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16导数及其应用★★★★☆
设 a∈(0,1)a\in(0,1)，若函数 f(x)=ax+(1+a)x+1f(x)=a^x+(1+a)^{x+1} 在 (0,+∞)(0,+\infty) 上单调递增，则 aa 的取值范围是______.

2023 · 全国 · 乙卷 · 理 · 第 16 题 · 填空题

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16导数及其应用★★★★★
已知 x=x1x=x_1 和 x=x2x=x_2 分别是函数 f(x)=2ax−ex2f(x)=2a^x-\mathrm{e} x^2（a>0a>0 且 a≠1a\neq 1）的极小值点和极大值点. 若 x1<x2x_1<x_2，则 aa 的取值范围是______.

2022 · 全国 · 乙卷 · 理 · 第 16 题 · 填空题

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16函数与初等函数★★★☆☆
若 f(x)=ln⁡∣a+11−x∣+bf(x)=\ln\left|a+\dfrac{1}{1-x}\right|+b 是奇函数，则 a=‾a=\underline{\hspace{2em}}，b=‾b=\underline{\hspace{2em}}.

2022 · 全国 · 乙卷 · 文 · 第 16 题 · 填空题

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11函数与初等函数★☆☆☆☆
计算定积分 ∫−11(x2+sin⁡x)dx=‾\int_{-1}^{1}\left(x^{2} + \sin x\right)\mathrm{d}x =\underline{\hspace{2em}}.

2012 · 江西 · 理 · 第 11 题 · 填空题

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13函数与初等函数★★☆☆☆
下图是某算法程序框图，则程序运行后输出的结果是______.

2011 · 江西 · 理 · 第 13 题 · 填空题

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15不等式★★★★☆
若不等式 9−x2⩽k(x+2)−2\sqrt{9 - x^2} \leqslant k(x + 2) - \sqrt{2} 的解集为区间 [a,b][a, b]，且 b−a=2b - a = 2，则 k=k =______.

2009 · 江西 · 理 · 第 15 题 · 填空题

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15不等式★★★★☆
若不等式 4−x2⩽k(x+1)\sqrt{4-x^{2}} \leqslant k(x+1) 的解集为区间 [a,b][a,b]，且 b−a=1b-a = 1，则 k=‾k =\underline{\hspace{2em}}.
\begin{solution} 根式有意义要求 −2⩽x⩽2-2\leqslant x\leqslant2. 若 k>0k>0，当 x⩽−1x\leqslant-1 时右端不为正而左端非负，只有可能在 x=−2x=-2 时成立，但此时右端为 −k<0-k<0，仍不成立，所以解集包含于 (−1,2](-1,2]. 又 x=2x=2 对任意 k>0k>0 都满足不等式，故解集若为 [a,b][a,b]，必有 b=2b=2. 由 b−a=1b-a=1，得到 a=1a=1. 因为 11 是定义域内部的解集端点，连续函数两边的符号必须在此处改变，故在 x=1x=1 处取等号： 4−1=k(1+1)\sqrt{4-1}=k(1+1)，从而 k=32k=\frac{\sqrt{3}}{2}.
反向验证：当 k=32k=\frac{\sqrt{3}}{2} 时，解集必须满足 x>−1x>-1，且平方等价于 4−x2⩽34(x+1)24-x^{2}\leqslant\frac34(x+1)^{2}，即 7x2+6x−13⩾07x^{2}+6x-13\geqslant0，也就是 (7x+13)(x−1)⩾0(7x+13)(x-1)\geqslant0. 与 (−1,2](-1,2] 取交集，解集恰为 [1,2][1,2]，长度为 11.
若 k=0k=0，不等式只在 x=−2x=-2 或 x=2x=2 时成立，解集不是区间. 若 k<0k<0，成立时必须有 x<−1x<-1，且 −2-2 属于解集而 −1-1 不属于解集；若解集是长度为 11 的闭区间，就只能是 [−2,−1][-2,-1]，矛盾. 因而 k=32k=\frac{\sqrt{3}}{2}. \end{solution}

2009 · 江西 · 文 · 第 15 题 · 填空题

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13指数函数与对数函数★★☆☆☆
设函数 y=4+log⁡2(x−1)y = 4 + \log_{2}(x - 1)（x⩾3x \geqslant 3），则其反函数的定义域为______.

2007 · 江西 · 理 · 第 13 题 · 填空题

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15函数与初等函数★★☆☆☆
已知函数 y=f(x)y = f(x) 存在反函数 y=f−1(x)y = f^{-1}(x)，若函数 y=f(1+x)y = f(1 + x) 的图象经过点 (3,1)(3,1)，则函数 y=f−1(x)y = f^{-1}(x) 的图象必经过点______.
\begin{answer} (1,4)(1,4) \end{answer}
\begin{solution} 函数 y=f(1+x)y=f(1+x) 的图象经过 (3,1)(3,1)，代入得
f(1+3)=f(4)=1f(1+3)=f(4)=1
反函数图象由原函数图象关于直线 y=xy=x 对称，原图象上的点 (4,1)(4,1) 对称后变为 (1,4)(1,4). 因此函数 y=f−1(x)y=f^{-1}(x) 的图象必经过 (1,4)(1,4). \end{solution}

2007 · 江西 · 文 · 第 15 题 · 填空题

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13函数与初等函数★★★☆☆
若函数 f(x)=log⁡a(x+x2+2a2)f(x)=\log_{a}\left(x+\sqrt{x^{2}+2a^{2}}\right) 是奇函数，则 a=a=______.

2005 · 江西 · 理 · 第 13 题 · 填空题

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13函数与初等函数★★★☆☆
若函数 f(x)=log⁡a(x+x2+2a2)f(x)=\log_a\left(x+\sqrt{x^2+2a^2}\right) 是奇函数，则 a=a=______.

2005 · 江西 · 文 · 第 13 题 · 填空题

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