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055分函数与初等函数★★☆☆☆
设 f(x)f(x) 是定义在 R\mathbf{R} 上且周期为2的偶函数，当 2≤x≤32 \le x \le 3 时，f(x)=5−2xf(x)=5-2x，则 f(−34)=f\left(-\frac{3}{4}\right)=（ ）
A.
−12-\frac{1}{2}
B.
−14-\frac{1}{4}
C.
14\frac{1}{4}
D.
12\frac{1}{2}

2025 · 全国 · 一卷 · 第 5 题 · 选择题

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065分函数与初等函数★★★☆☆
已知函数 f(x)=−x2−2ax−af(x)=-x^2-2ax-a（x<0x<0），f(x)=ex+ln⁡(x+1)f(x)=\mathrm{e}^x+\ln(x+1)（x≥0x\ge 0） 在 R\mathbf{R} 上单调递增，则 aa 取值范围为（ ）
A.
(−∞,0](-\infty,0]
B.
[−1,0][-1,0]
C.
[−1,1][-1,1]
D.
[0,+∞)[0,+\infty)

2024 · 全国 · 新高考一卷 · 第 6 题 · 选择题

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075分三角函数★★★★☆
当 x∈[0,2π]x\in[0,2\pi] 时，曲线 y=sin⁡xy=\sin x 与 y=2sin⁡ ⁣(3x−π6)y=2\sin\!\left(3x-\frac{\pi}{6}\right) 的交点个数为（ ）
A.
3
B.
4
C.
6
D.
8

2024 · 全国 · 新高考一卷 · 第 7 题 · 选择题

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045分函数与初等函数★★☆☆☆
设函数 f(x)=2x(x−a)f(x)=2^{x(x-a)} 在区间 (0,1)(0,1) 单调递减，则 aa 的取值范围是（ ）
A.
(−∞,−2](-\infty,-2]
B.
[−2,0)[-2,0)
C.
(0,2](0,2]
D.
[2,+∞)[2,+\infty)

2023 · 全国 · 新高考一卷 · 第 4 题 · 选择题

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075分导数及其应用★★★★☆
若过点 (a,b)(a,b) 可以作曲线 y=exy=\mathrm{e}^x 的两条切线，则（ ）
A.
eb<a\mathrm{e}^b<a
B.
ea<b\mathrm{e}^a<b
C.
0<a<eb0<a<\mathrm{e}^b
D.
0<b<ea0<b<\mathrm{e}^a

2021 · 全国 · 新高考一卷 · 第 7 题 · 选择题

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12函数与初等函数★★★★☆
若 2a+log⁡2a=4b+2log⁡4b2^a+\log_2 a=4^b+2\log_4 b，则（ ）
\begin{answer} B \end{answer}
A.
a>2ba>2b
B.
a<2ba<2b
C.
a>b2a>b^2
D.
a<b2a<b^2

2020 · 全国 · 一卷 · 理 · 第 12 题 · 选择题

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04函数与初等函数★★★☆☆
古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是 5−12≈0.618\dfrac{\sqrt5-1}{2}\approx0.618（称为黄金分割比例）. 著名的“断臂维纳斯”便是如此. 此外，最美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是 5−12\dfrac{\sqrt5-1}{2}. 若某人满足上述两个黄金分割比例，且腿长为 105 cm105\text{ cm}，头顶至脖子下端的长度为 26 cm26\text{ cm}，则其身高可能是（ ）
\begin{answer} B \end{answer}
A.
165 cm165\text{ cm}
B.
175 cm175\text{ cm}
C.
185 cm185\text{ cm}
D.
190 cm190\text{ cm}

2019 · 全国 · 一卷 · 理 · 第 4 题 · 选择题

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05函数与初等函数★★★☆☆
函数 f(x)=sin⁡x+xcos⁡x+x2f(x)=\dfrac{\sin x+x}{\cos x+x^2} 在 [−π,π][-\pi,\pi] 的图象大致为（ ）
\begin{answer} D \end{answer}
A.
\choicebitmap[width=0.15\paperwidth]{img/2019/national_paper_1_science/q5_choice_a.png}
B.
\choicebitmap[width=0.15\paperwidth]{img/2019/national_paper_1_science/q5_choice_b.png}
C.
\choicebitmap[width=0.15\paperwidth]{img/2019/national_paper_1_science/q5_choice_c.png}
D.
\choicebitmap[width=0.15\paperwidth]{img/2019/national_paper_1_science/q5_choice_d.png}

2019 · 全国 · 一卷 · 理 · 第 5 题 · 选择题

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08函数与初等函数★★☆☆☆
如图是求 12+12+12\dfrac{1}{2+\dfrac{1}{2+\dfrac{1}{2}}} 的程序框图，图中空白框中应填入（ ）
\begin{answer} A \end{answer}
A.
A=12+AA=\dfrac{1}{2+A}
B.
A=2+1AA=2+\dfrac{1}{A}
C.
A=11+2AA=\dfrac{1}{1+2A}
D.
A=1+12AA=1+\dfrac{1}{2A}

2019 · 全国 · 一卷 · 理 · 第 8 题 · 选择题

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11三角函数★★★☆☆
关于函数 f(x)=sin⁡∣x∣+∣sin⁡x∣f(x)=\sin|x|+|\sin x| 有下述四个结论：
① f(x)f(x) 是偶函数； ② f(x)f(x) 在区间 (π2,π)\left(\dfrac{\pi}{2},\pi\right) 单调递增； ③ f(x)f(x) 在 [−π,π][-\pi,\pi] 有 44 个零点； ④ f(x)f(x) 的最大值为 22.
其中所有正确结论的编号是（ ）
\begin{answer} C \end{answer}
A.
\circled1\circled2\circled4\circled{1}\circled{2}\circled{4}
B.
\circled2\circled4\circled{2}\circled{4}
C.
\circled1\circled4\circled{1}\circled{4}
D.
\circled1\circled3\circled{1}\circled{3}

2019 · 全国 · 一卷 · 理 · 第 11 题 · 选择题

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04函数与初等函数★★★☆☆
古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是 5−12\dfrac{\sqrt5-1}{2}（5−12≈0.618\dfrac{\sqrt5-1}{2}\approx 0.618，称为黄金分割比例），著名的“断臂维纳斯”便是如此. 此外，最美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是 5−12\dfrac{\sqrt5-1}{2}. 若某人满足上述两个黄金分割比例，且腿长为 105 cm105\text{ cm}，头顶至脖子下端的长度为 26 cm26\text{ cm}，则其身高可能是（ ）
A.
165 cm165\text{ cm}
B.
175 cm175\text{ cm}
C.
185 cm185\text{ cm}
D.
190 cm190\text{ cm}

2019 · 全国 · 一卷 · 文 · 第 4 题 · 选择题

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05函数与初等函数★★★☆☆
函数 f(x)=sin⁡x+xcos⁡x+x2f(x)=\dfrac{\sin x+x}{\cos x+x^2} 在 [−π,π][-\pi,\pi] 的图象大致为（ ）
A.
\choicebitmap[width=0.15\paperwidth]{img/2019/national_paper_1_liberal/q5_choice_a.png}
B.
\choicebitmap[width=0.15\paperwidth]{img/2019/national_paper_1_liberal/q5_choice_b.png}
C.
\choicebitmap[width=0.15\paperwidth]{img/2019/national_paper_1_liberal/q5_choice_c.png}
D.
\choicebitmap[width=0.15\paperwidth]{img/2019/national_paper_1_liberal/q5_choice_d.png}

2019 · 全国 · 一卷 · 文 · 第 5 题 · 选择题

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05导数及其应用★★☆☆☆
设函数 f(x)=x3+(a−1)x2+axf(x)=x^3+(a-1)x^2+ax. 若 f(x)f(x) 为奇函数，则曲线 y=f(x)y=f(x) 在点 (0,0)(0,0) 处的切线方程为（ ）
A.
y=−2xy=-2x
B.
y=−xy=-x
C.
y=2xy=2x
D.
y=xy=x

2018 · 全国 · 一卷 · 理 · 第 5 题 · 选择题

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09函数与初等函数★★★☆☆
已知函数
f(x)={ex,x≤0,ln⁡x,x>0f(x)=\begin{cases} \mathrm{e}^x,&x\le0,\\ \ln x,&x>0 \end{cases}
，g(x)=f(x)+x+ag(x)=f(x)+x+a. 若 g(x)g(x) 存在 2 个2\text{ 个} 零点，则 aa 的取值范围是（ ）
A.
[−1,0)[-1,0)
B.
[0,+∞)[0,+\infty)
C.
[−1,+∞)[-1,+\infty)
D.
[1,+∞)[1,+\infty)

2018 · 全国 · 一卷 · 理 · 第 9 题 · 选择题

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06函数与初等函数★★☆☆☆
设函数 f(x)=x3+(a−1)x2+axf(x)=x^3+(a-1)x^2+ax. 若 f(x)f(x) 为奇函数，则曲线 y=f(x)y=f(x) 在点 (0,0)(0,0) 处的切线方程为（ ）
A.
y=−2xy=-2x
B.
y=−xy=-x
C.
y=2xy=2x
D.
y=xy=x

2018 · 全国 · 一卷 · 文 · 第 6 题 · 选择题

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12函数与初等函数★★★☆☆
设函数
f(x)={2−x,x≤0,1,x>0f(x)=\begin{cases} 2^{-x},&x\le0,\\ 1,&x>0 \end{cases}
，则满足 f(x+1)<f(2x)f(x+1)<f(2x) 的 xx 的取值范围是（ ）
A.
(−∞,−1](-\infty,-1]
B.
(0,+∞)(0,+\infty)
C.
(−1,0)(-1,0)
D.
(−∞,0)(-\infty,0)

2018 · 全国 · 一卷 · 文 · 第 12 题 · 选择题

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02函数与初等函数★☆☆☆☆
下列函数为奇函数的是（ ）
A.
y=xy = \sqrt{x}
B.
y=∣sin⁡x∣y = |\sin x|
C.
y=cos⁡xy = \cos x
D.
y=ex−e−xy = \mathrm{e}^{x} - \mathrm{e}^{-x}

2015 · 福建 · 理 · 第 2 题 · 选择题

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08数列★★★☆☆
若 aa、bb 是函数 f(x)=x2−px+qf(x) = x^2 - px + q（p>0p > 0，q>0q > 0）的两个不同的零点，且 aa、bb、−2-2 这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则 p+qp + q 的值等于（ ）
A.
6
B.
7
C.
8
D.
9

2015 · 福建 · 理 · 第 8 题 · 选择题

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03函数与初等函数★☆☆☆☆
下列函数为奇函数的是（ ）
A.
y=xy = \sqrt{x}
B.
y=exy = \mathrm{e}^{x}
C.
y=cos⁡xy = \cos x
D.
y=ex−e−xy = \mathrm{e}^{x} - \mathrm{e}^{-x}

2015 · 福建 · 文 · 第 3 题 · 选择题

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04函数与初等函数★☆☆☆☆
阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，若输入 xx 的值为 1，则输出 yy 的值为（ ）
A.
2
B.
7
C.
8
D.
128

2015 · 福建 · 文 · 第 4 题 · 选择题

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08函数与初等函数★★★☆☆
如图，矩形 ABCDABCD 中，点 AA 在 xx 轴上，点 BB 的坐标为 (1,0)(1,0)，且点 CC 与点 DD 在函数
f(x)={x+1,x⩾0,−12x+1,x<0f(x) = \begin{cases} x + 1, & x \geqslant 0,\\ -\frac{1}{2}x + 1, & x < 0 \end{cases}
的图象上. 若在矩形 ABCDABCD 内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率等于（ ）
A.
16\frac{1}{6}
B.
14\frac{1}{4}
C.
38\frac{3}{8}
D.
12\frac{1}{2}

2015 · 福建 · 文 · 第 8 题 · 选择题

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04指数函数与对数函数★★☆☆☆
若函数 y=log⁡axy = \log_a x（a>0a > 0，且 a≠1a \neq 1）的图象如图所示，则下列函数图象正确的是（ ）
A.
B.
C.
D.

2014 · 福建 · 理 · 第 4 题 · 选择题

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07函数与初等函数★★☆☆☆
已知函数
f(x)={x2+1,x>0,cos⁡x,x⩽0.f(x) = \begin{cases} x^2 + 1, & x > 0,\\ \cos x, & x \leqslant 0. \end{cases}
则下列结论正确的是（ ）
A.
f(x)f(x) 是偶函数
B.
f(x)f(x) 是增函数
C.
f(x)f(x) 是周期函数
D.
f(x)f(x) 的值域为 [−1,+∞)[-1, +\infty)

2014 · 福建 · 理 · 第 7 题 · 选择题

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08函数与初等函数★★☆☆☆
若函数 y=log⁡axy = \log_a x（a>0a > 0，且 a≠1a \neq 1）的图象如图所示，则下列函数图象正确的是（ ）
\begin{answer} B \end{answer}
\begin{solution} 原图象经过点 (3,1)(3,1)，故 log⁡a3=1\log_a3=1，从而 a=3a=3. 因此四个选项中的函数依次为 y=3−xy=3^{-x}、y=x3y=x^3、y=(−x)3=−x3y=(-x)^3=-x^3 和 y=log⁡3(−x)y=\log_3(-x). 函数 y=3−xy=3^{-x} 在 R\mathbf{R} 上递减，函数 y=−x3y=-x^3 也在 R\mathbf{R} 上递减，均与对应图象的增减性不符；函数 y=log⁡3(−x)y=\log_3(-x) 的定义域为 (−∞,0)(-\infty,0)，且在其定义域上递减. 而 y=x3y=x^3 在 R\mathbf{R} 上递增且经过 (1,1)(1,1)，与选项 B 的图象相符. 因此选 B. \end{solution}
A.
B.
C.
D.

2014 · 福建 · 文 · 第 8 题 · 选择题

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12函数与初等函数★★★★☆
在平面直角坐标系中，两点 P1(x1,y1)P_{1}(x_{1}, y_{1})，P2(x2,y2)P_{2}(x_{2}, y_{2}) 间的 “L\mathrm{L}-距离” 定义为 ∥P1P2∥=∣x1−x2∣+∣y1−y2∣\|P_1P_2\| = |x_1 - x_2| + |y_1 - y_2|，则平面内与 xx 轴上两个不同的定点 F1F_{1}，F2F_{2} 的 “L\mathrm{L}-距离” 之和等于定值（大于 ∥F1F2∥\|F_1F_2\|）的点的轨迹可以是（ ）
\begin{answer} A \end{answer}
\begin{solution} 在 xx 轴上取两定点的中点为原点，设 F1=(−c,0)F_1=(-c,0)、F2=(c,0)F_2=(c,0)，其中 c>0c>0. 设动点为 P=(x,y)P=(x,y)，两点的“L\mathrm{L}-距离”之和为 SS，则 S=∣x+c∣+∣y∣+∣x−c∣+∣y∣=∣x+c∣+∣x−c∣+2∣y∣S=|x+c|+|y|+|x-c|+|y|=|x+c|+|x-c|+2|y|. 题设给出 S>2cS>2c. 当 ∣x∣⩽c|x|\leqslant c 时，S=2c+2∣y∣S=2c+2|y|，所以 ∣y∣=S−2c2|y|=\frac{S-2c}{2}，得到上下两条水平线段；当 ∣x∣⩾c|x|\geqslant c 时，S=2∣x∣+2∣y∣S=2|x|+2|y|，所以 ∣x∣+∣y∣=S2|x|+|y|=\frac{S}{2}，得到连接这些线段端点与左右端点的四条斜线段. 因此轨迹是左右尖、上下平的中心对称六边形，与图 A 相符. 因此选 A. \end{solution}
A.
B.
C.
D.

2014 · 福建 · 文 · 第 12 题 · 选择题

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