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155分三角函数★★★☆☆
已知函数 f(x)=cos⁡ωx−1f(x)=\cos\omega x-1（ω>0\omega>0） 在区间 [0,2π][0,2\pi] 上有且仅有 33 个零点，则 ω\omega 的取值范围是______.

2023 · 全国 · 新高考一卷 · 第 15 题 · 填空题

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135分函数与初等函数★★☆☆☆
已知函数 f(x)=x3(a⋅2x−2−x)f(x)=x^3\left( a\cdot 2^x-2^{-x} \right) 是偶函数，则 a=‾a=\underline{\hspace{2em}}.

2021 · 全国 · 新高考一卷 · 第 13 题 · 填空题

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15函数与初等函数★★★★☆
已知函数
f(x)={x3,x⩽ax2,x>a,f(x) = \begin{cases} x^3, & x \leqslant a\\ x^2, & x > a, \end{cases}
若存在实数 bb，使函数 g(x)=f(x)−bg(x) = f(x) - b 有两个零点，则 aa 的取值范围是______.

2015 · 湖南 · 理 · 第 15 题 · 填空题

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14函数与初等函数★★☆☆☆
若函数 f(x)=∣2x−2∣−bf(x) = |2^x - 2| - b 有两个零点，则实数 bb 的取值范围是______.

2015 · 湖南 · 文 · 第 14 题 · 填空题

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14不等式★★☆☆☆
若变量 xx，yy 满足约束条件
{y⩽x,x+y⩽4,y⩾k,\begin{cases} y \leqslant x,\\ x + y \leqslant 4,\\ y \geqslant k, \end{cases}
且 z=2x+yz = 2x + y 的最小值为−6-6，则 k=k =______. \begin{answer} −2-2 \end{answer}
\begin{solution} 由 y⩽xy\leqslant x 及目标函数中 xx 的系数为正，对固定的 yy，使 z=2x+yz=2x+y 取得最小值时应取 x=yx=y. 于是 z⩾3yz\geqslant3y. 约束还给出 y⩾ky\geqslant k，所以在可行域内
z⩾3y⩾3kz\geqslant3y\geqslant3k
取 x=y=kx=y=k 时，第三个约束和第一个约束均满足；只要可行域存在，还需 2k⩽42k\leqslant4，本题所得 kk 满足这一条件. 因而最小值为 3k3k，由 3k=−63k=-6 得 k=−2k=-2. 此时 (x,y)=(−2,−2)(x,y)=(-2,-2) 可行，故结论成立. \end{solution}

2014 · 湖南 · 理 · 第 14 题 · 填空题

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15函数与初等函数★★☆☆☆
若 f(x)=ln⁡(e3x+1)+axf(x) = \ln\left(\mathrm{e}^{3x} + 1\right) + ax 是偶函数，则 a=a =______.

2014 · 湖南 · 文 · 第 15 题 · 填空题

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16函数与初等函数★★★★★
设函数 f(x)=ax+bx−cxf(x) = a^x + b^x - c^x，其中 c>a>0c > a > 0，c>b>0c > b > 0.
(1) 记集合 M={(a,b,c)∣a,b,cM = \{(a, b, c) \mid a, b, c 不能构成一个三角形的三条边长，且 a=b}a = b\}，则 (a,b,c)∈M(a, b, c) \in M 所对应的 f(x)f(x) 的零点的取值集合为______； (2) 若 aa，bb，cc 是 △ABC\triangle ABC 的三条边长，则下列结论正确的是______.（写出所有正确结论的序号）
① ∀x∈(−∞,1)\forall x \in (-\infty, 1)，f(x)>0f(x) > 0； ② ∃x∈R\exists x \in \mathbf{R}，使 axa^{x}，bxb^{x}，cxc^{x} 不能构成一个三角形的三条边长； ③ 若 △ABC\triangle ABC 为钝角三角形，则 ∃x∈(1,2)\exists x \in (1, 2)，使 f(x)=0f(x) = 0.

2013 · 湖南 · 理 · 第 16 题 · 填空题

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14函数与初等函数★★☆☆☆
如果执行如图所示的程序框图，输入 x=−1x=-1，n=3n=3，则输出的数 S=S=______.

2012 · 湖南 · 理 · 第 14 题 · 填空题

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14函数与初等函数★★☆☆☆
如果执行如图所示的程序框图，输入 x=4.5x = 4.5，则输出的数 i=‾i =\underline{\hspace{2em}}.

2012 · 湖南 · 文 · 第 14 题 · 填空题

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12函数与初等函数★☆☆☆☆
已知 f(x)f(x) 为奇函数，g(x)=f(x)+9g(x) = f(x) + 9，g(−2)=3g(-2) = 3，则 f(2)=f(2) =______.

2011 · 湖南 · 文 · 第 12 题 · 填空题

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16函数与初等函数★★★☆☆
给定 k∈N∗k \in \mathbf{N}^*，设函数 f:N∗→N∗f: \mathbf{N}^* \to \mathbf{N}^* 满足：对于任意大于 kk 的正整数 nn，f(n)=n−kf(n) = n - k.
(1) 设 k=1k = 1，则其中一个函数 ff 在 n=1n = 1 处的函数值为______； (2) 设 k=4k = 4，且当 n⩽4n \leqslant 4 时，2⩽f(n)⩽32 \leqslant f(n) \leqslant 3，则不同的函数 ff 的个数为______.

2011 · 湖南 · 文 · 第 16 题 · 填空题

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09函数与初等函数★☆☆☆☆
已知一种材料的最佳加入量在 110 g110 \mathrm{~g} 到 210 g210 \mathrm{~g} 之间. 若用 0.6180.618 法安排实验，则第一次试点的加入量可以是______g\mathrm{g}.

2010 · 湖南 · 理 · 第 9 题 · 填空题

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11函数与初等函数★★☆☆☆
lim⁡x→1x−1x2+3x−4=\lim\limits_{x \to 1} \frac{x - 1}{x^{2} + 3x - 4} =______.

2008 · 湖南 · 理 · 第 11 题 · 填空题

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13函数与初等函数★★☆☆☆
设函数 y=f(x)y = f(x) 存在反函数 y=f−1(x)y = f^{-1}(x)，且函数 y=x−f(x)y = x - f(x) 的图象过点 (1,2)(1,2). 则函数 y=f−1(x)−xy = f^{-1}(x) - x 的图象一定过点______.

2008 · 湖南 · 理 · 第 13 题 · 填空题

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14函数与初等函数★★★☆☆
已知函数 f(x)=3−axa−1f(x) = \frac{\sqrt{3 - ax}}{a - 1}（a≠1a \neq 1）.
(1) 若 a>1a > 1，则 f(x)f(x) 的定义域是______； (2) 若 f(x)f(x) 在区间 (0,1](0,1] 上是减函数，则实数 aa 的取值范围是______.

2008 · 湖南 · 理 · 第 14 题 · 填空题

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15函数与初等函数★★★☆☆
设 [x][x] 表示不超 xx 的最大整数（如 [2]=2[2] = 2，[54]=1\left[\frac{5}{4}\right] = 1）. 对于给定的 n∈N∗n \in \mathbf{N}^*，定义 Cnx=n(n−1)⋯(n−[x]+1)x(x−1)⋯(x−[x]+1)\mathrm C_n^x = \frac{n(n - 1) \cdots (n - [x] + 1)}{x(x - 1) \cdots (x - [x] + 1)}，x∈[1,+∞)x \in [1, +\infty)，则 C832=\mathrm C_8^{\frac{3}{2}} =______；当 x∈[2,3)x \in [2, 3) 时，函数 C8x\mathrm C_8^x 的值域是______.
\begin{solution} 当 x=32x=\frac32 时，[x]=1[x]=1，所以
C832=832=163\mathrm C_8^{\frac32}=\frac8{\frac32}=\frac{16}{3}
当 x∈[2,3)x\in[2,3) 时，[x]=2[x]=2，于是
C8x=8×7x(x−1)=56x(x−1)\mathrm C_8^x=\frac{8\times7}{x(x-1)}=\frac{56}{x(x-1)}
函数 x(x−1)x(x-1) 在 [2,3)[2,3) 上递增，取值范围为 [2,6)[2,6)，因此
C8x∈(566,562]=(283,28]\mathrm C_8^x\in\left(\frac{56}{6},\frac{56}{2}\right] =\left(\frac{28}{3},28\right]
\end{solution}

2008 · 湖南 · 文 · 第 15 题 · 填空题

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14三角函数★★☆☆☆
若 f(x)=asin⁡(x+π4)+bsin⁡(x−π4)f(x) = a \sin \left( x + \frac{\pi}{4} \right) + b \sin \left( x - \frac{\pi}{4} \right)（ab≠0ab \neq 0）是偶函数，则有序实数对 (a,b)(a, b) 可以是______. （写出你认为正确的一组数字即可）

2006 · 湖南 · 理 · 第 14 题 · 填空题

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13不等式★★☆☆☆
已知
{x⩾1,x−y+1⩽0,2x−y−2⩽0\begin{cases} x\geqslant1,\\ x-y+1\leqslant0,\\ 2x-y-2\leqslant0 \end{cases}
，则 x2+y2x^2+y^2 的最小值是______.

2006 · 湖南 · 文 · 第 13 题 · 填空题

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15三角函数★★☆☆☆
若 f(x)=asin⁡(x+π4)+3sin⁡(x−π4)f(x)=a\sin\left(x+\frac{\pi}{4}\right)+3\sin\left(x-\frac{\pi}{4}\right) 是偶函数，则 a=a=______.

2006 · 湖南 · 文 · 第 15 题 · 填空题

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14函数与初等函数★★☆☆☆
设函数 f(x)f(x) 的图象关于点 (1,2)(1,2) 对称，且存在反函数 f−1(x)f^{-1}(x)，f(4)=0f(4) = 0，则 f−1(4)=f^{-1}(4) =______.
\begin{answer} −2-2 \end{answer}
\begin{solution} 图象关于点 (1,2)(1,2) 对称，意味着图象上的点 (x,y)(x,y) 关于该点的对称点 (2−x,4−y)(2-x,4-y) 仍在图象上. 因为 f(4)=0f(4)=0，所以 (4,0)(4,0) 在图象上，其对称点 (−2,4)(-2,4) 也在图象上，即 f(−2)=4f(-2)=4. 由于反函数存在，故 f−1(4)=−2f^{-1}(4)=-2. \end{solution}

2005 · 湖南 · 理 · 第 14 题 · 填空题

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14函数与初等函数★★★☆☆
设函数 f(x)f(x) 的图象关于点 (1,2)(1,2) 对称，且存在反函数 f−1(x)f^{-1}(x)，f(4)=0f(4) = 0，则 f−1(4)=f^{-1}(4) =______.

2005 · 湖南 · 文 · 第 14 题 · 填空题

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16指数函数与对数函数★★★☆☆
若直线 y=2ay = 2a 与函数 y=∣ax−1∣y = |a^{x} - 1|（a>0a > 0，且 a≠1a \neq 1）的图象有两个公共点，则 aa 的取值范围是______.

2004 · 湖南 · 文 · 第 16 题 · 填空题

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