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1917分函数与初等函数★★★★★
已知函数 f(x)f(x) 的定义域为 R\mathbf{R}，且当 x<0x<0 时，f(x)=2xf(x)=2^x. 对任意 x0∈Rx_0\in\mathbf{R}，定义集合 D(x0)={d∈R∣f(x0+d)>f(x0)}D(x_0)=\{d\in\mathbf{R} \mid f(x_0+d)>f(x_0)\}.
(1) 若当 x≥0x\ge 0 时，f(x)=1−xf(x)=1-x，求 D(−1)D(-1)； (2) 若 f(x)f(x) 是奇函数，f(x1)≤f(x2)f(x_1)\le f(x_2)，且 x1x2≠0x_1x_2\ne 0，证明：D(x2)⊆D(x1)D(x_2)\subseteq D(x_1)； (3) 设 f(x)f(x) 满足：① 若 f(x1)≤f(x2)f(x_1)\le f(x_2)，则 D(x2)⊆D(x1)D(x_2)\subseteq D(x_1)；② 当 0<x<10<x<1 时，f(x)<f(0)f(x)<f(0).
(i) 证明：f(0)≥1f(0)\ge 1； (ii) 证明：f(x)f(x) 在区间 (0,+∞)(0,+\infty) 单调递增．

2026 · 全国 · 一卷 · 第 19 题 · 解答题

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1817分导数及其应用★★★★★
已知函数 f(x)=ln⁡x2−x+ax+b(x−1)3f(x)=\ln\frac{x}{2-x}+ax+b(x-1)^3（x∈(0,2)x\in(0,2)）.
(1) 若 b=0b=0 且 f′(x)≥0f'(x)\ge0，求 aa 的最小值； (2) 证明：曲线 y=f(x)y=f(x) 关于点 (1,a)(1,a) 中心对称； (3) 若 f(x)>−2f(x)>-2 当且仅当 1<x<21<x<2，求 bb 的取值范围.

2024 · 全国 · 新高考一卷 · 第 18 题 · 解答题

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2215分导数及其应用★★★★★
已知函数 f(x)=ex−axf(x)=\mathrm{e}^x-ax，g(x)=ax−ln⁡xg(x)=ax-\ln x 有相同的最小值.
(1) 求 aa； (2) 证明：存在直线 y=by=b，其与两条曲线 y=f(x)y=f(x) 和 y=g(x)y=g(x) 共有三个不同的交点，并且从左到右的三个交点的横坐标成等差数列.

2022 · 全国 · 新高考一卷 · 第 22 题 · 解答题

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20导数及其应用★★★★★
已知函数 f(x)=sin⁡x−ln⁡(1+x)f(x)=\sin x-\ln(1+x)，且 f′(x)f'(x) 为 f(x)f(x) 的导数. 证明：
(1) f′(x)f'(x) 在区间 (−1,π2)\left(-1,\dfrac{\pi}{2}\right) 存在唯一极大值点； (2) f(x)f(x) 有且仅有 22 个零点.

2019 · 全国 · 一卷 · 理 · 第 20 题 · 解答题

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20导数及其应用★★★★☆
已知函数 f(x)=2sin⁡x−xcos⁡x−xf(x)=2\sin x-x\cos x-x，f′(x)f'(x) 为 f(x)f(x) 的导数.
(1) 证明：f′(x)f'(x) 在区间 (0,π)(0,\pi) 存在唯一零点； (2) 若 x∈[0,π]x\in [0,\pi] 时，f(x)≥axf(x)\ge ax，求 aa 的取值范围.

2019 · 全国 · 一卷 · 文 · 第 20 题 · 解答题

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19解析几何★★★★☆
设椭圆 C:x22+y2=1C:\frac{x^2}{2}+y^2=1 的右焦点为 FF，过 FF 的直线 ll 与 CC 交于 AA，BB 两点，点 MM 的坐标为 (2,0)(2,0).
(1) 当 ll 与 xx 轴垂直时，求直线 AMAM 的方程； (2) 设 OO 为坐标原点，证明：∠OMA=∠OMB\angle OMA=\angle OMB.

2018 · 全国 · 一卷 · 理 · 第 19 题 · 解答题

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22解析几何★★★★☆
在直角坐标系 xOyxOy 中，曲线 C1C_1 的方程为 y=k∣x∣+2y=k\lvert x\rvert+2. 以坐标原点为极点，xx 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C2C_2 的极坐标方程为 ρ2+2ρcos⁡θ−3=0\rho^2+2\rho\cos\theta-3=0.
(1) 求 C2C_2 的直角坐标方程； (2) 若 C1C_1 与 C2C_2 有且仅有三个公共点，求 C1C_1 的方程.

2018 · 全国 · 一卷 · 理 · 第 22 题 · 解答题

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21解析几何★★★★★
在平面直角坐标系 xOyxOy 中，已知椭圆 C:x2a2+y2b2=1C:\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1（a>b>0a>b>0）的离心率为 22\dfrac{\sqrt2}{2}，椭圆 CC 截直线 y=1y=1 所得线段的长度为 222\sqrt2.
(1) 求椭圆 CC 的方程； (2) 动直线 l:y=kx+ml:y=kx+m（m≠0m\ne0）交椭圆 CC 于 AA，BB 两点，交 yy 轴于点 MM. 点 NN 是 MM 关于 OO 的对称点，⊙N\odot N 的半径为 ∣NO∣\lvert NO\rvert. 设 DD 为 ABAB 的中点，DEDE，DFDF 与 ⊙N\odot N 分别相切于点 EE，FF，求 ∠EDF\angle EDF 的最小值.

2017 · 山东 · 文 · 第 21 题 · 解答题

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20导数及其应用★★★★★
设函数 f(x)=(x+a)ln⁡xf(x) = (x + a)\ln x，g(x)=x2exg(x) = \frac{x^2}{\mathrm{e}^x}. 已知曲线 y=f(x)y = f(x) 在点 (1,f(1))(1, f(1)) 处的切线与直线 2x−y=02x - y = 0 平行.
(1) 求 aa 的值； (2) 是否存在自然数 kk，使得方程 f(x)=g(x)f(x) = g(x) 在 (k,k+1)(k, k + 1) 内存在唯一的根？ 如果存在，求出 kk；如果不存在，请说明理由； (3) 设函数 m(x)=min⁡{f(x),g(x)}m(x) = \min \{f(x), g(x)\}（min⁡{p,q}\min \{p, q\} 表示 pp，qq 中的较小值），求 m(x)m(x) 的最大值.

2015 · 山东 · 文 · 第 20 题 · 解答题

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21导数及其应用★★★★☆
设函数 f(x)=xe2x+cf(x) = \frac{x}{\mathrm{e}^{2x}} + c（e=2.71828⋯\mathrm{e} = 2.71828\cdots 是自然对数的底数，c∈Rc \in \mathbf{R}）.
(1) 求 f(x)f(x) 的单调区间，最大值； (2) 讨论关于 xx 的方程 ∣ln⁡x∣=f(x)\lvert \ln x \rvert = f(x) 的根的个数.

2013 · 山东 · 理 · 第 21 题 · 解答题

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21解析几何★★★★☆
如图，椭圆 MM：x2a2+y2b2=1\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1（a>b>0a>b>0）的离心率为 32\dfrac{\sqrt3}{2}，直线 x=±ax=\pm a 和 y=±by=\pm b 所围成的矩形 ABCDABCD 的面积为 8.
(1) 求椭圆 MM 的标准方程； (2) 设直线 l:y=x+ml:y=x+m（m∈Rm\in\mathbf{R}）与椭圆 MM 有两个不同的交点 PP，QQ，ll 与矩形 ABCDABCD 有两个不同的交点 SS，TT. 求 ∣PQ∣∣ST∣\dfrac{|PQ|}{|ST|} 的最大值及取得最大值时 mm 的值.

2012 · 山东 · 文 · 第 21 题 · 解答题

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22导数及其应用★★★★★
已知函数 f(x)=ln⁡x−ax+1−ax−1f(x) = \ln x - ax + \frac{1 - a}{x} - 1 （a∈Ra \in \mathbf{R}）.
(1) 当 a⩽12a \leqslant \frac{1}{2} 时，讨论 f(x)f(x) 的单调性； (2) 设 g(x)=x2−2bx+4g(x) = x^{2} - 2bx + 4，当 a=14a = \frac{1}{4} 时，若对任意 x1∈(0,2)x_1 \in (0, 2)，存在 x2∈[1,2]x_2 \in [1, 2]，使 f(x1)⩾g(x2)f(x_1) \geqslant g(x_2)，求实数 bb 的取值范围.

2010 · 山东 · 理 · 第 22 题 · 解答题

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22解析几何★★★★★
如图，已知椭圆 x2a2+y2b2=1\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1 （a>b>0a > b > 0） 过点 (1,22)\left(1, \frac{\sqrt{2}}{2}\right)，离心率为 22\frac{\sqrt{2}}{2}，左、右焦点分别为 F1F_1，F2F_2. 点 PP 为直线 l:x+y=2l: x + y = 2 上且不在 xx 轴上的任意一点，直线 PF1PF_1 和 PF2PF_2 与椭圆的交点分别为 AA，BB 和 CC，DD，OO 为坐标原点.
(1) 求椭圆的标准方程； (2) 设直线 PF1PF_1，PF2PF_2 的斜率分别为 k1k_1，k2k_2.
(i) 证明：1k1−3k2=2\frac{1}{k_1} - \frac{3}{k_2} = 2； (ii) 问直线 ll 上是否存在点 PP，使得直线 OAOA，OBOB，OCOC，ODOD 的斜率 kOAk_{OA}，kOBk_{OB}，kOCk_{OC}，kODk_{OD} 满足 kOA+kOB+kOC+kOD=0k_{OA} + k_{OB} + k_{OC} + k_{OD} = 0？ 若存在，求出所有满足条件的点 PP 的坐标；若不存在，说明理由.

2010 · 山东 · 文 · 第 22 题 · 解答题

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21导数及其应用★★★★☆
两县城 AA 和 BB 相距 20 km20 \mathrm{~km}，现计划在两县城外以 ABAB 为直径的半圆弧 AB^\widehat{AB} 上选择一点 CC 建造垃圾处理厂，其对城市的影响度与所选地点到城市的距离有关，对城 AA 和城 BB 的总影响度为城 AA 与城 BB 的影响度之和. 记 CC 点到城 AA 的距离为 x kmx \mathrm{~km}，建在 CC 处的垃圾处理厂对城 AA 和城 BB 的总影响度为 yy. 统计调查表明：垃圾处理厂对城 AA 的影响度与所选地点到城 AA 的距离的平方成反比. 比例系数为 44. 对城 BB 的影响度与所选地点到城 BB 的距离的平方成反比，比例系数为 kk. 当垃圾处理厂建在 AB^\widehat{AB} 的中点时，对城 AA 和城 BB 的总影响度为 0.0650.065.
(1) 将 yy 表示成 xx 的函数； (2) 讨论（1）中函数的单调性，并判断弧 AB^\widehat{AB} 上是否存在一点，使建在此处的垃圾处理厂对城 AA 和城 BB 的总影响度最小？若存在，求出该点到城 AA 的距离；若不存在，说明理由.

2009 · 山东 · 理 · 第 21 题 · 解答题

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22解析几何★★★★★
设椭圆 E:x2a2+y2b2=1E: \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1（a>0a > 0，b>0b > 0）过 M(2,2)M(2, \sqrt{2})，N(6,1)N(\sqrt{6}, 1) 两点，OO 为坐标原点.
(1) 求椭圆 EE 的方程； (2) 是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆 EE 恒有两个交点 AA，BB，且 OA→⊥OB→\overrightarrow{OA} \perp \overrightarrow{OB}？若存在，写出该圆的方程，并求 ∣AB∣|AB| 的取值范围；若不存在，说明理由.

2009 · 山东 · 理 · 第 22 题 · 解答题

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22解析几何★★★★★
如图，设抛物线方程为 x2=2pyx^{2} = 2py（p>0p > 0），MM 为直线 y=−2py = -2p 上任意一点，过 MM 引抛物线的切线，切点分别为 AA，BB.
(1) 求证：AA，MM，BB 三点的横坐标成等差数列； (2) 已知当 MM 点的坐标为 (2,−2p)(2, -2p) 时，∣AB∣=410|AB| = 4\sqrt{10}，求此时抛物线的方程； (3) 是否存在点 MM，使得点 CC 关于直线 ABAB 的对称点 DD 在抛物线 x2=2pyx^2 = 2py（p>0p > 0）上，其中，点 CC 满足 OC→=OA→+OB→\overrightarrow{OC} = \overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB}（OO 为坐标原点）. 若存在，求出所有适合题意的点 MM 的坐标；若不存在，请说明理由.

2008 · 山东 · 理 · 第 22 题 · 解答题

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21解析几何★★★★☆
已知椭圆 CC 的中心在坐标原点，焦点在 xx 轴上，椭圆 CC 上的点到焦点距离的最大值为 33，最小值为 11.
(1) 求椭圆 CC 的标准方程； (2) 若直线 l:y=kx+ml: y = kx + m 与椭圆 CC 相交于 AA，BB 两点（AA，BB 不是左右顶点），且以 ABAB 为直径的圆过椭圆 CC 的右顶点，求证：直线 ll 过定点，并求出该定点的坐标.

2007 · 山东 · 理 · 第 21 题 · 解答题

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19不等式★★★☆☆
本公司计划 20082008 年在甲，乙两个电视台做总时间不超过 300300 分钟的广告，广告总费用不超过 99 万元. 甲，乙电视台的广告收费标准分别为 500500 元/分钟和 200200 元/分钟. 规定甲，乙两个电视台为该公司所做的每分钟广告，能给公司带来的收益分别为 0.30.3 万元和 0.20.2 万元. 问该公司如何分配在甲，乙两个电视台的广告时间，才能使公司的收益最大，最大收益是多少万元？

2007 · 山东 · 文 · 第 19 题 · 解答题

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22解析几何★★★★☆
已知椭圆 CC 的中心在坐标原点，焦点在 xx 轴上，椭圆 CC 上的点到焦点距离的最大值为 33，最小值为 11.
(1) 求椭圆 CC 的标准方程. (2) 若直线 l:y=kx+ml: y = kx + m 与椭圆 CC 相交于 AA，BB 两点（AA，BB 不是左右顶点），且以 ABAB 为直径的圆过椭圆 CC 的右顶点，求证：直线 ll 过定点，并求出该定点的坐标.

2007 · 山东 · 文 · 第 22 题 · 解答题

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21解析几何★★★★☆
双曲线CC与椭圆x28+y24=1\dfrac{x^2}{8}+\dfrac{y^2}{4}=1有相同的焦点，直线y=3xy=\sqrt3x为CC的一条渐近线.
(1) 求双曲线CC的方程； (2) 过点P(0,4)P(0,4)的直线ll，交双曲线CC于AA，BB两点，交xx轴于QQ点（QQ点与CC的顶点不重合）. 当PQ→=λ1QA→=λ2QB→\overrightarrow{PQ}=\lambda_1\overrightarrow{QA}=\lambda_2\overrightarrow{QB}，且λ1+λ2=−83\lambda_1+\lambda_2=-\dfrac83时，求QQ点的坐标.

2006 · 山东 · 理 · 第 21 题 · 解答题

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18三角函数★★★☆☆
已知函数 f(x)=Asin⁡2(ωx+φ)f(x) = A \sin^2 (\omega x + \varphi)（A>0A > 0，ω>0\omega > 0，0<φ<π20 < \varphi < \frac{\pi}{2}），且 y=f(x)y = f(x) 的最大值为 22，其图象相邻两对称轴间的距离为 22，并过点 (1,2)(1,2).
(1) 求 φ\varphi； (2) 计算 f(1)+f(2)+⋯+f(2008)f(1) + f(2) + \cdots + f(2008).

2006 · 山东 · 文 · 第 18 题 · 解答题

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