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135分函数与初等函数★★★☆☆
若函数 f(x)=2x+22−x−mf\left( x \right)=2^x+2^{2-x}-m 有两个零点，则 mm 的取值范围是______.

2026 · 全国 · 二卷 · 第 13 题 · 填空题

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145分函数与初等函数★★★☆☆
写出一个函数 f(x)=‾f\left( x \right)=\underline{\hspace{2em}}，使其同时具有下列性质：
① f(x1x2)=f(x1)f(x2)f\left( x_1x_2 \right)=f\left( x_1 \right)f\left( x_2 \right)； ② 当 x∈(0,+∞)x\in \left( 0,+\infty \right) 时，f′(x)>0f'\left( x \right)>0； ③ f′(x)f'\left( x \right) 是奇函数.
\begin{answer} x4x^4 \end{answer}

2021 · 全国 · 新高考二卷 · 第 14 题 · 填空题

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14函数与初等函数★★☆☆☆
已知 f(x)f(x) 是奇函数，且当 x<0x<0 时，f(x)=−eaxf(x)=-\mathrm{e}^{ax}. 若 f(ln⁡2)=8f(\ln2)=8，则 a=‾a=\underline{\hspace{2em}}

2019 · 全国 · 二卷 · 理 · 第 14 题 · 填空题

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15函数与初等函数★★★☆☆
在区间 [0,5][0, 5] 上随机地选择一个数 pp，则方程 x2+2px+3p−2=0x^2 + 2px + 3p - 2 = 0 有两个负根的概率为______.

2015 · 重庆 · 文 · 第 15 题 · 填空题

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12指数函数与对数函数★★★☆☆
函数 f(x)=log⁡2x⋅log⁡2(2x)f(x) = \log_{2}\sqrt{x} \cdot \log_{\sqrt{2}}(2x) 的最小值为______.

2014 · 重庆 · 理 · 第 12 题 · 填空题

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12函数与初等函数★☆☆☆☆
若 f(x)=(x+a)(x−4)f(x)=(x+a)(x-4) 为偶函数，则实数 a=‾a=\underline{\hspace{2em}}.
\begin{answer} 44 \end{answer}
\begin{solution} 展开得 f(x)=x2+(a−4)x−4af(x)=x^2+(a-4)x-4a. 偶函数满足 f(−x)=f(x)f(-x)=f(x)，二次式中一次项系数必须为零，所以 a−4=0a-4=0，即 a=4a=4. \end{solution}

2012 · 重庆 · 文 · 第 12 题 · 填空题

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15函数与初等函数★★★★☆
已知函数 f(x)f(x) 满足： f(1)=14f(1) = \frac{1}{4}，4f(x)f(y)=f(x+y)+f(x−y)4f(x)f(y) = f(x + y) + f(x - y) （xx，y∈Ry \in \mathbf{R}），则 f(2010)=f(2010) =______.
\begin{answer} 12\frac{1}{2} \end{answer}
\begin{solution} 令 y=0y=0，原函数方程变为
4f(x)f(0)=f(x)+f(x)=2f(x)4f(x)f(0)=f(x)+f(x)=2f(x)
取 x=1x=1，由 f(1)=14≠0f(1)=\frac14\ne0 得 f(0)=12f(0)=\frac12. 再令 x=0x=0，可得
4f(0)f(y)=f(y)+f(−y)4f(0)f(y)=f(y)+f(-y)
从而 f(−y)=f(y)f(-y)=f(y).
令 y=1y=1，利用 4f(1)=14f(1)=1，得到
f(x+1)+f(x−1)=f(x)f(x+1)+f(x-1)=f(x)
对整数依次取值，结合 f(0)=12f(0)=\frac12、f(1)=14f(1)=\frac14，有
f(2)=f(1)−f(0)=−14f(2)=f(1)-f(0)=-\frac14
f(3)=f(2)−f(1)=−12f(3)=f(2)-f(1)=-\frac12，f(4)=f(3)−f(2)=−14f(4)=f(3)-f(2)=-\frac14 f(5)=f(4)−f(3)=14f(5)=f(4)-f(3)=\frac14，f(6)=f(5)−f(4)=12f(6)=f(5)-f(4)=\frac12. 由递推式可得 f(7)=f(6)−f(5)=14=f(1)f(7)=f(6)-f(5)=\frac14=f(1)，于是令 g(n)=f(n+6)−f(n)g(n)=f(n+6)-f(n)，有 g(0)=0g(0)=0，g(1)=0g(1)=0. 对任意非负整数 nn，递推式分别作用于 n+1n+1 和 n+7n+7 给出 g(n+2)=g(n+1)−g(n)g(n+2)=g(n+1)-g(n)，因此由归纳法知 g(n)=0g(n)=0，即 f(n+6)=f(n)f(n+6)=f(n). 而 2010=6⋅3352010=6\cdot335，所以
f(2010)=f(0)=12f(2010)=f(0)=\frac12
\end{solution}

2010 · 重庆 · 理 · 第 15 题 · 填空题

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12函数与初等函数★★☆☆☆
若 f(x)=12x−1+af(x) = \frac{1}{2^{x} - 1} + a 是奇函数，则 a=a =______.
\begin{answer} 12\frac{1}{2} \end{answer}
\begin{solution} 函数定义域为所有 x≠0x\ne0 的实数，且对任意 x≠0x\ne0，
f(−x)=12−x−1+a=2x1−2x+af(-x)=\frac{1}{2^{-x}-1}+a =\frac{2^x}{1-2^x}+a
所以
f(x)+f(−x)=12x−1+2x1−2x+2a=−1+2af(x)+f(-x) =\frac{1}{2^x-1}+\frac{2^x}{1-2^x}+2a =-1+2a
函数为奇函数当且仅当上式恒为 0，故 a=12a=\frac{1}{2}. \end{solution}

2009 · 重庆 · 理 · 第 12 题 · 填空题

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12函数与初等函数★★☆☆☆
已知函数
f(x) = \begin{cases} 2x + 3 &
（当 x≠0 时\text{当 } x \neq 0 \text{ 时}）\\ a &（当 x=0 时\text{当 } x = 0 \text{ 时}）\end{cases} 在点 x=0x = 0 处连续，则 lim⁡n→∞an2+1a2n2+n=\displaystyle\lim_{n \to \infty} \frac{a n^{2} + 1}{a^{2} n^{2} + n} =______.

2008 · 重庆 · 理 · 第 12 题 · 填空题

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13函数与初等函数★★☆☆☆
若函数 f(x)=2x2+2ax−a−1f(x) = \sqrt{2^{x^{2} + 2ax - a} - 1} 的定义域为 R\mathbf{R}，则 aa 的取值范围为______.

2007 · 重庆 · 理 · 第 13 题 · 填空题

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14数列★★☆☆☆
设 {an}\{a_{n}\} 为公比 q>1q > 1 的等比数列，若 a2004a_{2004} 和 a2006a_{2006} 是方程 4x2−8x+3=04x^{2} - 8x + 3 = 0 的两根，则 a2006+a2007=a_{2006} + a_{2007} =______.

2007 · 重庆 · 理 · 第 14 题 · 填空题

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16解析几何★★★★☆
过双曲线 x2−y2=4x^{2}-y^{2}=4 的右焦点 FF 作倾斜角为 105∘105^{\circ} 的直线，交双曲线于 PP，QQ 两点，则 ∣FP∣⋅∣FQ∣|FP| \cdot |FQ| 的值为______.

2007 · 重庆 · 理 · 第 16 题 · 填空题

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16函数与初等函数★★★☆☆
函数 f(x)=x2−2x+2x2−5x+4f(x)=\sqrt{x^{2}-2x}+2^{\sqrt{x^{2}-5x+4}} 的最小值为______.

2007 · 重庆 · 文 · 第 16 题 · 填空题

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15指数函数与对数函数★★★☆☆
设 a>0a > 0，a≠1a \neq 1，函数 f(x)=alg⁡(x2−2x+3)f(x) = a^{\lg(x^{2} - 2x + 3)} 有最大值，则不等式 log⁡a(x2−5x+7)>0\log_a(x^{2} - 5x + 7) > 0 的解集为______.

2006 · 重庆 · 理 · 第 15 题 · 填空题

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