数迹
题目列表试卷列表
共找到 27 题
排序：
组题
本页 25 题去组卷
1917分函数与初等函数★★★★★
已知函数 f(x)f(x) 的定义域为 R\mathbf{R}，且当 x<0x<0 时，f(x)=2xf(x)=2^x. 对任意 x0∈Rx_0\in\mathbf{R}，定义集合 D(x0)={d∈R∣f(x0+d)>f(x0)}D(x_0)=\{d\in\mathbf{R} \mid f(x_0+d)>f(x_0)\}.
(1) 若当 x≥0x\ge 0 时，f(x)=1−xf(x)=1-x，求 D(−1)D(-1)； (2) 若 f(x)f(x) 是奇函数，f(x1)≤f(x2)f(x_1)\le f(x_2)，且 x1x2≠0x_1x_2\ne 0，证明：D(x2)⊆D(x1)D(x_2)\subseteq D(x_1)； (3) 设 f(x)f(x) 满足：① 若 f(x1)≤f(x2)f(x_1)\le f(x_2)，则 D(x2)⊆D(x1)D(x_2)\subseteq D(x_1)；② 当 0<x<10<x<1 时，f(x)<f(0)f(x)<f(0).
(i) 证明：f(0)≥1f(0)\ge 1； (ii) 证明：f(x)f(x) 在区间 (0,+∞)(0,+\infty) 单调递增．

2026 · 全国 · 一卷 · 第 19 题 · 解答题

查看答案和解析
1817分导数及其应用★★★★★
已知函数 f(x)=ln⁡x2−x+ax+b(x−1)3f(x)=\ln\frac{x}{2-x}+ax+b(x-1)^3（x∈(0,2)x\in(0,2)）.
(1) 若 b=0b=0 且 f′(x)≥0f'(x)\ge0，求 aa 的最小值； (2) 证明：曲线 y=f(x)y=f(x) 关于点 (1,a)(1,a) 中心对称； (3) 若 f(x)>−2f(x)>-2 当且仅当 1<x<21<x<2，求 bb 的取值范围.

2024 · 全国 · 新高考一卷 · 第 18 题 · 解答题

查看答案和解析
2215分导数及其应用★★★★★
已知函数 f(x)=ex−axf(x)=\mathrm{e}^x-ax，g(x)=ax−ln⁡xg(x)=ax-\ln x 有相同的最小值.
(1) 求 aa； (2) 证明：存在直线 y=by=b，其与两条曲线 y=f(x)y=f(x) 和 y=g(x)y=g(x) 共有三个不同的交点，并且从左到右的三个交点的横坐标成等差数列.

2022 · 全国 · 新高考一卷 · 第 22 题 · 解答题

查看答案和解析
23不等式★★★☆☆
已知函数 f(x)=∣3x+1∣−2∣x−1∣f(x)=\left\lvert 3x+1 \right\rvert-2\left\lvert x-1 \right\rvert.
(1) 画出 y=f(x)y=f(x) 的图象； (2) 求不等式 f(x)>f(x+1)f(x)>f(x+1) 的解集.

2020 · 全国 · 一卷 · 理 · 第 23 题 · 解答题

查看答案和解析
20导数及其应用★★★★☆
已知函数 f(x)=ex−a(x+2)f(x)=\mathrm{e}^x-a(x+2).
(1) 当 a=1a=1 时，讨论 f(x)f(x) 的单调性； (2) 若 f(x)f(x) 有两个零点，求 aa 的取值范围.

2020 · 全国 · 一卷 · 文 · 第 20 题 · 解答题

查看答案和解析
23不等式★★★☆☆
已知函数 f(x)=∣3x+1∣−2∣x−1∣f(x)=\lvert 3x+1\rvert-2\lvert x-1\rvert.
(1) 画出 y=f(x)y=f(x) 的图象； (2) 求不等式 f(x)>f(x+1)f(x)>f(x+1) 的解集.

2020 · 全国 · 一卷 · 文 · 第 23 题 · 解答题

查看答案和解析
20导数及其应用★★★★★
已知函数 f(x)=sin⁡x−ln⁡(1+x)f(x)=\sin x-\ln(1+x)，且 f′(x)f'(x) 为 f(x)f(x) 的导数. 证明：
(1) f′(x)f'(x) 在区间 (−1,π2)\left(-1,\dfrac{\pi}{2}\right) 存在唯一极大值点； (2) f(x)f(x) 有且仅有 22 个零点.

2019 · 全国 · 一卷 · 理 · 第 20 题 · 解答题

查看答案和解析
20导数及其应用★★★★☆
已知函数 f(x)=2sin⁡x−xcos⁡x−xf(x)=2\sin x-x\cos x-x，f′(x)f'(x) 为 f(x)f(x) 的导数.
(1) 证明：f′(x)f'(x) 在区间 (0,π)(0,\pi) 存在唯一零点； (2) 若 x∈[0,π]x\in [0,\pi] 时，f(x)≥axf(x)\ge ax，求 aa 的取值范围.

2019 · 全国 · 一卷 · 文 · 第 20 题 · 解答题

查看答案和解析
19解析几何★★★★☆
设椭圆 C:x22+y2=1C:\frac{x^2}{2}+y^2=1 的右焦点为 FF，过 FF 的直线 ll 与 CC 交于 AA，BB 两点，点 MM 的坐标为 (2,0)(2,0).
(1) 当 ll 与 xx 轴垂直时，求直线 AMAM 的方程； (2) 设 OO 为坐标原点，证明：∠OMA=∠OMB\angle OMA=\angle OMB.

2018 · 全国 · 一卷 · 理 · 第 19 题 · 解答题

查看答案和解析
22解析几何★★★★☆
在直角坐标系 xOyxOy 中，曲线 C1C_1 的方程为 y=k∣x∣+2y=k\lvert x\rvert+2. 以坐标原点为极点，xx 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C2C_2 的极坐标方程为 ρ2+2ρcos⁡θ−3=0\rho^2+2\rho\cos\theta-3=0.
(1) 求 C2C_2 的直角坐标方程； (2) 若 C1C_1 与 C2C_2 有且仅有三个公共点，求 C1C_1 的方程.

2018 · 全国 · 一卷 · 理 · 第 22 题 · 解答题

查看答案和解析
21函数与初等函数★★★★☆
设函数 f(x)f(x)，g(x)g(x) 的定义域均为 R\mathbf{R}，且 f(x)f(x) 是奇函数，g(x)g(x) 是偶函数，f(x)+g(x)=exf(x)+g(x)=\mathrm{e}^x，其中 e\mathrm{e} 为自然对数的底数.
(1) 求 f(x)f(x)，g(x)g(x) 的解析式，并证明：当 x>0x>0 时，f(x)>0f(x)>0，g(x)>1g(x)>1； (2) 设 a⩽0a\leqslant 0，b⩾1b\geqslant 1，证明：当 x>0x>0 时，ag(x)+(1−a)<f(x)x<bg(x)+(1−b)ag(x)+(1-a)<\dfrac{f(x)}{x}<bg(x)+(1-b).

2015 · 湖北 · 文 · 第 21 题 · 解答题

查看答案和解析
21解析几何★★★★☆
在平面直角坐标系 xOyxOy 中，点 MM 到点 F(1,0)F(1,0) 的距离比它到 yy 轴的距离多 1，记点 MM 的轨迹为 CC.
(1) 求轨迹为 CC 的方程； (2) 设斜率为 kk 的直线 ll 过定点 P(−2,1)P(-2,1)，求直线 ll 与轨迹 CC 恰好有一个公共点，两个公共点，三个公共点时 kk 的相应取值范围.

2014 · 湖北 · 理 · 第 21 题 · 解答题

查看答案和解析
22解析几何★★★★☆
在平面直角坐标系 xOyxOy 中，点 MM 到点 F(1,0)F(1,0) 的距离比它到 yy 轴的距离多 1，记点 MM 的轨迹为 CC.
(1) 求轨迹为 CC 的方程； (2) 设斜率为 kk 的直线 ll 过定点 P(−2,1)P(-2,1)，求直线 ll 与轨迹 CC 恰好有一个公共点，两个公共点，三个公共点时 kk 的相应取值范围.

2014 · 湖北 · 文 · 第 22 题 · 解答题

查看答案和解析
17函数与初等函数★★★☆☆
提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况. 在一般情况下，大桥上的车流速度 vv（单位：千米/小时）是车流密度 xx（单位：辆/千米）的函数. 当桥上的车流密度达到 200 辆/千米200\text{ 辆/千米} 时，造成堵塞，此时车流速度为 00；当车流密度不超过 20 辆/千米20\text{ 辆/千米} 时，车流速度为 60 千米/小时60\text{ 千米/小时}；研究表明：当 20⩽x⩽20020\leqslant x\leqslant200 时，车流速度 vv 是车流密度 xx 的一次函数.
(1) 当 0⩽x⩽2000\leqslant x\leqslant200 时，求函数 v(x)v(x) 的表达式； (2) 当车流密度 xx 为多大时，车流量（单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/小时）f(x)=x⋅v(x)f(x)=x\cdot v(x) 可以达到最大，并求出最大值.（精确到 1 辆/小时1\text{ 辆/小时}）

2011 · 湖北 · 理 · 第 17 题 · 解答题

查看答案和解析
19函数与初等函数★★★☆☆
提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况. 在一般情况下，大桥上的车流速度 vv（单位：千米/小时）是车流密度 xx（单位：辆/千米）的函数. 当桥上的车流密度达到 200 辆/千米200\text{ 辆/千米} 时，造成堵塞，此时车流速度为 00；当车流密度不超过 20 辆/千米20\text{ 辆/千米} 时，车流速度为 60 千米/小时60\text{ 千米/小时}. 研究表明：当 20⩽x⩽20020 \leqslant x \leqslant 200 时，车流速度 vv 是车流密度 xx 的一次函数.
(1) 当 0⩽x⩽2000 \leqslant x \leqslant 200 时，求函数 v(x)v(x) 的表达式； (2) 当车流密度 xx 为多大时，车流量（单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/小时）f(x)=x⋅v(x)f(x) = x \cdot v(x) 可以达到最大，并求出最大值. （精确到 1 辆/小时1\text{ 辆/小时}）

2011 · 湖北 · 文 · 第 19 题 · 解答题

查看答案和解析
17导数及其应用★★★☆☆
为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的房顶和外墙需要建造隔热层. 某幢建筑物要建造可使用 20 年20\text{ 年} 的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为 6 万元6\text{ 万元}. 该建筑物每年的能源消耗费用 CC（单位：万元）与隔热层厚度 xx（单位：cm）满足关系：C(x)=k3x+5C(x) = \frac{k}{3x + 5}（0⩽x⩽100 \leqslant x \leqslant 10），若不建隔热层，每年能源消耗费用为 8 万元8\text{ 万元}. 设 f(x)f(x) 为隔热层建造费用与 20 年20\text{ 年} 的能源消耗费用之和.
(1) 求 kk 的值及 f(x)f(x) 的表达式. (2) 隔热层修建多厚时，总费用 f(x)f(x) 达到最小，并求最小值.

2010 · 湖北 · 理 · 第 17 题 · 解答题

查看答案和解析
20导数及其应用★★★★☆
设函数 f(x)=13x3−a2x2+bx+cf(x) = \frac{1}{3} x^3 - \frac{a}{2} x^2 + bx + c，其中 a>0a > 0，曲线 y=f(x)y = f(x) 在点 P(0,f(0))P(0, f(0)) 处的切线方程为 y=1y = 1.
(1) 确定 bb，cc 的值； (2) 设曲线 y=f(x)y = f(x) 在点 (x1,f(x1))(x_1, f(x_1)) 及 (x2,f(x2))(x_2, f(x_2)) 处的切线都过点 (0,2)(0,2). 证明：当 x1≠x2x_1 \neq x_2 时，f′(x1)≠f′(x2)f'(x_1) \neq f'(x_2). (3) 若过点 (0,2)(0,2) 可作曲线 y=f(x)y = f(x) 的三条不同切线，求 aa 的取值范围.

2010 · 湖北 · 文 · 第 20 题 · 解答题

查看答案和解析
20解析几何★★★★☆
过抛物线 y2=2pxy^{2} = 2px（p>0p > 0）的对称轴上一点 A(a,0)A(a,0)（a>0a > 0）的直线与抛物线相交于 MM，NN 两点，自 MM，NN 向直线 ll：x=−ax = -a 作垂线，垂足分别为 M1M_{1}，N1N_{1}.
(1) 当 a=p2a = \frac{p}{2} 时，求证： AM1⊥AN1AM_{1} \perp AN_{1}； (2) 记 △AMM1\triangle AMM_{1}，△AM1N1\triangle AM_{1}N_{1}，△ANN1\triangle ANN_{1} 的面积分别为 S1S_{1}，S2S_{2}，S3S_{3}，是否存在 λ\lambda，使得对任意的 a>0a > 0，都有 S22=λS1S3S_{2}^{2} = \lambda S_{1}S_{3} 成立. 若存在，求出 λ\lambda 的值；若不存在，说明理由.

2009 · 湖北 · 理 · 第 20 题 · 解答题

查看答案和解析
17不等式★★★☆☆
围建一个面积为 360 m2360 \mathrm{~m}^{2} 的矩形场地，要求矩形场地的一面利用旧墙（利用旧墙需维修），其它三面围墙要新建. 在旧墙的对面的新墙上要留一个宽度为 2 m2 \mathrm{~m} 的进出口. 如图所示，已知旧墙的维修费用为 45 元/m45\text{ 元}/\mathrm{m}，新墙的造价为 180 元/m180\text{ 元}/\mathrm{m}. 设利用的旧墙的长度为 xx（单位：m\mathrm{m}），修建此矩形场地围墙的总费用为 yy（单位：元）.
(1) 将 yy 表示为 xx 的函数； (2) 试确定 xx，使修建此矩形场地围墙的总费用最少，并求出最小总费用.

2009 · 湖北 · 文 · 第 17 题 · 解答题

查看答案和解析
20函数与初等函数★★★☆☆
水库的蓄水量随时间而变化. 用 tt 表示时间，以月为单位，年初为起点. 根据历年数据，某水库的蓄水量 （单位：亿立方米） 关于 tt 的近似函数关系式为
V(t)={(−t2+14t−40)e14t+50,0<t⩽10,4(t−10)(3t−41)+50,10<t⩽12.V(t) = \begin{cases} (-t^2 + 14t - 40)\mathrm{e}^{\frac14 t} + 50, & 0 < t \leqslant 10,\\ 4(t - 10)(3t - 41) + 50, & 10 < t \leqslant 12. \end{cases}
(1) 该水库的蓄水量小于 5050 的时期称为枯水期. 以 i−1<t<ii-1<t<i 表示第 ii 月份（i=1i=1，22，…\dots，1212），同一年内哪几个月份是枯水期？ (2) 求一年内该水库的最大蓄水量 （取 e=2.7\mathrm{e} = 2.7 计算）.

2008 · 湖北 · 理 · 第 20 题 · 解答题

查看答案和解析
19不等式★★★☆☆
如图，要设计一张矩形广告，该广告含有大小相等的左右两个矩形栏目（即图中阴影部分），这两栏的面积之和为 18000 cm218000\mathrm{~cm}^2，四周空白的宽度为 10 cm10\mathrm{~cm}，两栏之间的中缝空白的宽度为 5 cm5\mathrm{~cm}，怎样确定广告的高与宽的尺寸（单位：cm\mathrm{cm}），能使矩形广告面积最小？

2008 · 湖北 · 文 · 第 19 题 · 解答题

查看答案和解析
19函数与初等函数★★★★☆
设二次函数 f(x)=x2+ax+af(x) = x^{2} + ax + a，方程 f(x)−x=0f(x) - x = 0 的两根 x1x_{1} 和 x2x_{2} 满足 0<x1<x2<10 < x_{1} < x_{2} < 1.
(1) 求实数 aa 的取值范围. (2) 试比较 f(0)f(1)−f(0)f(0)f(1) - f(0) 与 116\frac{1}{16} 的大小，并说明理由.

2007 · 湖北 · 文 · 第 19 题 · 解答题

查看答案和解析
21解析几何★★★★☆
在平面直角坐标系 xOyxOy 中，过定点 C(0,p)C(0, p) 作直线与抛物线 x2=2pyx^{2} = 2py（p>0p > 0）相交于 AA，BB 两点.
(1) 若点 NN 是点 CC 关于坐标原点 OO 的对称点，求 △ANB\triangle ANB 面积的最小值. (2) 是否存在垂直于 yy 轴的直线 ll，使得 ll 被以 ACAC 为直径的圆截得的弦长恒为定值？若存在，求出 ll 的方程；若不存在，说明理由.

2007 · 湖北 · 文 · 第 21 题 · 解答题

查看答案和解析
21导数及其应用★★★★★
设 x=3x = 3 是函数 f(x)=(x2+ax+b)e3−xf(x) = (x^2 + ax + b)\mathrm{e}^{3 - x}（x∈Rx \in \mathbf{R}）的一个极值点.
(1) 求 aa 与 bb 的关系式（用 aa 表示 bb），并求 f(x)f(x) 的单调区间； (2) 设 a>0a > 0，g(x)=(a2+254)exg(x) = \left(a^2 + \frac{25}{4}\right)\mathrm{e}^x. 若存在 ξ1\xi_1，ξ2∈[0,4]\xi_2 \in [0,4] 使得 ∣f(ξ1)−g(ξ2)∣<1\left|f(\xi_1) - g(\xi_2)\right| < 1 成立，求 aa 的取值范围.

2006 · 湖北 · 理 · 第 21 题 · 解答题

查看答案和解析
22解析几何★★★★★
设 AA、BB 是椭圆 3x2+y2=λ3x^{2} + y^{2} = \lambda 上的两点，点 N(1,3)N(1,3) 是线段 ABAB 的中点，线段 ABAB 的垂直平分线与椭圆相交于 CC、DD 两点.
(1) 确定 λ\lambda 的取值范围，并求直线 ABAB 的方程； (2) 试判断是否存在这样的 λ\lambda，使得 AA、BB、CC、DD 四点在同一个圆上？并说明理由.

2005 · 湖北 · 文 · 第 22 题 · 解答题

查看答案和解析