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155分三角函数★★★☆☆
已知函数 f(x)=cos⁡ωx−1f(x)=\cos\omega x-1（ω>0\omega>0） 在区间 [0,2π][0,2\pi] 上有且仅有 33 个零点，则 ω\omega 的取值范围是______.

2023 · 全国 · 新高考一卷 · 第 15 题 · 填空题

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135分函数与初等函数★★☆☆☆
已知函数 f(x)=x3(a⋅2x−2−x)f(x)=x^3\left( a\cdot 2^x-2^{-x} \right) 是偶函数，则 a=‾a=\underline{\hspace{2em}}.

2021 · 全国 · 新高考一卷 · 第 13 题 · 填空题

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14函数与初等函数★★★☆☆
若函数
f(x)={−x+6,x⩽2,3+log⁡ax,x>2,f(x) = \begin{cases} -x + 6, & x \leqslant 2,\\ 3 + \log_a x, & x > 2, \end{cases}
（a>0a > 0，且 a≠1a \neq 1）的值域是 [4,+∞)[4, +\infty)，则实数 aa 的取值范围是______.

2015 · 福建 · 理 · 第 14 题 · 填空题

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15函数与初等函数★★★☆☆
若函数 f(x)=2∣x−a∣f(x) = 2^{|x-a|}（a∈Ra \in \mathbf{R}） 满足 f(1+x)=f(1−x)f(1 + x) = f(1 - x)，且 f(x)f(x) 在 [m,+∞)[m, +\infty) 上单调递增，则实数 mm 的最小值等于______.

2015 · 福建 · 文 · 第 15 题 · 填空题

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16函数与初等函数★★★★☆
若 aa，bb 是函数 f(x)=x2−px+qf(x) = x^2 - px + q （p>0p > 0，q>0q > 0）的两个不同的零点，且 aa，bb，−2-2 这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则 p+qp + q 的值等于______.

2015 · 福建 · 文 · 第 16 题 · 填空题

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15函数与初等函数★★★☆☆
函数
f(x)={x2−2,x⩽0,2x−6+ln⁡x,x>0,f(x) = \begin{cases} x^2 - 2, & x \leqslant 0,\\ 2x - 6 + \ln x, & x > 0, \end{cases}
的零点个数是______.
\begin{answer} 2 \end{answer}
\begin{solution} 当 x⩽0x\leqslant0 时，f(x)=x2−2f(x)=x^2-2，由 x2−2=0x^2-2=0 得 x=±2x=\pm\sqrt2，其中只有 x=−2x=-\sqrt2 满足定义域，所以这一段有 11 个零点.
当 x>0x>0 时，令 g(x)=2x−6+ln⁡xg(x)=2x-6+\ln x，则 g′(x)=2+1x>0g'(x)=2+\frac1x>0，所以 gg 在 (0,+∞)(0,+\infty) 上严格递增. 又 lim⁡x→0+g(x)=−∞\displaystyle\lim_{x\to0^+}g(x)=-\infty，且 g(3)=ln⁡3>0g(3)=\ln3>0，故由零点存在性定理，gg 在 (0,+∞)(0,+\infty) 上恰有一个零点. 因此 f(x)f(x) 共有 22 个零点. \end{solution}

2014 · 福建 · 文 · 第 15 题 · 填空题

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13函数与初等函数★☆☆☆☆
已知函数
f(x)={2x3,x<0,−tan⁡x,0⩽x<π2,f(x) = \begin{cases} 2x^{3}, & x < 0,\\ -\tan x, & 0 \leqslant x < \frac{\pi}{2}, \end{cases}
则 f(f(π4))=‾f\left(f\left(\frac{\pi}{4}\right)\right)=\underline{\hspace{2em}}.
\begin{answer} −2-2 \end{answer}
\begin{solution} 因为 0⩽π4<π20\leqslant\frac\pi4<\frac\pi2，所以
f(π4)=−tan⁡π4=−1f\left(\frac\pi4\right)=-\tan\frac\pi4=-1
又因为 −1<0-1<0，应使用分段函数的第一段，故
f(f(π4))=f(−1)=2(−1)3=−2f\left(f\left(\frac\pi4\right)\right)=f(-1)=2(-1)^3=-2
\end{solution}

2013 · 福建 · 文 · 第 13 题 · 填空题

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16函数与初等函数★★★★☆
设 SS，TT 是 R\mathbf{R} 的两个非空子集. 如果存在一个从 SS 到 TT 的函数 y=f(x)y = f(x) 满足：
① T={f(x)∣x∈S}T = \{f(x)\mid x\in S\}； ② 对任意 x1x_{1}，x2∈Sx_{2} \in S，当 x1<x2x_{1} < x_{2} 时，恒有 f(x1)<f(x2)f(x_{1}) < f(x_{2})，
那么称这两个集合“保序同构”. 现给出以下 3 对集合：
① A=NA = \mathbf{N}，B=N∗;B = \mathbf{N}^{*}; ② A={x∣−1⩽x⩽3}A = \{x\mid -1\leqslant x\leqslant 3\}，B={x∣−8⩽x⩽10}B = \{x\mid -8\leqslant x\leqslant 10\}； ③ A={x∣0<x<1}A = \{x \mid 0 < x < 1\}，B=RB = \mathbf{R}.
其中，“保序同构”的集合对的序号是______. （写出所有“保序同构”的集合对的序号）
\begin{answer} \circled1\circled2\circled3\circled{1}\circled{2}\circled{3} \end{answer}
\begin{solution} 对第\circled1\circled{1}对集合，按 N={0,1,2,…}\mathbf{N}=\{0,1,2,\ldots\}、N∗={1,2,3,…}\mathbf{N}^{*}=\{1,2,3,\ldots\} 取 f(x)=x+1f(x)=x+1. 该函数严格递增，且值域为 N∗\mathbf{N}^{*}，所以第\circled1\circled{1}对保序同构.
对第\circled2\circled{2}对集合，取
f(x)=92(x+1)−8=92x−72f(x)=\frac92(x+1)-8=\frac92x-\frac72
它把 [−1,3][-1,3] 的两个端点分别映为 −8,10-8,10，并且斜率为正，所以严格递增且值域为 [−8,10][-8,10]，第\circled2\circled{2}对保序同构.
对第\circled3\circled{3}对集合，取 f(x)=tan⁡(πx−π2)f(x)=\tan\left(\pi x-\frac\pi2\right)，0<x<10<x<1. 该函数在 (0,1)(0,1) 上严格递增，且当 x→0+x\to0^+ 时 f(x)→−∞f(x)\to-\infty，当 x→1−x\to1^- 时 f(x)→+∞f(x)\to+\infty，值域为 R\mathbf{R}，所以第\circled3\circled{3}对也保序同构. 因此应填 \circled1\circled2\circled3\circled{1}\circled{2}\circled{3}. \end{solution}

2013 · 福建 · 文 · 第 16 题 · 填空题

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15函数与初等函数★★★★☆
对于实数 aa 和 bb，定义运算“∗\ast”：
a∗b={a2−ab,a⩽b,b2−ab,a>b.a \ast b = \begin{cases} a^{2} - ab, & a \leqslant b,\\ b^{2} - ab, & a > b. \end{cases}
设 f(x)=(2x−1)∗(x−1)f(x) = (2x - 1) \ast (x - 1)，且关于 xx 的方程 f(x)=mf(x) = m （m∈Rm \in \mathbf{R}）恰有三个互不相等的实数根 x1x_{1}，x2x_{2}，x3x_{3}，则 x1x2x3x_{1}x_{2}x_{3} 的取值范围是______.

2012 · 福建 · 理 · 第 15 题 · 填空题

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15函数与初等函数★★★★☆
已知定义域为 (0,+∞)(0, +\infty) 的函数 f(x)f(x) 满足：
(1) 对任意 x∈(0,+∞)x \in (0, +\infty)，恒有 f(2x)=2f(x)f(2x) = 2f(x) 成立； (2) 当 x∈(1,2]x \in (1, 2] 时，f(x)=2−xf(x) = 2 - x.
给出结论如下：
① 对任意 m∈Zm \in \mathbf{Z}，有 f(2m)=0f(2^{m}) = 0； ② 函数 f(x)f(x) 的值域为 [0,+∞)[0, +\infty)； ③ 存在 n∈Zn \in \mathbf{Z}，使得 f(2n+1)=9f(2^{n+1}) = 9； ④ “函数 f(x)f(x) 在区间 (a,b)(a, b) 上单调递减”的充要条件是“存在 k∈Zk \in \mathbf{Z}，使得 (a,b)⊆(2k,2k+1)(a, b) \subseteq (2^{k}, 2^{k+1})”.
其中所有正确结论的序号是______.

2010 · 福建 · 理 · 第 15 题 · 填空题

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15数列★★★★☆
五位同学围成一圈依序循环报数，规定：
① 第一位同学首次报出的数为 11，第二位同学首次报出的数也为 11，之后每位同学所报出的数都是前两位同学所报出的数之和； ② 若报出的数为 33 的倍数，则报该数的同学需拍手一次.
已知甲同学第一个报数，当五位同学依序循环报到第100100个数时，甲同学拍手的总次数为______.
\begin{solution} 记第nn个报出的数为FnF_n，则F1=F2=1F_1=F_2=1，且Fn=Fn−1+Fn−2F_n=F_{n-1}+F_{n-2}.模33计算得到 F1F_1，F2F_2，…\ldots，F8≡1F_8\equiv1，11，22，00，22，22，11，0(mod3)0\pmod{3} 又 F9≡F1F_9\equiv F_1，F10≡F2(mod3)F_{10}\equiv F_2\pmod{3}，递推关系相同，所以之后以88为周期.因此FnF_n是33的倍数当且仅当n≡0n\equiv0或4(mod8)4\pmod{8}.
甲同学第一次报第11个数，五人循环，所以甲报数的序号为n=1+5kn=1+5k.报到第100100个数时0⩽k⩽190\leqslant k\leqslant19.条件 1+5k≡01+5k\equiv0或4(mod8)4\pmod{8}分别给出k≡3k\equiv3或7(mod8)7\pmod{8}.在0⩽k⩽190\leqslant k\leqslant19中，这些kk为33，77，1111，1515，1919，共55个.因此甲同学拍手55次. \end{solution}

2009 · 福建 · 理 · 第 15 题 · 填空题

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16指数函数与对数函数★★☆☆☆
把下面不完整的命题补充完整，并使之成为真命题：若函数 f(x)=3+log⁡2xf(x)=3+\log_{2}x 的图象与 g(x)g(x) 的图象关于______ 对称，则函数 g(x)=‾g(x)=\underline{\hspace{2em}}. 注：填上你认为可以成为真命题的一件情形即可，不必考虑所有可能的情形.

2005 · 福建 · 文 · 第 16 题 · 填空题

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14函数与初等函数★★☆☆☆
设函数
f(x)={1+x−1x,x≠0,a,x=0,f(x)=\begin{cases} \frac{\sqrt{1+x}-1}{x}, & x\neq 0,\\ a, & x=0, \end{cases}
在 x=0x=0 处连续，则实数 aa 的值为______.

2004 · 福建 · 理 · 第 14 题 · 填空题

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14函数与初等函数★★☆☆☆
设函数
f(x) = \begin{cases} \frac{1}{2}x - 1, &
（x⩾0x \geqslant 0）,\\ \frac{1}{x}, &（x<0x < 0）. \end{cases} 若 f(a)>af(a) > a，则实数 aa 的取值范围是______.

2004 · 福建 · 文 · 第 14 题 · 填空题

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