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1917分函数与初等函数★★★★★
已知函数 f(x)f(x) 的定义域为 R\mathbf{R}，且当 x<0x<0 时，f(x)=2xf(x)=2^x. 对任意 x0∈Rx_0\in\mathbf{R}，定义集合 D(x0)={d∈R∣f(x0+d)>f(x0)}D(x_0)=\{d\in\mathbf{R} \mid f(x_0+d)>f(x_0)\}.
(1) 若当 x≥0x\ge 0 时，f(x)=1−xf(x)=1-x，求 D(−1)D(-1)； (2) 若 f(x)f(x) 是奇函数，f(x1)≤f(x2)f(x_1)\le f(x_2)，且 x1x2≠0x_1x_2\ne 0，证明：D(x2)⊆D(x1)D(x_2)\subseteq D(x_1)； (3) 设 f(x)f(x) 满足：① 若 f(x1)≤f(x2)f(x_1)\le f(x_2)，则 D(x2)⊆D(x1)D(x_2)\subseteq D(x_1)；② 当 0<x<10<x<1 时，f(x)<f(0)f(x)<f(0).
(i) 证明：f(0)≥1f(0)\ge 1； (ii) 证明：f(x)f(x) 在区间 (0,+∞)(0,+\infty) 单调递增．

2026 · 全国 · 一卷 · 第 19 题 · 解答题

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1817分导数及其应用★★★★★
已知函数 f(x)=ln⁡x2−x+ax+b(x−1)3f(x)=\ln\frac{x}{2-x}+ax+b(x-1)^3（x∈(0,2)x\in(0,2)）.
(1) 若 b=0b=0 且 f′(x)≥0f'(x)\ge0，求 aa 的最小值； (2) 证明：曲线 y=f(x)y=f(x) 关于点 (1,a)(1,a) 中心对称； (3) 若 f(x)>−2f(x)>-2 当且仅当 1<x<21<x<2，求 bb 的取值范围.

2024 · 全国 · 新高考一卷 · 第 18 题 · 解答题

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2215分导数及其应用★★★★★
已知函数 f(x)=ex−axf(x)=\mathrm{e}^x-ax，g(x)=ax−ln⁡xg(x)=ax-\ln x 有相同的最小值.
(1) 求 aa； (2) 证明：存在直线 y=by=b，其与两条曲线 y=f(x)y=f(x) 和 y=g(x)y=g(x) 共有三个不同的交点，并且从左到右的三个交点的横坐标成等差数列.

2022 · 全国 · 新高考一卷 · 第 22 题 · 解答题

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23不等式★★★☆☆
已知函数 f(x)=∣3x+1∣−2∣x−1∣f(x)=\left\lvert 3x+1 \right\rvert-2\left\lvert x-1 \right\rvert.
(1) 画出 y=f(x)y=f(x) 的图象； (2) 求不等式 f(x)>f(x+1)f(x)>f(x+1) 的解集.

2020 · 全国 · 一卷 · 理 · 第 23 题 · 解答题

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20导数及其应用★★★★☆
已知函数 f(x)=ex−a(x+2)f(x)=\mathrm{e}^x-a(x+2).
(1) 当 a=1a=1 时，讨论 f(x)f(x) 的单调性； (2) 若 f(x)f(x) 有两个零点，求 aa 的取值范围.

2020 · 全国 · 一卷 · 文 · 第 20 题 · 解答题

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23不等式★★★☆☆
已知函数 f(x)=∣3x+1∣−2∣x−1∣f(x)=\lvert 3x+1\rvert-2\lvert x-1\rvert.
(1) 画出 y=f(x)y=f(x) 的图象； (2) 求不等式 f(x)>f(x+1)f(x)>f(x+1) 的解集.

2020 · 全国 · 一卷 · 文 · 第 23 题 · 解答题

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20导数及其应用★★★★★
已知函数 f(x)=sin⁡x−ln⁡(1+x)f(x)=\sin x-\ln(1+x)，且 f′(x)f'(x) 为 f(x)f(x) 的导数. 证明：
(1) f′(x)f'(x) 在区间 (−1,π2)\left(-1,\dfrac{\pi}{2}\right) 存在唯一极大值点； (2) f(x)f(x) 有且仅有 22 个零点.

2019 · 全国 · 一卷 · 理 · 第 20 题 · 解答题

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20导数及其应用★★★★☆
已知函数 f(x)=2sin⁡x−xcos⁡x−xf(x)=2\sin x-x\cos x-x，f′(x)f'(x) 为 f(x)f(x) 的导数.
(1) 证明：f′(x)f'(x) 在区间 (0,π)(0,\pi) 存在唯一零点； (2) 若 x∈[0,π]x\in [0,\pi] 时，f(x)≥axf(x)\ge ax，求 aa 的取值范围.

2019 · 全国 · 一卷 · 文 · 第 20 题 · 解答题

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19解析几何★★★★☆
设椭圆 C:x22+y2=1C:\frac{x^2}{2}+y^2=1 的右焦点为 FF，过 FF 的直线 ll 与 CC 交于 AA，BB 两点，点 MM 的坐标为 (2,0)(2,0).
(1) 当 ll 与 xx 轴垂直时，求直线 AMAM 的方程； (2) 设 OO 为坐标原点，证明：∠OMA=∠OMB\angle OMA=\angle OMB.

2018 · 全国 · 一卷 · 理 · 第 19 题 · 解答题

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22解析几何★★★★☆
在直角坐标系 xOyxOy 中，曲线 C1C_1 的方程为 y=k∣x∣+2y=k\lvert x\rvert+2. 以坐标原点为极点，xx 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C2C_2 的极坐标方程为 ρ2+2ρcos⁡θ−3=0\rho^2+2\rho\cos\theta-3=0.
(1) 求 C2C_2 的直角坐标方程； (2) 若 C1C_1 与 C2C_2 有且仅有三个公共点，求 C1C_1 的方程.

2018 · 全国 · 一卷 · 理 · 第 22 题 · 解答题

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21导数及其应用★★★★★
已知函数 f(x)=xcos⁡x−sin⁡x+1f(x) = x \cos x - \sin x + 1（x>0x > 0）.
(1) 求 f(x)f(x) 的单调区间； (2) 记 xix_{i} 为 f(x)f(x) 的从小到大的第 ii（i∈N∗i \in \mathbf{N}^{*}）个零点，证明：对一切 n∈N∗n \in \mathbf{N}^{*}，有 1x12+1x22+⋯+1xn2<23\frac{1}{x_1^2} + \frac{1}{x_2^2} + \cdots + \frac{1}{x_n^2} < \frac{2}{3}.

2014 · 湖南 · 文 · 第 21 题 · 解答题

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20导数及其应用★★★★☆
某企业接到生产 30003000 台某产品的 AA，BB，CC 三种部件的订单，每台产品需要这三种部件的数量分别为 22，22，11（单位：件）. 已知每个工人每天可生产 AA 部件 66 件，或 BB 部件 33 件，或 CC 部件 22 件. 该企业计划安排 200200 名工人分成三组分别生产这三种部件，生产 BB 部件的人数与生产 AA 部件的人数成正比，比例系数为 kk（kk 为正整数）.
(1) 设生产 AA 部件的人数为 xx，分别写出完成 AA，BB，CC 三种部件生产需要的时间； (2) 假设这三种部件的生产同时开工，试确定正整数 kk 的值，使完成订单任务的时间最短，并给出时间最短时具体的人数分组方案.
\begin{solution} \begin{enumerate} \item 生产三种部件分别需要 TA(x)=3000⋅26x=1000xT_A(x)=\frac{3000\cdot2}{6x}=\frac{1000}{x}，TB(x)=3000⋅23kx=2000kxT_B(x)=\frac{3000\cdot2}{3kx}=\frac{2000}{kx}
TC(x)=30002[200−(1+k)x]=1500200−(1+k)xT_C(x)=\frac{3000}{2[200-(1+k)x]} =\frac{1500}{200-(1+k)x}
其中 x∈N∗x\in\mathbf N^*，且 (1+k)x<200(1+k)x<200.
\item 完成订单所需时间为
T=max⁡{TA(x),TB(x),TC(x)}T=\max\{T_A(x),T_B(x),T_C(x)\}
先考察 k=1k=1. 当 x⩽72x\leqslant72 时，
T⩾TB(x)=2000x⩾200072=2509T\geqslant T_B(x)=\frac{2000}{x}\geqslant\frac{2000}{72}=\frac{250}{9}
当 x⩾73x\geqslant73 时，200−2x⩽54200-2x\leqslant54，故
T⩾TC(x)=1500200−2x⩾150054=2509T\geqslant T_C(x)=\frac{1500}{200-2x}\geqslant\frac{1500}{54}=\frac{250}{9}
当 k=2k=2 时， TA(x)=TB(x)=1000xT_A(x)=T_B(x)=\frac{1000}{x}，TC(x)=1500200−3xT_C(x)=\frac{1500}{200-3x}，x⩽66x\leqslant66. 若 x⩽44x\leqslant44，则
T⩾1000x⩾100044=25011T\geqslant\frac{1000}{x}\geqslant\frac{1000}{44}=\frac{250}{11}
取 x=44x=44 时， TA=TB=25011T_A=T_B=\frac{250}{11}，TC=150068=37517<25011T_C=\frac{1500}{68}=\frac{375}{17}<\frac{250}{11}. 若 x⩾45x\geqslant45，则
T⩾TC(x)⩾1500200−3⋅45=30013>25011T\geqslant T_C(x)\geqslant\frac{1500}{200-3\cdot45} =\frac{300}{13}>\frac{250}{11}
所以 k=2k=2 时最小时间为 25011\frac{250}{11}，人数分组为 x=44x=44，kx=88kx=88，200−(1+k)x=68200-(1+k)x=68.
最后考察 k⩾3k\geqslant3. 此时 TB(x)⩽TA(x)T_B(x)\leqslant T_A(x)，且可行的 xx 范围包含在 k=3k=3 的可行范围内，而 TC(x)T_C(x) 随 kk 增大而不减. 对 k=3k=3，若 x⩽36x\leqslant36，则
T⩾TA(x)⩾100036=2509T\geqslant T_A(x)\geqslant\frac{1000}{36}=\frac{250}{9}
若 x⩾37x\geqslant37，则
T⩾TC(x)⩾1500200−4⋅37=37513>2509T\geqslant T_C(x)\geqslant\frac{1500}{200-4\cdot37} =\frac{375}{13}>\frac{250}{9}
因此所有 k⩾3k\geqslant3 都有 T⩾2509>25011T\geqslant\frac{250}{9}>\frac{250}{11}. 综上，最优值为 k=2k=2，最短时间为 25011\frac{250}{11} 天，方案为 AA，BB，CC 三组分别 4444，8888，6868 人. \end{enumerate} \end{solution}

2012 · 湖南 · 理 · 第 20 题 · 解答题

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21解析几何★★★★☆
在直角坐标系 xOyxOy 中，曲线 C1C_1 上的点均在圆 C2:(x−5)2+y2=9C_2:(x-5)^2+y^2=9 外，且对 C1C_1 上任意一点 MM，MM 到直线 x=−2x=-2 的距离等于该点与圆 C2C_2 上点的距离的最小值.
(1) 求曲线 C1C_1 的方程； (2) 设 P(x0,y0)P(x_0,y_0)（y0≠±3y_0\neq\pm3）为圆 C2C_2 外一点，过 PP 作圆 C2C_2 的两条切线，分别与曲线 C1C_1 相交于点 AA，BB 和 CC，DD. 证明：当 PP 在直线 x=−4x=-4 上运动时，四点 AA，BB，CC，DD 的纵坐标之积为定值.
\begin{solution} \begin{enumerate} \item 设 M(x,y)M(x,y) 为 C1C_1 上一点. 因为 MM 在圆 C2C_2 外，MM 到圆上点的最小距离等于 MM 到圆心 O(5,0)O(5,0) 的距离减去半径 33，即
(x−5)2+y2−3\sqrt{(x-5)^2+y^2}-3
题设给出
∣x+2∣=(x−5)2+y2−3|x+2|=\sqrt{(x-5)^2+y^2}-3
若 x⩽−2x\leqslant-2，则 ∣x+2∣=−x−2|x+2|=-x-2，从而
(x−5)2+y2=1−x\sqrt{(x-5)^2+y^2}=1-x
平方得 (x−5)2+y2=(1−x)2(x-5)^2+y^2=(1-x)^2，y2=8x−24<0y^2=8x-24<0 矛盾. 因此 x>−2x>-2，于是 ∣x+2∣=x+2|x+2|=x+2，有
(x−5)2+y2=x+5\sqrt{(x-5)^2+y^2}=x+5
平方整理得 (x−5)2+y2=(x+5)2(x-5)^2+y^2=(x+5)^2，y2=20xy^2=20x. 反之，曲线 y2=20xy^2=20x 上的点满足 x⩾0x\geqslant0，代回等式可验证确在圆外且满足距离条件. 故
C1:y2=20xC_1:y^2=20x
\item 设 P=(−4,y0)P=(-4,y_0)，其中 y0≠±3y_0\neq\pm3. 直线 x=−4x=-4 到圆心的距离为 99，不可能是切线；水平直线 y=y0y=y_0 只有在 y0=±3y_0=\pm3 时才与圆相切，也已被题设排除. 因此两条切线的斜率均为有限非零数，过 PP 的这类直线可写成
y−y0=k(x+4)y-y_0=k(x+4)
将 x=y−y0k−4x=\frac{y-y_0}{k}-4 代入 y2=20xy^2=20x，得
ky2−20y+20y0+80k=0ky^2-20y+20y_0+80k=0
因此该直线与抛物线交点的两个纵坐标之积为
20(y0+4k)k\frac{20(y_0+4k)}{k}
设两条切线的斜率为 k1k_1，k2k_2. 切线与圆
(x−5)2+y2=9(x-5)^2+y^2=9
相切的条件是圆心到直线
kx−y+4k+y0=0kx-y+4k+y_0=0
的距离等于 33，即
∣9k+y0∣k2+1=3\frac{|9k+y_0|}{\sqrt{k^2+1}}=3
平方整理为
72k2+18y0k+y02−9=072k^2+18y_0k+y_0^2-9=0
故 k1+k2=−y04k_1+k_2=-\frac{y_0}{4}，k1k2=y02−972k_1k_2=\frac{y_0^2-9}{72}. 四个交点纵坐标的乘积为
20(y0+4k1)k1⋅20(y0+4k2)k2=400y02+4y0(k1+k2)+16k1k2k1k2\frac{20(y_0+4k_1)}{k_1}\cdot \frac{20(y_0+4k_2)}{k_2} =400\frac{y_0^2+4y_0(k_1+k_2)+16k_1k_2}{k_1k_2}
代入 k1+k2k_1+k_2 与 k1k2k_1k_2，得
4001672(y02−9)y02−972=6400400\frac{\frac{16}{72}(y_0^2-9)} {\frac{y_0^2-9}{72}} =6400
所以该乘积为定值 64006400. \end{enumerate} \end{solution}

2012 · 湖南 · 理 · 第 21 题 · 解答题

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20函数与初等函数★★★★☆
如图，长方体物体 EE 在雨中沿面 PP（面积为 SS）的垂直方向作匀速移动，速度为 vv（v>0v > 0），雨速沿 EE 移动方向的分速度为 cc（c∈Rc \in \mathbf{R}）. EE 移动时单位时间内的淋雨量包括两部分：
① PP 或 PP 的平行面 （只有一个面淋雨） 的淋雨量，假设其值与 ∣v−c∣×S|v - c| \times S 成正比，比例系数为 110\frac{1}{10}； ② 其它面的淋雨量之和，其值为 12\frac{1}{2}；
记 yy 为 EE 移动过程中的总淋雨量，当移动距离 d=100d = 100，面积 S=32S = \frac{3}{2} 时.
(1) 写出 yy 的表达式； (2) 设 0<v⩽100 < v \leqslant 10，0<c⩽50 < c \leqslant 5，试根据 cc 的不同取值范围，确定移动速度 vv，使 yy 最少.

2011 · 湖南 · 理 · 第 20 题 · 解答题

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22函数与初等函数★★★★★
已知函数 f(x)=x3f(x) = x^3，g(x)=x+xg(x) = x + \sqrt{x}.
(1) 求函数 h(x)=f(x)−g(x)h(x) = f(x) - g(x) 的零点个数，并说明理由； (2) 设数列 {an}\{a_{n}\}（n∈N∗n \in \mathbf{N}^{*}）满足 a1=aa_{1} = a（a>0a > 0），f(an+1)=g(an)f(a_{n+1}) = g(a_{n})，证明：存在常数 MM，使得对于任意的 n∈N∗n \in \mathbf{N}^{*}，都有 an⩽Ma_{n} \leqslant M.

2011 · 湖南 · 理 · 第 22 题 · 解答题

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22导数及其应用★★★★★
设函数 f(x)=x−1x−aln⁡xf(x) = x - \frac{1}{x} - a \ln x（a∈Ra \in \mathbf{R}）.
(1) 讨论函数 f(x)f(x) 的单调性. (2) 若 f(x)f(x) 有两个极值点 x1x_{1} 和 x2x_{2}，记过点 A(x1,f(x1))A(x_{1}, f(x_{1}))，B(x2,f(x2))B(x_{2}, f(x_{2})) 的直线斜率为 kk. 问：是否存在 aa，使得 k=2−ak = 2 - a？若存在，求出 aa 的值；若不存在，请说明理由.

2011 · 湖南 · 文 · 第 22 题 · 解答题

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20不等式★★★★★
已知函数 f(x)=x2+bx+cf(x) = x^2 + bx + c （bb，c∈Rc \in \mathbf{R}），对任意的 x∈Rx \in \mathbf{R}，恒有 f′(x)⩽f(x)f'(x) \leqslant f(x).
(1) 证明：当 x⩾0x \geqslant 0 时，f(x)⩽(x+c)2f(x) \leqslant (x + c)^2； (2) 若对满足题设条件的任意 bb，cc，不等式 f(c)−f(b)⩽M(c2−b2)f(c) - f(b) \leqslant M (c^2 - b^2) 恒成立，求 MM 的最小值.
\begin{solution} \begin{enumerate} \item 由题设，f′(x)=2x+bf'(x)=2x+b，所以对任意 x∈Rx\in\mathbf{R}，有
f(x)−f′(x)=x2+(b−2)x+c−b⩾0f(x)-f'(x)=x^2+(b-2)x+c-b\geqslant0
这是关于 xx 的二次函数，故其判别式不大于 00，即
(b−2)2−4(c−b)⩽0(b-2)^2-4(c-b)\leqslant0
整理得 c⩾b24+1c\geqslant\frac{b^2}{4}+1. 当 x⩾0x\geqslant0 时，由 c⩾1c\geqslant1 以及
2c−b⩾b22−b+2=12(b−1)2+32>02c-b\geqslant\frac{b^2}{2}-b+2=\frac{1}{2}(b-1)^2+\frac{3}{2}>0
可得
(x+c)2−f(x)=(2c−b)x+c(c−1)⩾0(x+c)^2-f(x)=(2c-b)x+c(c-1)\geqslant0
因此 f(x)⩽(x+c)2f(x)\leqslant(x+c)^2. \item 直接计算得
f(c)−f(b)=c2+bc−2b2f(c)-f(b)=c^2+bc-2b^2
取 M=32M=\frac{3}{2}，则
32(c2−b2)−(f(c)−f(b))=12(c−b)2⩾0\frac{3}{2}(c^2-b^2)-\bigl(f(c)-f(b)\bigr)=\frac{1}{2}(c-b)^2\geqslant0
所以 M=32M=\frac{3}{2} 时不等式对所有满足题设条件的 bb，cc 恒成立.
再取 b=2b=2，c=2+εc=2+\varepsilon，其中 ε>0\varepsilon>0. 此时 c⩾b24+1c\geqslant\frac{b^2}{4}+1，且 f(c)−f(b)c2−b2=c+4c+2=6+ε4+ε⟶32\frac{f(c)-f(b)}{c^2-b^2}=\frac{c+4}{c+2}=\frac{6+\varepsilon}{4+\varepsilon}\longrightarrow\frac{3}{2}，(ε→0+)\left(\varepsilon\to0^+\right). 因此任何小于 32\frac{3}{2} 的数都不能使题设不等式恒成立，故 MM 的最小值为 32\frac{3}{2}. \end{enumerate} \end{solution}

2010 · 湖南 · 理 · 第 20 题 · 解答题

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21导数及其应用★★★★★
已知函数 f(x)=ax+x+(a−1)ln⁡x+15af(x) = \frac{a}{x} + x + (a - 1)\ln x + 15a，其中 a<0a < 0，且 a≠−1a \neq -1.
(1) 讨论函数 f(x)f(x) 的单调性； (2) 设函数
g(x)={(−2x3+3ax2+6ax−4a2−6a)ex,x⩽1,e⋅f(x),x>1,g(x) = \begin{cases} (-2x^3 + 3ax^2 + 6ax - 4a^2 - 6a)\mathrm{e}^x, & x \leqslant 1,\\ \mathrm{e} \cdot f(x), & x > 1, \end{cases}
（e\mathrm{e} 是自然数的底数）. 是否存在 aa，使 g(x)g(x) 在 [a,−a][a, -a] 上为减函数？若存在，求 aa 的取值范围；若不存在，请说明理由.

2010 · 湖南 · 文 · 第 21 题 · 解答题

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20解析几何★★★★☆
已知椭圆 CC 的中心在原点，焦点在 xx 轴上，以两个焦点和短轴的两个端点为顶点的四边形是一个面积为 8 的正方形 （记为 QQ）.
(1) 求椭圆 CC 的方程； (2) 设点 PP 是椭圆 CC 的左准线与 xx 轴的交点，过点 PP 的直线 ll 与椭圆 CC 相交于 MM，NN 两点. 当线段 MNMN 的中点落在正方形 QQ 内 （包括边界） 时，求直线 ll 的斜率的取值范围.

2009 · 湖南 · 文 · 第 20 题 · 解答题

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20解析几何★★★★★
若 AA，BB 是抛物线 y2=4xy^{2} = 4x 上的不同两点，弦 ABAB（不平行于 yy 轴）的垂直平分线与 xx 轴相交于点 PP，则称弦 ABAB 是点 PP 的一条“相关弦”. 已知当 x>2x > 2 时，点 P(x,0)P(x, 0) 存在无穷多条“相关弦”. 给定 x0>2x_0 > 2.
(1) 证明：点 P(x0,0)P(x_0, 0) 的所有“相关弦”的中点的横坐标相同； (2) 试问：点 P(x0,0)P(x_0, 0) 的“相关弦”的弦长中是否存在最大值？若存在，求其最大值（用 x0x_0 表示）；若不存在，请说明理由.

2008 · 湖南 · 理 · 第 20 题 · 解答题

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21数列★★★★★
已知 An(an,bn)A_{n}(a_{n}, b_{n})（n∈N∗n \in \mathbf{N}^{*}）是曲线 y=exy = \mathrm{e}^{x} 上的点，a1=aa_{1} = a，SnS_{n} 是数列 {an}\{a_{n}\} 的前 nn 项和，且满足 Sn2=3n2an+Sn−12S_{n}^{2} = 3n^{2}a_{n} + S_{n-1}^{2}，an≠0a_{n} \neq 0，n=2n = 2，33，44，⋯\cdots.
(1) 证明：数列 {bn+2bn}\left\{\frac{b_{n+2}}{b_n}\right\}（n⩾2n \geqslant 2）是常数数列； (2) 确定 aa 的取值集合 MM，使 a∈Ma \in M 时，数列 {an}\{a_n\} 是单调递增数列； (3) 证明：当 a∈Ma \in M 时，弦 AnAn+1A_{n} A_{n+1}（n∈N∗n \in \mathbf{N}^{*}）的斜率随 nn 单调递增.

2007 · 湖南 · 理 · 第 21 题 · 解答题

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19导数及其应用★★★★☆
设 t≠0t \neq 0，点 P(t,0)P(t,0) 是函数 f(x)=x3+axf(x) = x^3 + ax 与 g(x)=bx2+cg(x) = bx^2 + c 的图象的一个公共点，两函数的图象在点 PP 处有相同的切线.
(1) 用 tt 表示 aa，bb，cc； (2) 若函数 y=f(x)−g(x)y = f(x) - g(x) 在 (−1,3)(-1, 3) 上单调递减，求 tt 的取值范围.
\begin{solution} \begin{enumerate} \item 记 h(x)=f(x)−g(x)h(x)=f(x)-g(x). 因为 P(t,0)P(t,0) 在两条曲线上，所以 t3+at=0t^3+at=0，bt2+c=0bt^2+c=0. 又因为两条曲线在 PP 处有相同的切线，所以切线斜率相等，即 f′(t)=g′(t)f'(t)=g'(t)，3t2+a=2bt3t^2+a=2bt. 由 t≠0t\neq0，第一式给出 a=−t2a=-t^2. 将其代入斜率关系，得 2t2=2bt2t^2=2bt，所以 b=tb=t. 再由 bt2+c=0bt^2+c=0，得 c=−t3c=-t^3. 因此 a=−t2a=-t^2，b=tb=t，c=−t3c=-t^3.
\item 代入所得参数，
h(x)=x3−tx2−t2x+t3=(x−t)2(x+t)h(x)=x^3-tx^2-t^2x+t^3=(x-t)^2(x+t)
从而
h′(x)=3x2−2tx−t2=(3x+t)(x−t)h'(x)=3x^2-2tx-t^2=(3x+t)(x-t)
函数 h(x)h(x) 在 (−1,3)(-1,3) 上单调递减，要求 h′(x)⩽0h'(x)\leqslant0 在该区间上成立. 因为 h′(x)h'(x) 是开口向上的二次函数，所以区间 (−1,3)(-1,3) 必须位于两个零点之间.
当 t>0t>0 时，两个零点为 −t3-\frac{t}{3} 和 tt，且 −t3<t-\frac{t}{3}<t. 要使 (−1,3)(-1,3) 位于两根之间，需 −t3⩽−1-\frac{t}{3}\leqslant-1，t⩾3t\geqslant3 这等价于 t⩾3t\geqslant3.
当 t<0t<0 时，两个零点为 tt 和 −t3-\frac{t}{3}，且 t<−t3t<-\frac{t}{3}. 此时需 t⩽−1t\leqslant-1，−t3⩾3-\frac{t}{3}\geqslant3 这等价于 t⩽−9t\leqslant-9.
当 t=3t=3 或 t=−9t=-9 时，导数为零的点分别是区间端点，开区间 (−1,3)(-1,3) 内仍有 h′(x)<0h'(x)<0. 故 tt 的取值范围为
(−∞,−9]∪[3,+∞)(-\infty,-9]\cup[3,+\infty)
\end{enumerate} \end{solution}

2005 · 湖南 · 文 · 第 19 题 · 解答题

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