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1917分函数与初等函数★★★★★
已知函数 f(x)f(x) 的定义域为 R\mathbf{R}，且当 x<0x<0 时，f(x)=2xf(x)=2^x. 对任意 x0∈Rx_0\in\mathbf{R}，定义集合 D(x0)={d∈R∣f(x0+d)>f(x0)}D(x_0)=\{d\in\mathbf{R} \mid f(x_0+d)>f(x_0)\}.
(1) 若当 x≥0x\ge 0 时，f(x)=1−xf(x)=1-x，求 D(−1)D(-1)； (2) 若 f(x)f(x) 是奇函数，f(x1)≤f(x2)f(x_1)\le f(x_2)，且 x1x2≠0x_1x_2\ne 0，证明：D(x2)⊆D(x1)D(x_2)\subseteq D(x_1)； (3) 设 f(x)f(x) 满足：① 若 f(x1)≤f(x2)f(x_1)\le f(x_2)，则 D(x2)⊆D(x1)D(x_2)\subseteq D(x_1)；② 当 0<x<10<x<1 时，f(x)<f(0)f(x)<f(0).
(i) 证明：f(0)≥1f(0)\ge 1； (ii) 证明：f(x)f(x) 在区间 (0,+∞)(0,+\infty) 单调递增．

2026 · 全国 · 一卷 · 第 19 题 · 解答题

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1817分导数及其应用★★★★★
已知函数 f(x)=ln⁡x2−x+ax+b(x−1)3f(x)=\ln\frac{x}{2-x}+ax+b(x-1)^3（x∈(0,2)x\in(0,2)）.
(1) 若 b=0b=0 且 f′(x)≥0f'(x)\ge0，求 aa 的最小值； (2) 证明：曲线 y=f(x)y=f(x) 关于点 (1,a)(1,a) 中心对称； (3) 若 f(x)>−2f(x)>-2 当且仅当 1<x<21<x<2，求 bb 的取值范围.

2024 · 全国 · 新高考一卷 · 第 18 题 · 解答题

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2215分导数及其应用★★★★★
已知函数 f(x)=ex−axf(x)=\mathrm{e}^x-ax，g(x)=ax−ln⁡xg(x)=ax-\ln x 有相同的最小值.
(1) 求 aa； (2) 证明：存在直线 y=by=b，其与两条曲线 y=f(x)y=f(x) 和 y=g(x)y=g(x) 共有三个不同的交点，并且从左到右的三个交点的横坐标成等差数列.

2022 · 全国 · 新高考一卷 · 第 22 题 · 解答题

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23不等式★★★☆☆
已知函数 f(x)=∣3x+1∣−2∣x−1∣f(x)=\left\lvert 3x+1 \right\rvert-2\left\lvert x-1 \right\rvert.
(1) 画出 y=f(x)y=f(x) 的图象； (2) 求不等式 f(x)>f(x+1)f(x)>f(x+1) 的解集.

2020 · 全国 · 一卷 · 理 · 第 23 题 · 解答题

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20导数及其应用★★★★☆
已知函数 f(x)=ex−a(x+2)f(x)=\mathrm{e}^x-a(x+2).
(1) 当 a=1a=1 时，讨论 f(x)f(x) 的单调性； (2) 若 f(x)f(x) 有两个零点，求 aa 的取值范围.

2020 · 全国 · 一卷 · 文 · 第 20 题 · 解答题

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23不等式★★★☆☆
已知函数 f(x)=∣3x+1∣−2∣x−1∣f(x)=\lvert 3x+1\rvert-2\lvert x-1\rvert.
(1) 画出 y=f(x)y=f(x) 的图象； (2) 求不等式 f(x)>f(x+1)f(x)>f(x+1) 的解集.

2020 · 全国 · 一卷 · 文 · 第 23 题 · 解答题

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20导数及其应用★★★★★
已知函数 f(x)=sin⁡x−ln⁡(1+x)f(x)=\sin x-\ln(1+x)，且 f′(x)f'(x) 为 f(x)f(x) 的导数. 证明：
(1) f′(x)f'(x) 在区间 (−1,π2)\left(-1,\dfrac{\pi}{2}\right) 存在唯一极大值点； (2) f(x)f(x) 有且仅有 22 个零点.

2019 · 全国 · 一卷 · 理 · 第 20 题 · 解答题

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20导数及其应用★★★★☆
已知函数 f(x)=2sin⁡x−xcos⁡x−xf(x)=2\sin x-x\cos x-x，f′(x)f'(x) 为 f(x)f(x) 的导数.
(1) 证明：f′(x)f'(x) 在区间 (0,π)(0,\pi) 存在唯一零点； (2) 若 x∈[0,π]x\in [0,\pi] 时，f(x)≥axf(x)\ge ax，求 aa 的取值范围.

2019 · 全国 · 一卷 · 文 · 第 20 题 · 解答题

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19解析几何★★★★☆
设椭圆 C:x22+y2=1C:\frac{x^2}{2}+y^2=1 的右焦点为 FF，过 FF 的直线 ll 与 CC 交于 AA，BB 两点，点 MM 的坐标为 (2,0)(2,0).
(1) 当 ll 与 xx 轴垂直时，求直线 AMAM 的方程； (2) 设 OO 为坐标原点，证明：∠OMA=∠OMB\angle OMA=\angle OMB.

2018 · 全国 · 一卷 · 理 · 第 19 题 · 解答题

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22解析几何★★★★☆
在直角坐标系 xOyxOy 中，曲线 C1C_1 的方程为 y=k∣x∣+2y=k\lvert x\rvert+2. 以坐标原点为极点，xx 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C2C_2 的极坐标方程为 ρ2+2ρcos⁡θ−3=0\rho^2+2\rho\cos\theta-3=0.
(1) 求 C2C_2 的直角坐标方程； (2) 若 C1C_1 与 C2C_2 有且仅有三个公共点，求 C1C_1 的方程.

2018 · 全国 · 一卷 · 理 · 第 22 题 · 解答题

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20三角函数★★★★★
已知函数 f(x)=sin⁡(ωx+φ)f(x) = \sin(\omega x + \varphi)（ω>0\omega > 0， 0<φ<π\ 0 < \varphi < \pi）的周期为 π\pi，图象的一个对称中心为 (π4,0)\left(\frac{\pi}{4}, 0\right)，将函数 f(x)f(x) 图象上所有点的横坐标伸长到原来的 22 倍（纵坐标不变），再将得到的图象向右平移 π2\frac{\pi}{2} 个单位长度后得到函数 g(x)g(x) 的图象.
(1) 求函数 f(x)f(x) 与 g(x)g(x) 的解析式； (2) 是否存在 x0∈(π6,π4)x_0 \in \left(\frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{4}\right)，使得 f(x0)f(x_0)，g(x0)g(x_0)，f(x0)g(x0)f(x_0)g(x_0) 按照某种顺序成等差数列？若存在，请确定 x0x_0 的个数；若不存在，说明理由； (3) 求实数 aa 与正整数 nn，使得 F(x)=f(x)+ag(x)F(x) = f(x) + a g(x) 在 (0,nπ)(0, n\pi) 内恰有 20132013 个零点.

2013 · 福建 · 理 · 第 20 题 · 解答题

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22导数及其应用★★★★☆
已知函数 f(x)=x−1+aexf(x) = x - 1 + \frac{a}{\mathrm{e}^{x}}（a∈Ra \in \mathbf{R}，e\mathrm{e} 为自然对数的底数）.
(1) 若曲线 y=f(x)y = f(x) 在点 (1,f(1))(1, f(1)) 处的切线平行于 xx 轴，求 aa 的值； (2) 求函数 f(x)f(x) 的极值； (3) 当 a=1a = 1 时，若直线 l:y=kx−1l: y = kx - 1 与曲线 y=f(x)y = f(x) 没有公共点，求 kk 的最大值.

2013 · 福建 · 文 · 第 22 题 · 解答题

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21函数与初等函数★★☆☆☆
设曲线 2x2+2xy+y2=12x^{2} + 2xy + y^{2} = 1 在矩阵
A=(a0b1)\mathbf{A} = \begin{pmatrix} a & 0 \\ b & 1 \end{pmatrix}
（a>0a > 0）对应的变换作用下得到的曲线为 x2+y2=1x^{2} + y^{2} = 1.
(1) 求实数 aa，bb 的值； (2) 求 A2A^{2} 的逆矩阵.

2012 · 福建 · 理 · 第 21 题 · 解答题

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18概率与统计★★★☆☆
某工厂为了对新研发的一种产品进行合理定价，将该产品按事先拟定的价格进行试销，得到如下数据：
单价 xx（元\text{元}）888.28.28.48.48.68.68.88.899
销量 yy（件\text{件}）909084848383808075756868
(1) 求回归直线方程 y^=bx+a\hat{y} = bx + a，其中 b=−20b = -20， a=y‾−bx‾a = \overline{y} - b\overline{x}； (2) 预计在今后的销售中，销量与单价仍然服从（1）中的关系，且该产品的成本是4 元/件4\text{ 元/件}，为使工厂获得最大利润，该产品的单价应定为多少元\text{元}？（利润=销售收入−成本\text{利润}=\text{销售收入}-\text{成本}）

2012 · 福建 · 文 · 第 18 题 · 解答题

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22函数与初等函数★★★★☆
已知函数 f(x)=axsin⁡x−32f(x) = ax \sin x - \frac{3}{2}，a∈Ra \in \mathbf{R}，且在 [0,π2][0, \frac{\pi}{2}] 上的最大值为 π−32\frac{\pi - 3}{2}.
(1) 求函数 f(x)f(x) 的解析式； (2) 判断函数 f(x)f(x) 在 (0,π)(0, \pi) 内的零点个数，并加以证明.

2012 · 福建 · 文 · 第 22 题 · 解答题

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21三角函数★★★☆☆
设函数 f(θ)=3sin⁡θ+cos⁡θf(\theta) = \sqrt{3}\sin \theta + \cos \theta，其中，角 θ\theta 的顶点与坐标原点重合，始边与 xx 轴非负半轴重合，终边经过点 P(x,y)P(x, y)，且 0⩽θ⩽π0 \leqslant \theta \leqslant \pi.
(1) 若点 PP 的坐标为 (12,32)\left(\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}\right)，求 f(θ)f(\theta) 的值； (2) 若点 P(x,y)P(x, y) 为平面区域 Ω\Omega：
{x+y⩾1,x⩽1,y⩽1\begin{cases} x + y \geqslant 1,\\ x \leqslant 1,\\ y \leqslant 1 \end{cases}
上的一个动点，试确定角 θ\theta 的取值范围，并求函数 f(θ)f(\theta) 的最小值和最大值.

2011 · 福建 · 文 · 第 21 题 · 解答题

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22导数及其应用★★★★☆
已知 aa，bb 为常数，且 a≠0a \neq 0. 函数 f(x)=−ax+b+axln⁡xf(x) = -ax + b + ax \ln x，f(e)=2f(\mathrm{e}) = 2（e=2.71828⋯\mathrm{e} = 2.71828 \cdots 是自然对数的底数）.
(1) 求实数 bb 的值； (2) 求函数 f(x)f(x) 的单调区间； (3) 当 a=1a = 1 时，是否同时存在实数 mm 和 MM（m<Mm < M），使得对每一个 t∈[m,M]t \in [m, M]，直线 y=ty = t 与曲线 y=f(x)y = f(x)（x∈[1e,e]x \in \left[ \frac{1}{\mathrm{e}}, \mathrm{e} \right]）都有公共点？若存在，求出最小的实数 mm 和最大的实数 MM；若不存在，说明理由.

2011 · 福建 · 文 · 第 22 题 · 解答题

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19三角函数★★★★☆
某港口 OO 要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上. 在小艇出发时，轮船位于港口 OO 北偏西 30∘30^{\circ} 且与该港口相距 20 海里20\text{ 海里} 的 AA 处，并以 30 海里/小时30\text{ 海里/小时} 的航行速度沿正东方向匀速行驶. 假设该小艇沿直线方向以 v 海里/小时v\text{ 海里/小时} 的航行速度匀速行驶，经过 t 小时t\text{ 小时} 与轮船相遇.
(1) 若希望相遇时小艇的航行距离最小，则小艇航行速度的大小应为多少？ (2) 假设小艇的最高航行速度只能达到 30 海里/小时30\text{ 海里/小时}，试设计航行方案（即确定航行方向与航行速度的大小），使得小艇能以最短时间与轮船相遇，并说明理由.

2010 · 福建 · 理 · 第 19 题 · 解答题

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21函数与初等函数★★★★☆
某港口 OO 要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上. 在小艇出发时，轮船位于港口 OO 北偏西 30∘30^{\circ} 且与该港口相距 20 海里20\text{ 海里} 的 AA 处，并以 30 海里/小时30\text{ 海里/小时} 的航行速度沿正东方向匀速行驶. 假设该小艇沿直线方向以 v 海里/小时v\text{ 海里/小时} 的航行速度匀速行驶，经过 tt 小时与轮船相遇.
(1) 若希望相遇时小艇的航行距离最小，则小艇航行速度的大小应为多少？ (2) 为保证小艇在 30 分钟30\text{ 分钟} 内（含 30 分钟30\text{ 分钟}）能与轮船相遇，试确定小艇航行速度的最小值； (3) 是否存在 vv，使得小艇以 v 海里/小时v\text{ 海里/小时} 的航行速度行驶，总能有两种不同的航行方向与轮船相遇？若存在，试确定 vv 的取值范围；若不存在，请说明理由.

2010 · 福建 · 文 · 第 21 题 · 解答题

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21解析几何★★★★☆
如图，椭圆 x2a2+y2b2=1\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1（a>b>0a > b > 0）的一个焦点是 F(1,0)F(1,0)，OO 为坐标原点.
(1) 已知椭圆短轴的两个三等分点与一个焦点构成正三角形，求椭圆的方程； (2) 设过点 FF 的直线 ll 交椭圆于 AA、BB 两点. 若直线 ll 绕点 FF 任意转动，恒有 ∣OA∣2+∣OB∣2<∣AB∣2|OA|^2 + |OB|^2 < |AB|^2，求 aa 的取值范围.

2008 · 福建 · 理 · 第 21 题 · 解答题

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22导数及其应用★★★★★
已知函数 f(x)=ex−kxf(x) = \mathrm{e}^{x} - kx，x∈Rx \in \mathbf{R}.
(1) 若 k=ek = \mathrm{e}，试确定函数 f(x)f(x) 的单调区间； (2) 若 k>0k > 0，且对于任意 x∈Rx \in \mathbf{R}，f(∣x∣)>0f(|x|) > 0 恒成立，试确定实数 kk 的取值范围； (3) 设函数 F(x)=f(x)+f(−x)F(x) = f(x) + f(-x)，求证：F(1)F(2)⋯F(n)>(en+1+2)n2F(1)F(2)\cdots F(n) > (\mathrm{e}^{n+1} + 2)^{\frac{n}{2}}（n∈N∗n \in \mathbf{N}^*）.

2007 · 福建 · 理 · 第 22 题 · 解答题

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20导数及其应用★★★☆☆
设函数 f(x)=tx2+2t2x+t−1f(x) = tx^2 + 2t^2x + t - 1（x∈Rx \in \mathbf{R}，t>0t > 0）.
(1) 求 f(x)f(x) 的最小值 h(t)h(t). (2) 若 h(t)<−2t+mh(t) < -2t + m 对 t∈(0,2)t \in (0, 2) 恒成立，求实数 mm 的取值范围.

2007 · 福建 · 文 · 第 20 题 · 解答题

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20解析几何★★★★☆
已知椭圆 x22+y2=1\frac{x^2}{2} + y^2 = 1 的左焦点为 FF，OO 为坐标原点.
(1) 求过点 OO，FF，并且与椭圆的左准线 ll 相切的圆的方程； (2) 设过点 FF 且不与坐标轴垂直的直线交椭圆于 AA，BB 两点，线段 ABAB 的垂直平分线与 xx 轴交于点 GG，求点 GG 横坐标的取值范围.

2006 · 福建 · 理 · 第 20 题 · 解答题

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21导数及其应用★★★★★
已知函数 f(x)=−x2+8xf(x) = -x^2 + 8x，g(x)=6ln⁡x+mg(x) = 6\ln x + m.
(1) 求 f(x)f(x) 在区间 [t,t+1]\left[t, t + 1\right] 上的最大值 h(t)h(t)； (2) 是否存在实数 mm，使得 y=f(x)y = f(x) 的图象与 y=g(x)y = g(x) 的图象有且只有三个不同的交点？若存在，求出 mm 的取值范围；若不存在，说明理由.

2006 · 福建 · 理 · 第 21 题 · 解答题

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21函数与初等函数★★★★☆
已知 f(x)f(x) 是二次函数，不等式 f(x)<0f(x) < 0 的解集是 (0,5)(0,5)，且 f(x)f(x) 在区间 [−1,4][-1,4] 上的最大值是 1212.
(1) 求 f(x)f(x) 的解析式； (2) 是否存在自然数 mm，使得方程 f(x)+37x=0f(x) + \dfrac{37}{x} = 0 在区间 (m,m+1)(m,m+1) 内有且只有两个不等的实数根？若存在，求出所有 mm 的值；若不存在，说明理由.

2006 · 福建 · 文 · 第 21 题 · 解答题

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