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1917分函数与初等函数★★★★★
已知函数 f(x)f(x) 的定义域为 R\mathbf{R}，且当 x<0x<0 时，f(x)=2xf(x)=2^x. 对任意 x0∈Rx_0\in\mathbf{R}，定义集合 D(x0)={d∈R∣f(x0+d)>f(x0)}D(x_0)=\{d\in\mathbf{R} \mid f(x_0+d)>f(x_0)\}.
(1) 若当 x≥0x\ge 0 时，f(x)=1−xf(x)=1-x，求 D(−1)D(-1)； (2) 若 f(x)f(x) 是奇函数，f(x1)≤f(x2)f(x_1)\le f(x_2)，且 x1x2≠0x_1x_2\ne 0，证明：D(x2)⊆D(x1)D(x_2)\subseteq D(x_1)； (3) 设 f(x)f(x) 满足：① 若 f(x1)≤f(x2)f(x_1)\le f(x_2)，则 D(x2)⊆D(x1)D(x_2)\subseteq D(x_1)；② 当 0<x<10<x<1 时，f(x)<f(0)f(x)<f(0).
(i) 证明：f(0)≥1f(0)\ge 1； (ii) 证明：f(x)f(x) 在区间 (0,+∞)(0,+\infty) 单调递增．

2026 · 全国 · 一卷 · 第 19 题 · 解答题

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1817分导数及其应用★★★★★
已知函数 f(x)=ln⁡x2−x+ax+b(x−1)3f(x)=\ln\frac{x}{2-x}+ax+b(x-1)^3（x∈(0,2)x\in(0,2)）.
(1) 若 b=0b=0 且 f′(x)≥0f'(x)\ge0，求 aa 的最小值； (2) 证明：曲线 y=f(x)y=f(x) 关于点 (1,a)(1,a) 中心对称； (3) 若 f(x)>−2f(x)>-2 当且仅当 1<x<21<x<2，求 bb 的取值范围.

2024 · 全国 · 新高考一卷 · 第 18 题 · 解答题

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2215分导数及其应用★★★★★
已知函数 f(x)=ex−axf(x)=\mathrm{e}^x-ax，g(x)=ax−ln⁡xg(x)=ax-\ln x 有相同的最小值.
(1) 求 aa； (2) 证明：存在直线 y=by=b，其与两条曲线 y=f(x)y=f(x) 和 y=g(x)y=g(x) 共有三个不同的交点，并且从左到右的三个交点的横坐标成等差数列.

2022 · 全国 · 新高考一卷 · 第 22 题 · 解答题

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17导数及其应用★★★☆☆
某地准备在山谷中建一座桥梁，桥址位置的竖直截面图如图所示：谷底 OO 在水平线 MNMN 上，桥 ABAB 与 MNMN 平行，OO′OO' 为铅垂线（O′O' 在 ABAB 上）. 经测量，左侧曲线 AOAO 上任一点 DD 到 MNMN 的距离 h1h_1（ m\mathrm{~m}）与 DD 到 OO′OO' 的距离 aa（ m\mathrm{~m}）之间满足关系式 h1=140a2h_1=\dfrac{1}{40}a^2；右侧曲线 BOBO 上任一点 FF 到 MNMN 的距离 h2h_2（ m\mathrm{~m}）与 FF 到 OO′OO' 的距离 bb（ m\mathrm{~m}）之间满足关系式 h2=−1800b3+6bh_2=-\dfrac{1}{800}b^3+6b. 已知点 BB 到 OO′OO' 的距离为 40 m40\mathrm{~m}.
(1) 求桥 ABAB 的长度； (2) 计划在谷底两侧建造平行于 OO′OO' 的桥墩 CDCD 和 EFEF，且 CECE 为 80 m80\mathrm{~m}，其中 CC，EE 在 ABAB 上（不包括端点）. 桥墩 EFEF 每米造价 kk（万元），桥墩 CDCD 每米造价 32k\dfrac32k（万元）（k>0k>0）. 问 O′EO'E 为多少米时，桥墩 CDCD 与 EFEF 的总造价最低？

2020 · 江苏 · 第 17 题 · 解答题

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19不等式★★★★★
已知关于 xx 的函数 y=f(x)y=f(x)，y=g(x)y=g(x) 与 h(x)=kx+bh(x)=kx+b（kk，b∈Rb\in\mathbf{R}）在区间 DD 上恒有 f(x)≥h(x)≥g(x)f(x)\ge h(x)\ge g(x).
(1) 若 f(x)=x2+2xf(x)=x^2+2x，g(x)=−x2+2xg(x)=-x^2+2x，D=(−∞,+∞)D=(-\infty,+\infty)，求 h(x)h(x) 的表达式； (2) 若 f(x)=x2−x+1f(x)=x^2-x+1，g(x)=kln⁡xg(x)=k\ln x，h(x)=kx−kh(x)=kx-k，D=(0,+∞)D=(0,+\infty)，求 kk 的取值范围； (3) 若 f(x)=x4−2x2f(x)=x^4-2x^2，g(x)=4x2−8g(x)=4x^2-8，h(x)=4(t3−t)x−3t4+2t2h(x)=4(t^3-t)x-3t^4+2t^2，0<∣t∣≤20<|t|\le\sqrt2，D=[m,n]⊆[−2,2]D=[m,n]\subseteq[-\sqrt2,\sqrt2]，证明：n−m≤7n-m\le\sqrt7.

2020 · 江苏 · 第 19 题 · 解答题

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19导数及其应用★★★★☆
设函数 f(x)=(x−a)(x−b)(x−c)f(x)=(x-a)(x-b)(x-c)，aa，bb，c∈Rc\in\mathbf{R}，f′(x)f'(x) 为 f(x)f(x) 的导函数.
(1) 若 a=b=ca=b=c，f(4)=8f(4)=8，求 aa 的值； (2) 若 a≠ba\ne b，b=cb=c，且 f(x)f(x) 和 f′(x)f'(x) 的零点均在集合 {−3,1,3}\{-3,1,3\} 中，求 f(x)f(x) 的极小值； (3) 若 a=0a=0，0<b≤10<b\le 1，c=1c=1，且 f(x)f(x) 的极大值为 MM，求证：M≤427M\le\dfrac4{27}.

2019 · 江苏 · 第 19 题 · 解答题

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21函数与初等函数★★☆☆☆
已知矩阵
A=[2312]A=\begin{bmatrix}2&3\\1&2\end{bmatrix}
.
(1) 求 AA 的逆矩阵 A−1A^{-1}； (2) 若点 PP 在矩阵 AA 对应的变换作用下得到点 P′(3,1)P'(3,1)，求点 PP 的坐标.

2018 · 江苏 · 第 21 题（B） · 解答题

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21函数与初等函数★★☆☆☆
已知矩阵
A=(0110)A=\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}
，
B=(1002)B=\begin{pmatrix}1&0\\0&2\end{pmatrix}
.
(1) 求 ABAB； (2) 若曲线 C1:x2+4y2=8C_1:x^2+4y^2=8 在矩阵 ABAB 对应的变换作用下得到另一曲线 C2C_2，求 C2C_2 的方程.

2017 · 江苏 · 第 21 题（B） · 解答题

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19函数与初等函数★★★★★
已知函数 f(x)=ax+bxf(x)=a^x+b^x（a>0a>0，b>0b>0，a≠1a\ne1，b≠1b\ne1）.
(1) 设 a=2a=2，b=12b=\dfrac12.
(i) 求方程 f(x)=2f(x)=2 的根； (ii) 若对于任意 x∈Rx\in\mathbf{R}，不等式 f(2x)≥mf(x)−6f(2x)\ge mf(x)-6 恒成立，求实数 mm 的最大值； (2) 若 0<a<10<a<1，b>1b>1，函数 g(x)=f(x)−2g(x)=f(x)-2 有且只有 11 个零点，求 abab 的值.

2016 · 江苏 · 第 19 题 · 解答题

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19导数及其应用★★★★★
已知函数 f(x)=x3+ax2+bf(x) = x^3 + ax^2 + b（aa，b∈Rb \in \mathbf{R}）.
(1) 试讨论 f(x)f(x) 的单调性； (2) 若 b=c−ab = c - a（实数 cc 是与 aa 无关的常数）. 当函数 f(x)f(x) 有三个不同的零点时，aa 的取值范围恰好是 (−∞,−3)∪(1,32)∪(32,+∞)(-\infty, -3) \cup \left(1, \frac{3}{2}\right) \cup \left(\frac{3}{2}, +\infty\right)，求 cc 的值.

2015 · 江苏 · 第 19 题 · 解答题

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19导数及其应用★★★★★
已知函数 f(x)=ex+e−xf(x) = \mathrm{e}^{x} + \mathrm{e}^{-x}，其中 e\mathrm{e} 是自然对数的底数.
(1) 证明： f(x)f(x) 是 R\mathbf{R} 上的偶函数； (2) 若关于 xx 的不等式 mf(x)⩽e−x+m−1m f(x) \leqslant \mathrm{e}^{-x} + m - 1 在 (0,+∞)(0, +\infty) 上恒成立，求实数 mm 的取值范围； (3) 已知正数 aa 满足：存在 x0∈[1,+∞)x_0 \in [1, +\infty)，使得 f(x0)<a(−x03+3x0)f(x_0) < a(-x_0^3 + 3x_0) 成立. 试比较 ea−1\mathrm{e}^{a - 1} 与 ae−1a^{\mathrm{e} - 1} 的大小，并证明你的结论.

2014 · 江苏 · 第 19 题 · 解答题

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18三角函数★★★★☆
如图，游客从某旅游景区的景点 AA 处下山至 CC 处有两种路径. 一种是从 AA 沿直线步行到 CC，另一种是先从 AA 沿索道乘缆车到 BB，然后从 BB 沿直线步行到 CC. 现有甲，乙两位游客从 AA 处下山，甲沿 ACAC 匀速步行，速度为 50 m/min50\mathrm{~m/min}. 在甲出发 2 min2\mathrm{~min} 后，乙从 AA 乘缆车到 BB，在 BB 处停留 1 min1\mathrm{~min} 后，再从 BB 匀速步行到 CC. 假设缆车匀速直线运动的速度为 130 m/min130\mathrm{~m/min}，山路 ACAC 长为 1260 m1260\mathrm{~m}，经测量，cos⁡A=1213\cos A=\frac{12}{13}，cos⁡C=35\cos C=\frac{3}{5}.
(1) 求索道 ABAB 的长； (2) 问乙出发多少分钟后，乙在缆车上与甲的距离最短？ (3) 为使两位游客在 CC 处互相等待的时间不超过 3 min3\mathrm{~min}，乙步行的速度应控制在什么范围内？

2013 · 江苏 · 第 18 题 · 解答题

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20导数及其应用★★★★★
设函数 f(x)=ln⁡x−axf(x)=\ln x-ax，g(x)=ex−axg(x)=\mathrm{e}^x-ax，其中 aa 为实数.
(1) 若 f(x)f(x) 在 (1,+∞)(1,+\infty) 上是单调减函数，且 g(x)g(x) 在 (1,+∞)(1,+\infty) 上有最小值，求 aa 的取值范围； (2) 若 g(x)g(x) 在 (−1,+∞)(-1,+\infty) 上是单调增函数，试求 f(x)f(x) 的零点个数，并证明你的结论.

2013 · 江苏 · 第 20 题 · 解答题

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17函数与初等函数★★★★☆
如图，建立平面直角坐标系 xOyxOy，xx 轴在地平面上，yy 轴垂直于地平面，单位长度为 11 千米，某炮位于坐标原点. 已知炮弹发射后的轨迹在方程 y=kx−120(1+k2)x2y = kx - \frac{1}{20}(1+k^2)x^2（k>0k>0）表示的曲线上，其中 kk 与发射方向有关. 炮的射程是指炮弹落地点的横坐标.
(1) 求炮的最大射程； (2) 设在第一象限有一飞行物（忽略其大小），其飞行高度为 3.23.2 千米，试问它的横坐标 aa 不超过多少时，炮弹可以击中它？请说明理由.

2012 · 江苏 · 第 17 题 · 解答题

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18导数及其应用★★★★★
若函数 y=f(x)y=f(x) 在 x=x0x=x_{0} 处取得极大值或极小值，则称 x0x_{0} 为函数 y=f(x)y=f(x) 的极值点. 已知 aa，bb 是实数，且 11 和 −1-1 是函数 f(x)=x3+ax2+bxf(x)=x^3+ax^2+bx 的两个极值点.
(1) 求 aa 和 bb 的值； (2) 设函数 g(x)g(x) 的导函数 g′(x)=f(x)+2g'(x)=f(x)+2，求 g(x)g(x) 的极值点； (3) 设 h(x)=f(f(x))−ch(x)=f(f(x))-c，其中 c∈[−2,2]c\in[-2,2]，求函数 y=h(x)y=h(x) 的零点个数.

2012 · 江苏 · 第 18 题 · 解答题

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17导数及其应用★★★☆☆
请你设计一个包装盒. 如图所示，ABCDABCD 是边长为 60 cm60\mathrm{~cm} 的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得 AA，BB，CC，DD 四个点重合于图中的点 PP，正好形成一个正四棱柱形状的包装盒，EE，FF 在 ABAB 上，是被切去的等腰直角三角形斜边的两个端点. 设 AE=FB=xAE=FB=x（cm\mathrm{cm}）.
(1) 若广告商要求包装盒侧面积 SS（cm2\mathrm{cm}^2）最大，试问 xx 应取何值？ (2) 若广告商要求包装盒容积 VV（cm3\mathrm{cm}^3）最大，试问 xx 应取何值？ 并求出此时包装盒的高与底面边长的比值.

2011 · 江苏 · 第 17 题 · 解答题

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19函数与初等函数★★★★☆
按照某学者的理论，假设一个人生产某产品单件成本为 a 元a\text{ 元}，如果他卖出该产品的单价为 m 元m\text{ 元}，则他的满意度为 mm+a\frac{m}{m+a}；如果他买进该产品的单价为 n 元n\text{ 元}，则他的满意度为 an+a\frac{a}{n+a}. 如果一个人对两种交易（卖出或买进）的满意度分别为 h1h_1 和 h2h_2，则他对这两种交易的综合满意度为 h1h2\sqrt{h_1h_2}. 现假设甲生产 A，B 两种产品的单件成本分别为 12 元12\text{ 元} 和 5 元5\text{ 元}，乙生产 A，B 两种产品的单件成本分别为 3 元3\text{ 元} 和 20 元20\text{ 元}，设产品 A，B 的单价分别为 mA 元m_{\text{A}}\text{ 元} 和 mB 元m_{\text{B}}\text{ 元}，甲买进 A 与卖出 B 的综合满意度为 h甲h_{\text{甲}}，乙卖出 A 与买进 B 的综合满意度为 h乙h_{\text{乙}}.
(1) 求 h甲h_{\text{甲}} 和 h乙h_{\text{乙}} 关于 mAm_{\text{A}}，mBm_{\text{B}} 的表达式；当 mA=35mBm_{\text{A}}=\frac35m_{\text{B}} 时，求证：h甲=h乙h_{\text{甲}}=h_{\text{乙}}； (2) 设 mA=35mBm_{\text{A}}=\frac35m_{\text{B}}，当 mAm_{\text{A}}，mBm_{\text{B}} 分别为多少时，甲，乙两人的综合满意度均最大？最大的综合满意度为多少？ (3) 记第 22 问中最大的综合满意度为 h0h_0，试问能否适当选取 mAm_{\text{A}}，mBm_{\text{B}} 的值，使得 h甲≥h0h_{\text{甲}}\ge h_0 和 h乙≥h0h_{\text{乙}}\ge h_0 同时成立，但等号不同时成立？试说明理由.

2009 · 江苏 · 第 19 题 · 解答题

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20函数与初等函数★★★★☆
设 aa 为实数，函数 f(x)=2x2+(x−a)∣x−a∣f(x)=2x^2+(x-a)|x-a|.
(1) 若 f(0)≥1f(0)\ge1，求 aa 的取值范围； (2) 求 f(x)f(x) 的最小值； (3) 设函数 h(x)=f(x)h(x)=f(x)，x∈(a,+∞)x\in(a,+\infty)，直接写出（不需给出演算步骤）不等式 h(x)≥1h(x)\ge1 的解集.

2009 · 江苏 · 第 20 题 · 解答题

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22解析几何★★★★☆
在平面直角坐标系 xOyxOy 中，抛物线 CC 的顶点在原点，经过点 A(2,2)A(2,2)，其焦点 FF 在 xx 轴上.
(1) 求抛物线 CC 的标准方程； (2) 求过点 FF，且与直线 OAOA 垂直的直线的方程； (3) 设过点 M(m,0)M(m,0)（m>0m>0）的直线交抛物线 CC 于 DD，EE 两点，ME=2DMME=2DM，记 DD 和 EE 两点间的距离为 f(m)f(m)，求 f(m)f(m) 关于 mm 的表达式.

2009 · 江苏 · 第 22 题 · 解答题

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23计数原理与组合数学★★★★☆
对于正整数 n≥2n\ge2，用 TnT_n 表示关于 xx 的一元二次方程 x2+2ax+b=0x^2+2ax+b=0 有实数根的有序数组 (a,b)(a,b) 的组数，其中 aa，b∈{1,2,⋯ ,n}b\in\{1,2,\cdots,n\}（aa 和 bb 可以相等）；对于随机选取的 aa，b∈{1,2,⋯ ,n}b\in\{1,2,\cdots,n\}（aa 和 bb 可以相等），记 PnP_n 为关于 xx 的一元二次方程 x2+2ax+b=0x^2+2ax+b=0 有实数根的概率.
(1) 求 Tn2T_{n^2} 和 Pn2P_{n^2}； (2) 求证：对任意正整数 n≥2n\ge2，有 Pn>1−1nP_n>1-\frac{1}{\sqrt n}.

2009 · 江苏 · 第 23 题 · 解答题

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17导数及其应用★★★★☆
如图，某地有三家工厂，分别位于矩形 ABCDABCD 的两个顶点 AA，BB 及 CDCD 的中点 PP 处，已知 AB=20 kmAB = 20\,\mathrm{km}，BC=10 kmBC = 10\,\mathrm{km}. 为了处理三家工厂的污水，现要在矩形区域上（含边界），且与 AA，BB 等距离的一点 OO 处建造一个污水处理厂，并铺设三条排污管道 AOAO，BOBO，POPO. 记排污管道的总长度为 y kmy\,\mathrm{km}.
(1) 按下列要求写出函数关系式：
(i) 设 ∠BAO=θ\angle BAO = \theta（rad\mathrm{rad}），将 yy 表示为 θ\theta 的函数； (ii) 设 OP=xOP = x（km\mathrm{km}），将 yy 表示为 xx 的函数. (2) 请你选用上一小问中的一个函数关系式，确定污水处理厂的位置，使铺设的排污管道的总长度最短.

2008 · 江苏 · 第 17 题 · 解答题

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18解析几何★★★☆☆
在平面直角坐标系 xOyxOy 中，设二次函数 f(x)=x2+2x+bf(x) = x^2 + 2x + b（x∈Rx \in \mathbf{R}）的图象与两坐标轴有三个交点，经过这三个交点的圆记为 CC.
(1) 求实数 bb 的取值范围； (2) 求圆 CC 的方程； (3) 问圆 CC 是否经过定点（其坐标与 bb 无关）？请证明你的结论.

2008 · 江苏 · 第 18 题 · 解答题

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20函数与初等函数★★★★★
已知函数 f1(x)=3∣x−p1∣f_1(x) = 3^{|x-p_1|}，f2(x)=2⋅3∣x−p2∣f_2(x) = 2 \cdot 3^{|x-p_2|}（x∈Rx \in \mathbf{R}，p1p_1，p2p_2 为常数）. 函数 f(x)f(x) 定义为：对每个给定的实数 xx，
f(x)={f1(x),若 f1(x)⩽f2(x),f2(x),若 f1(x)>f2(x).f(x) = \begin{cases} f_1(x), & \text{若\ } f_1(x) \leqslant f_2(x),\\ f_2(x), & \text{若\ } f_1(x) > f_2(x). \end{cases}
.
(1) 求 f(x)=f1(x)f(x) = f_1(x) 对所有实数 xx 成立的充分必要条件（用 p1p_1，p2p_2 表示）； (2) 设 aa，bb 是两个实数，满足 a<ba < b，且 p1p_1，p2∈(a,b)p_2 \in (a, b). 若 f(a)=f(b)f(a) = f(b)，求证：f(x)f(x) 在区间 [a,b][a, b] 上的单调增区间的长度之和为 b−a2\frac{b-a}{2}.（闭区间 [m,n][m, n] 的长度定义为 n−mn-m）

2008 · 江苏 · 第 20 题 · 解答题

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21函数与初等函数★★★★★
已知 aa，bb，cc，dd 是不全为零的实数，函数 f(x)=bx2+cx+df(x) = bx^{2} + cx + d，g(x)=ax3+bx2+cx+dg(x) = ax^{3} + bx^{2} + cx + d. 方程 f(x)=0f(x) = 0 有实数根，且 f(x)=0f(x) = 0 的实数根都是 g(f(x))=0g(f(x)) = 0 的根；反之，g(f(x))=0g(f(x)) = 0 的实数根都是 f(x)=0f(x) = 0 的根.
(1) 求 dd 的值； (2) 若 a=0a = 0，求 cc 的取值范围； (3) 若 a=1a = 1，f(1)=0f(1) = 0，求 cc 的取值范围.

2007 · 江苏 · 第 21 题 · 解答题

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20函数与初等函数★★★★★
设 aa 为实数，设函数 f(x)=a1−x2+1+x+1−xf(x) = a\sqrt{1 - x^2} + \sqrt{1 + x} + \sqrt{1 - x} 的最大值为 g(a)g(a).
(1) 设 t=1+x+1−xt = \sqrt{1 + x} + \sqrt{1 - x}，求 tt 的取值范围，并把 f(x)f(x) 表示为 tt 的函数 m(t)m(t)； (2) 求 g(a)g(a)； (3) 试求满足 g(a)=g(1a)g(a) = g\left(\frac{1}{a}\right) 的所有实数 aa.

2006 · 江苏 · 第 20 题 · 解答题

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