · 第 20 题 · 解答题

查看答案和解析
20导数及其应用★★★★☆
设函数 f(x)=ax−(1+a2)x2f(x) = ax - (1 + a^2)x^2，其中 a>0a > 0，区间 I={x∣f(x)>0}I = \{x \mid f(x) > 0\}.
(1) 求 II 的长度（注：区间 (α,β)(\alpha, \beta) 的长度定义为 β−α\beta - \alpha）； (2) 给定常数 k∈(0,1)k \in (0,1)，当 1−k⩽a⩽1+k1 - k \leqslant a \leqslant 1 + k 时，求 II 长度的最小值.

2013 · 安徽 · 文 · 第 20 题 · 解答题

查看答案和解析
16三角函数★★★☆☆
设函数 f(x)=22cos⁡(2x+π4)+sin⁡2xf(x) = \frac{\sqrt{2}}{2}\cos \left(2x + \frac{\pi}{4}\right) + \sin^2 x.
(1) 求 f(x)f(x) 的最小正周期. (2) 设函数 g(x)g(x) 对任意 x∈Rx \in \mathbf{R}，有 g(x+π2)=g(x)g\left(x + \frac{\pi}{2}\right) = g(x)，且当 x∈[0,π2]x \in \left[0, \frac{\pi}{2}\right] 时，g(x)=12−f(x)g(x) = \frac{1}{2} - f(x). 求 g(x)g(x) 在区间 [−π,0][- \pi, 0] 上的解析式.

2012 · 安徽 · 理 · 第 16 题 · 解答题

查看答案和解析
21数列★★★★★
数列 {xn}\{x_{n}\} 满足 x1=0x_{1} = 0，xn+1=−xn2+xn+cx_{n + 1} = -x_{n}^{2} + x_{n} + c （n∈N∗n \in \mathbf{N}^{*}）.
(1) 证明： {xn}\{x_{n}\} 是递减数列的充分必要条件是 c<0c < 0. (2) 求 cc 的取值范围，使 {xn}\{x_{n}\} 是递增数列.

2012 · 安徽 · 理 · 第 21 题 · 解答题

查看答案和解析
19导数及其应用★★★★☆
已知函数 f(x)=x−2x+a(2−ln⁡x)f(x) = x - \frac{2}{x} + a(2 - \ln x)，a>0a > 0. 讨论 f(x)f(x) 的单调性.

2009 · 安徽 · 理 · 第 19 题 · 解答题

查看答案和解析
21导数及其应用★★★★☆
已知函数 f(x)=x−2x+1−aln⁡xf(x) = x - \frac{2}{x} + 1 - a \ln x，a>0a > 0.
(1) 讨论 f(x)f(x) 的单调性； (2) 设 a=3a = 3，求 f(x)f(x) 在区间 [1,e2][1, \mathrm{e}^2] 上值域，其中 e=0.71828⋯\mathrm{e} = 0.71828 \cdots 是自然对数的底数.

2009 · 安徽 · 文 · 第 21 题 · 解答题

查看答案和解析
22解析几何★★★★☆
设椭圆 C:x2a2+y2b2=1C: \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1（a>b>0a > b > 0），其相应于焦点 F(2,0)F(2,0) 的准线方程为 x=4x = 4.
(1) 求椭圆 CC 的方程； (2) 已知过点 F1(−2,0)F_{1}(-2,0) 倾斜角为 θ\theta 的直线交椭圆 CC 于 AA，BB 两点，求证：∣AB∣=422−cos⁡2θ|AB| = \frac{4\sqrt{2}}{2 - \cos^2\theta}； (3) 过点 F1(−2,0)F_{1}(-2,0) 作两条互相垂直的直线分别交椭圆 CC 于 AA，BB 和 DD，EE，求 ∣AB∣+∣DE∣|AB| + |DE| 的最小值.

2008 · 安徽 · 文 · 第 22 题 · 解答题

查看答案和解析
18解析几何★★★★☆
设 FF 是抛物线 G:x2=4yG: x^{2} = 4y 的焦点.
(1) 过点 P(0,−4)P(0, -4) 作抛物线 GG 的切线，求切线方程； (2) 设 AA，BB 为抛物线 GG 上异于原点的两点，且满足 FA→⋅FB→=0\overrightarrow{FA} \cdot \overrightarrow{FB} = 0，延长 AFAF，BFBF 分别交抛物线 GG 于点 CC，DD，求四边形 ABCDABCD 面积的最小值.

2007 · 安徽 · 文 · 第 18 题 · 解答题

查看答案和解析
20函数与初等函数★★★☆☆
已知函数 f(x)f(x) 在 R\mathbf{R} 上有定义，对任意实数 a>0a > 0 和任意实数 xx，都有 f(ax)=af(x)f(ax) = af(x).
(1) 证明 f(0)=0f(0) = 0； (2) 证明
f(x)={kx,x⩾0,hx,x<0,f(x) = \begin{cases} kx, & x \geqslant 0,\\ hx, & x < 0, \end{cases}
其中 kk 和 hh 均为常数； (3) 当第（2）问中的 k>0k > 0 时，设 g(x)=1f(x)+f(x)g(x) = \frac{1}{f(x)} + f(x)（x>0x > 0），讨论 g(x)g(x) 在 (0,+∞)(0, +\infty) 内的单调性并求极值.

2006 · 安徽 · 理 · 第 20 题 · 解答题

查看答案和解析
20导数及其应用★★★☆☆
设函数 f(x)=x3+bx2+cxf(x) = x^3 + bx^2 + cx（x∈Rx \in \mathbf{R}），已知 g(x)=f(x)−f′(x)g(x) = f(x) - f'(x) 是奇函数.
(1) 求 bb，cc 的值. (2) 求 g(x)g(x) 的单调区间与极值.

2006 · 安徽 · 文 · 第 20 题 · 解答题

查看答案和解析