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1917分函数与初等函数★★★★★
已知函数 f(x)f(x) 的定义域为 R\mathbf{R}，且当 x<0x<0 时，f(x)=2xf(x)=2^x. 对任意 x0∈Rx_0\in\mathbf{R}，定义集合 D(x0)={d∈R∣f(x0+d)>f(x0)}D(x_0)=\{d\in\mathbf{R} \mid f(x_0+d)>f(x_0)\}.
(1) 若当 x≥0x\ge 0 时，f(x)=1−xf(x)=1-x，求 D(−1)D(-1)； (2) 若 f(x)f(x) 是奇函数，f(x1)≤f(x2)f(x_1)\le f(x_2)，且 x1x2≠0x_1x_2\ne 0，证明：D(x2)⊆D(x1)D(x_2)\subseteq D(x_1)； (3) 设 f(x)f(x) 满足：① 若 f(x1)≤f(x2)f(x_1)\le f(x_2)，则 D(x2)⊆D(x1)D(x_2)\subseteq D(x_1)；② 当 0<x<10<x<1 时，f(x)<f(0)f(x)<f(0).
(i) 证明：f(0)≥1f(0)\ge 1； (ii) 证明：f(x)f(x) 在区间 (0,+∞)(0,+\infty) 单调递增．

2026 · 全国 · 一卷 · 第 19 题 · 解答题

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1817分导数及其应用★★★★★
已知函数 f(x)=ln⁡x2−x+ax+b(x−1)3f(x)=\ln\frac{x}{2-x}+ax+b(x-1)^3（x∈(0,2)x\in(0,2)）.
(1) 若 b=0b=0 且 f′(x)≥0f'(x)\ge0，求 aa 的最小值； (2) 证明：曲线 y=f(x)y=f(x) 关于点 (1,a)(1,a) 中心对称； (3) 若 f(x)>−2f(x)>-2 当且仅当 1<x<21<x<2，求 bb 的取值范围.

2024 · 全国 · 新高考一卷 · 第 18 题 · 解答题

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23不等式★★★☆☆
已知 f(x)=2∣x∣+∣x−2∣f(x)=2|x|+|x-2|.
(1) 求不等式 f(x)≤6−xf(x)\le6-x 的解集； (2) 在直角坐标系 xOyxOy 中，求由不等式 f(x)≤yf(x)\le y 与 x+y−6≤0x+y-6\le0 所确定的平面区域的面积.

2023 · 全国 · 乙卷 · 理 · 第 23 题 · 解答题

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21解析几何★★★★☆
已知椭圆 C:y2a2+x2b2=1C:\dfrac{y^2}{a^2}+\dfrac{x^2}{b^2}=1（a>b>0a>b>0）的离心率为 53\dfrac{\sqrt5}{3}，点 A(−2,0)A(-2,0) 在 CC 上.
(1) 求 CC 的方程； (2) 过点 (−2,3)(-2,3) 的直线交 CC 于 PP，QQ 两点，直线 APAP，AQAQ 与 yy 轴的交点分别为 MM，NN，证明：线段 MNMN 的中点为定点.
\begin{solution} \begin{enumerate} \item 设椭圆的半焦距为 cc，则 c2=a2−b2c^2=a^2-b^2. 由点 A(−2,0)A(-2,0) 在椭圆上，得 b=2b=2. 又由离心率得 c2a2=59\dfrac{c^2}{a^2}=\dfrac59，所以 1−4a2=591-\dfrac{4}{a^2}=\dfrac59，从而 a=3a=3. 因此 CC 的方程为 y29+x24=1\dfrac{y^2}{9}+\dfrac{x^2}{4}=1. \item 过点 (−2,3)(-2,3) 的直线若为 x=−2x=-2，则与椭圆只有一个交点，故由题意可设该直线斜率为 kk，其方程为 y=k(x+2)+3y=k(x+2)+3. 设 P(x1,y1)P(x_1,y_1)，Q(x2,y2)Q(x_2,y_2)，则 x1x_1，x2x_2 是方程
9x2+4(k(x+2)+3)2=369x^2+4\bigl(k(x+2)+3\bigr)^2=36
的两个根，即
(9+4k2)x2+8k(2k+3)x+4(2k+3)2−36=0(9+4k^2)x^2+8k(2k+3)x+4(2k+3)^2-36=0
由韦达定理， x1+x2=−8k(2k+3)9+4k2x_1+x_2=-\frac{8k(2k+3)}{9+4k^2}，x1x2=16k(k+3)9+4k2x_1x_2=\frac{16k(k+3)}{9+4k^2}. 直线 APAP 与 yy 轴的交点纵坐标为 2y1x1+2\dfrac{2y_1}{x_1+2}，而 y1=k(x1+2)+3y_1=k(x_1+2)+3，所以该纵坐标为 2k+6x1+22k+\dfrac{6}{x_1+2}. 同理，点 NN 的纵坐标为 2k+6x2+22k+\dfrac{6}{x_2+2}. 因而线段 MNMN 的中点横坐标为 00，纵坐标为
2k+3(1x1+2+1x2+2)=2k+3x1+x2+4x1x2+2(x1+x2)+42k+3\left(\frac1{x_1+2}+\frac1{x_2+2}\right)=2k+3\frac{x_1+x_2+4}{x_1x_2+2(x_1+x_2)+4}
由上式中的韦达关系， x1+x2+4=12(3−2k)9+4k2x_1+x_2+4=\frac{12(3-2k)}{9+4k^2}，x1x2+2(x1+x2)+4=369+4k2x_1x_2+2(x_1+x_2)+4=\frac{36}{9+4k^2}， 故中点纵坐标为 2k+3⋅3−2k3=32k+3\cdot\dfrac{3-2k}{3}=3. 所以线段 MNMN 的中点为定点 (0,3)(0,3). \end{enumerate} \end{solution}

2023 · 全国 · 乙卷 · 文 · 第 21 题 · 解答题

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23不等式★★★★☆
已知 f(x)=2∣x∣+∣x−2∣f(x)=2|x|+|x-2|.
(1) 求不等式 f(x)≤6−xf(x)\le6-x 的解集； (2) 在直角坐标系 xOyxOy 中，求不等式组
{f(x)≤y,x+y−6≤0\begin{cases} f(x)\le y,\\ x+y-6\le0 \end{cases}
所确定的平面区域的面积.
\begin{solution} \begin{enumerate} \item 当 x<0x<0 时，f(x)=2−3xf(x)=2-3x；当 0≤x≤20\le x\le2 时，f(x)=x+2f(x)=x+2；当 x>2x>2 时，f(x)=3x−2f(x)=3x-2. 因此
{2−3x≤6−x,x<0,x+2≤6−x,0≤x≤2,3x−2≤6−x,x>2.\begin{cases} 2-3x\le6-x,&x<0,\\ x+2\le6-x,&0\le x\le2,\\ 3x-2\le6-x,&x>2. \end{cases}
第一种情形得 −2≤x<0-2\le x<0，第二种情形得 0≤x≤20\le x\le2，第三种情形无解，所以不等式的解集为 [−2,2][-2,2]. \item 不等式组表示的区域位于曲线 y=f(x)y=f(x) 上方、直线 y=6−xy=6-x 下方. 由第（1）问，区域的横坐标范围为 [−2,2][-2,2]. 当 −2≤x≤0-2\le x\le0 时，上、下边界之差为 (6−x)−(2−3x)=4+2x(6-x)-(2-3x)=4+2x；当 0≤x≤20\le x\le2 时，上、下边界之差为 (6−x)−(x+2)=4−2x(6-x)-(x+2)=4-2x. 因此区域面积为
∫−20(4+2x) dx+∫02(4−2x) dx=4+4=8\int_{-2}^{0}(4+2x)\,\mathrm{d}x+\int_{0}^{2}(4-2x)\,\mathrm{d}x=4+4=8
\end{enumerate} \end{solution}

2023 · 全国 · 乙卷 · 文 · 第 23 题 · 解答题

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21导数及其应用★★★★★
已知函数 f(x)=ln⁡(1+x)+axe−xf(x)=\ln(1+x)+ax\mathrm{e}^{-x}.
(1) 当 a=1a=1 时，求曲线 y=f(x)y=f(x) 在点 (0,f(0))\left( 0,f(0) \right) 处的切线方程； (2) 若 f(x)f(x) 在区间 (−1,0)(-1,0)，(0,+∞)(0,+\infty) 各恰有一个零点，求 aa 的取值范围.

2022 · 全国 · 乙卷 · 理 · 第 21 题 · 解答题

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22解析几何★★★☆☆
在直角坐标系 xOyxOy 中，曲线 CC 的参数方程为 x=3cos⁡2tx=\sqrt{3}\cos 2t，y=2sin⁡ty=2\sin t（tt 为参数），以坐标原点为极点，xx 轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知直线 ll 的极坐标方程为 ρsin⁡(θ+π3)+m=0\rho \sin \left( \theta+\frac{\pi}{3} \right)+m=0.
(1) 写出 ll 的直角坐标方程； (2) 若 ll 与 C 有公共点，求 mm 的取值范围.

2022 · 全国 · 乙卷 · 理 · 第 22 题 · 解答题

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20导数及其应用★★★★☆
已知函数 f(x)=ax−1x−(a+1)ln⁡xf(x)=ax-\dfrac{1}{x}-(a+1)\ln x，x>0x>0.
(1) 当 a=0a=0 时，求 f(x)f(x) 的最大值； (2) 若 f(x)f(x) 恰有一个零点，求 aa 的取值范围.

2022 · 全国 · 乙卷 · 文 · 第 20 题 · 解答题

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23不等式★★★☆☆
已知函数 f(x)=∣3x+1∣−2∣x−1∣f(x)=\left\lvert 3x+1 \right\rvert-2\left\lvert x-1 \right\rvert.
(1) 画出 y=f(x)y=f(x) 的图象； (2) 求不等式 f(x)>f(x+1)f(x)>f(x+1) 的解集.

2020 · 全国 · 一卷 · 理 · 第 23 题 · 解答题

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20导数及其应用★★★★☆
已知函数 f(x)=ex−a(x+2)f(x)=\mathrm{e}^x-a(x+2).
(1) 当 a=1a=1 时，讨论 f(x)f(x) 的单调性； (2) 若 f(x)f(x) 有两个零点，求 aa 的取值范围.

2020 · 全国 · 一卷 · 文 · 第 20 题 · 解答题

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23不等式★★★☆☆
已知函数 f(x)=∣3x+1∣−2∣x−1∣f(x)=\lvert 3x+1\rvert-2\lvert x-1\rvert.
(1) 画出 y=f(x)y=f(x) 的图象； (2) 求不等式 f(x)>f(x+1)f(x)>f(x+1) 的解集.

2020 · 全国 · 一卷 · 文 · 第 23 题 · 解答题

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20导数及其应用★★★★★
已知函数 f(x)=sin⁡x−ln⁡(1+x)f(x)=\sin x-\ln(1+x)，且 f′(x)f'(x) 为 f(x)f(x) 的导数. 证明：
(1) f′(x)f'(x) 在区间 (−1,π2)\left(-1,\dfrac{\pi}{2}\right) 存在唯一极大值点； (2) f(x)f(x) 有且仅有 22 个零点.

2019 · 全国 · 一卷 · 理 · 第 20 题 · 解答题

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20导数及其应用★★★★☆
已知函数 f(x)=2sin⁡x−xcos⁡x−xf(x)=2\sin x-x\cos x-x，f′(x)f'(x) 为 f(x)f(x) 的导数.
(1) 证明：f′(x)f'(x) 在区间 (0,π)(0,\pi) 存在唯一零点； (2) 若 x∈[0,π]x\in [0,\pi] 时，f(x)≥axf(x)\ge ax，求 aa 的取值范围.

2019 · 全国 · 一卷 · 文 · 第 20 题 · 解答题

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19解析几何★★★★☆
设椭圆 C:x22+y2=1C:\frac{x^2}{2}+y^2=1 的右焦点为 FF，过 FF 的直线 ll 与 CC 交于 AA，BB 两点，点 MM 的坐标为 (2,0)(2,0).
(1) 当 ll 与 xx 轴垂直时，求直线 AMAM 的方程； (2) 设 OO 为坐标原点，证明：∠OMA=∠OMB\angle OMA=\angle OMB.

2018 · 全国 · 一卷 · 理 · 第 19 题 · 解答题

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22解析几何★★★★☆
在直角坐标系 xOyxOy 中，曲线 C1C_1 的方程为 y=k∣x∣+2y=k\lvert x\rvert+2. 以坐标原点为极点，xx 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C2C_2 的极坐标方程为 ρ2+2ρcos⁡θ−3=0\rho^2+2\rho\cos\theta-3=0.
(1) 求 C2C_2 的直角坐标方程； (2) 若 C1C_1 与 C2C_2 有且仅有三个公共点，求 C1C_1 的方程.

2018 · 全国 · 一卷 · 理 · 第 22 题 · 解答题

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16三角函数★★★★☆
已知函数 f(x)=(a+2cos⁡2x)cos⁡(2x+θ)f(x) = (a + 2\cos^2 x)\cos (2x + \theta) 为奇函数，且 f(π4)=0f\left(\frac{\pi}{4}\right) = 0，其中 a∈Ra \in \mathbf{R}，θ∈(0,π)\theta \in (0, \pi).
(1) 求 aa，θ\theta 的值； (2) 若 f(α4)=−25f\left(\frac{\alpha}{4}\right) = -\frac{2}{5}，α∈(π2,π)\alpha \in \left(\frac{\pi}{2}, \pi\right)，求 sin⁡(α+π3)\sin \left(\alpha + \frac{\pi}{3}\right) 的值.

2014 · 江西 · 文 · 第 16 题 · 解答题

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19立体几何初步★★★★☆
如图，三棱柱 ABC−A1B1C1ABC - A_{1}B_{1}C_{1} 中，AA1⊥BCAA_{1} \perp BC，A1B⊥BB1A_{1}B \perp BB_{1}.
(1) 求证：A1C⊥CC1A_{1}C \perp CC_{1}； (2) 若 AB=2AB = 2，AC=3AC = \sqrt{3}，BC=7BC = \sqrt{7}，问 AA1AA_{1} 为何值时，三棱柱 ABC−A1B1C1ABC-A_{1}B_{1}C_{1} 体积最大，并求此最大值.

2014 · 江西 · 文 · 第 19 题 · 解答题

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21函数与初等函数★★★★★
将连续正整数 11，22，⋯\cdots，nn （n∈N∗n \in \mathbf{N}^*） 从小到大排列构成一个数 123⋯n123\cdots n，F(n)F(n) 为这个数的位数 （如 n=12n = 12 时，此数为 123456789101112123456789101112，共有 15 个数字，F(12)=15F(12) = 15），现从这个数中随机取一个数字，p(n)p(n) 为恰好取到 0 的概率.
(1) 求 p(100)p(100)； (2) 当 n⩽2014n \leqslant 2014 时，求 F(n)F(n) 的表达式； (3) 令 g(n)g(n) 为这个数中数字 0 的个数，f(n)f(n) 为这个数中数字 9 的个数，h(n)=f(n)−g(n)h(n) = f(n) - g(n)，S={n∣h(n)=1,n⩽100,n∈N∗}S = \{n \mid h(n) = 1, n \leqslant 100, n \in \mathbf{N}^*\}，求当 n∈Sn \in S 时 p(n)p(n) 的最大值.

2014 · 江西 · 文 · 第 21 题 · 解答题

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22函数与初等函数★★★★★
已知函数 f(x)=a(1−2∣x−12∣)f(x) = a\left(1 - 2\left|x - \frac{1}{2}\right|\right)，aa 为常数且 a>0a > 0.
(1) 证明：函数 f(x)f(x) 的图象关于直线 x=12x = \frac{1}{2} 对称； (2) 若 x0x_0 满足 f(f(x0))=x0f(f(x_0)) = x_0，且 f(x0)≠x0f(x_0) \neq x_0，则称 x0x_0 为函数 f(x)f(x) 的二阶周期点. 如果 f(x)f(x) 有两个二阶周期点 x1x_1，x2x_2，试确定 aa 的取值范围； (3) 对于第 2 问中的 x1x_1，x2x_2 和 aa，设 x3x_3 为函数 f(f(x))f(f(x)) 的最大值点，A(x1,f(f(x1)))A(x_1, f(f(x_1)))，B(x2,f(f(x2)))B(x_2, f(f(x_2)))，C(x3,0)C(x_3, 0)，记 △ABC\triangle ABC 的面积为 S(a)S(a)，讨论 S(a)S(a) 的单调性.

2013 · 江西 · 理 · 第 22 题 · 解答题

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21函数与初等函数★★★★★
设函数
f(x)={1ax,0⩽x⩽a,11−a(1−x),a<x⩽1,f(x) = \begin{cases} \frac{1}{a} x, & 0 \leqslant x \leqslant a,\\ \frac{1}{1 - a} (1 - x), & a < x \leqslant 1, \end{cases}
aa 为常数且 a∈(0,1)a \in (0,1).
(1) 当 a=12a = \frac{1}{2} 时，求 f(f(13))f\left(f\left(\frac{1}{3}\right)\right)； (2) 若 x0x_0 满足 f(f(x0))=x0f(f(x_0)) = x_0，但 f(x0)≠x0f(x_0) \neq x_0，则称 x0x_0 为 f(x)f(x) 的二阶周期点，证明：函数 f(x)f(x) 有且仅有两个二阶周期点，并求出二阶周期点 x1x_1，x2x_2； (3) 对于（2）中的 x1x_{1}，x2x_{2}，设 A(x1,f(f(x1)))A\left(x_{1}, f(f(x_{1}))\right)，B(x2,f(f(x2)))B\left(x_{2}, f(f(x_{2}))\right)，C(a2,0)C\left(a^{2}, 0\right)，记 △ABC\triangle ABC 的面积为 S(a)S(a)，求 S(a)S(a) 在区间 [13,12]\left[\frac{1}{3}, \frac{1}{2}\right] 上的最大值和最小值.

2013 · 江西 · 文 · 第 21 题 · 解答题

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22函数与初等函数★★★★★
若函数 h(x)h(x) 满足
① h(0)=1h(0)=1，h(1)=0h(1)=0； ② 对任意 a∈[0,1]a \in [0,1]，有 h(h(a))=ah(h(a)) = a； ③ 在 (0,1)(0,1) 上单调递减.
则称 h(x)h(x) 为补函数. 已知函数 h(x)=(1−xp1+λxp)1ph(x) = \left(\frac{1 - x^{p}}{1 + \lambda x^{p}}\right)^{\frac{1}{p}}（λ>−1\lambda > -1，p>0p > 0）.
(1) 判断函数 h(x)h(x) 是否为补函数，并证明你的结论； (2) 若存在 m∈[0,1]m \in [0,1]，使得 h(m)=mh(m) = m，称 mm 是函数 h(x)h(x) 的中介元. 记 p=1np = \frac{1}{n} （n∈N+n \in \mathbf{N}_+）时 h(x)h(x) 的中介元为 xnx_n. 且 Sn=∑i=1nxiS_n = \sum_{i=1}^{n} x_i，若对任意的 n∈N+n \in \mathbf{N}_+，都有 Sn<12S_n < \frac{1}{2}，求 λ\lambda 的取值范围； (3) 当 λ=0\lambda = 0，x∈(0,1)x \in (0,1) 时，函数 y=h(x)y = h(x) 的图象总在直线 y=1−xy = 1 - x 的上方，求 pp 的取值范围.

2012 · 江西 · 理 · 第 22 题 · 解答题

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17导数及其应用★★★☆☆
设函数 f(x)=6x3+3(a+2)x2+2axf(x) = 6x^{3} + 3(a + 2)x^{2} + 2ax.
(1) 若 f(x)f(x) 的两个极值点为 x1x_{1}，x2x_{2}，且 x1x2=1x_{1}x_{2} = 1，求实数 aa 的值； (2) 是否存在实数 aa，使得 f(x)f(x) 是 (−∞,+∞)(-\infty, +\infty) 上的单调函数？若存在，求出 aa 的值；若不存在，说明理由.

2010 · 江西 · 文 · 第 17 题 · 解答题

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22数列★★★★★
各项均为正数的数列 {an}\{a_{n}\}，a1=aa_{1} = a，a2=ba_{2} = b，且对满足 m+n=p+qm + n = p + q 的正整数 mm，nn，pp，qq 都有 am+an(1+am)(1+an)=ap+aq(1+ap)(1+aq)\frac{a_{m} + a_{n}}{(1 + a_{m})(1 + a_{n})} = \frac{a_{p} + a_{q}}{(1 + a_{p})(1 + a_{q})}.
(1) 当 a=12a = \frac{1}{2}，b=45b = \frac{4}{5} 时，求通项 ana_{n}； (2) 证明：对任意 aa，存在与 aa 有关的常数 λ\lambda，使得对于每个正整数 nn，都有 1λ⩽an⩽λ\frac{1}{\lambda} \leqslant a_n \leqslant \lambda.

2009 · 江西 · 理 · 第 22 题 · 解答题

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17导数及其应用★★★☆☆
设函数 f(x)=x3−92x2+6x−af(x) = x^3 - \frac{9}{2} x^2 + 6x - a.
(1) 对于任意实数 xx，f′(x)⩾mf'(x) \geqslant m 恒成立，求 mm 的最大值； (2) 若方程 f(x)=0f(x)=0 有且仅有一个实根，求 aa 的取值范围.
\begin{solution} \begin{enumerate} \item f′(x)=3x2−9x+6=3(x−32)2−34f'(x)=3x^{2}-9x+6=3\left(x-\frac32\right)^{2}-\frac34. 因此对任意实数 xx，都有 f′(x)⩾−34f'(x)\geqslant-\frac34，且在 x=32x=\frac32 时取等号. 若 f′(x)⩾mf'(x)\geqslant m 恒成立，则 m⩽−34m\leqslant-\frac34，所以 mm 的最大值为 −34-\frac34.
\item f′(x)=3(x−1)(x−2)f'(x)=3(x-1)(x-2)，所以 f(x)f(x) 在 (−∞,1)(-\infty,1) 和 (2,+∞)(2,+\infty) 上递增，在 (1,2)(1,2) 上递减. 两个极值为 f(1)=52−af(1)=\frac52-a，f(2)=2−af(2)=2-a.
若 a<2a<2，则 f(2)>0f(2)>0，局部极小值也为正，函数只在 (−∞,1)(-\infty,1) 上有一个零点. 若 a>52a>\frac52，则 f(1)<0f(1)<0，局部极大值也为负，函数只在 (2,+∞)(2,+\infty) 上有一个零点.
当 2<a<522<a<\frac52 时，f(1)>0>f(2)f(1)>0>f(2)，三段单调区间各有一个零点；当 a=2a=2 或 a=52a=\frac52 时，极值点给出重根且另有一个零点，均不满足“有且仅有一个实根”. 因而 a<2a<2 或 a>52a>\frac52. \end{enumerate} \end{solution}

2009 · 江西 · 文 · 第 17 题 · 解答题

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22导数及其应用★★★★★
(1) 已知函数 f(x)=11+x+11+a+axax+8f(x) = \frac{1}{\sqrt{1 + x}} + \frac{1}{\sqrt{1 + a}} + \sqrt{\frac{ax}{ax + 8}}，x∈(0,+∞)x \in (0, +\infty). 当 a=8a = 8 时，求 f(x)f(x) 的单调区间； (2) 对任意正数 aa，证明：1<f(x)<21 < f(x) < 2.

2008 · 江西 · 理 · 第 22 题 · 解答题

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