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共找到 54 题
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085分函数与初等函数★★★☆☆
已知 f(x)f\left( x \right) 是定义域为 R\mathbf{R} 的偶函数，f(x)+f(x−2)=0f\left( x \right)+f\left( x-2 \right)=0，且当 x∈[32,3]x\in \left[ \frac{3}{2},3 \right] 时，f(x)=x2+ax+bf\left( x \right)=x^2+ax+b，则
A.
a=−2a=-2，b=−3b=-3
B.
a=−2a=-2，b=3b=3
C.
a=−4a=-4，b=−3b=-3
D.
a=−4a=-4，b=3b=3

2026 · 全国 · 二卷 · 第 8 题 · 选择题

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065分函数与初等函数★★★☆☆
设函数 f(x)=a(x+1)2−1f(x)=a(x+1)^2-1，g(x)=cos⁡x+2axg(x)=\cos x+2ax，当 x∈(−1,1)x\in(-1,1) 时，曲线 y=f(x)y=f(x) 与 y=g(x)y=g(x) 恰有一个交点，则 a=a=（ ）
A.
−1-1
B.
12\frac12
C.
11
D.
22

2024 · 全国 · 新高考二卷 · 第 6 题 · 选择题

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085分函数与初等函数★★★★☆
设函数 f(x)=(x+a)ln⁡(x+b)f(x)=(x+a)\ln(x+b)，若 f(x)≥0f(x)\ge 0，则 a2+b2a^2+b^2 的最小值为（ ）
A.
18\frac18
B.
14\frac14
C.
12\frac12
D.
11

2024 · 全国 · 新高考二卷 · 第 8 题 · 选择题

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045分函数与初等函数★★☆☆☆
若函数 f(x)=(x+a)ln⁡2x−12x+1f(x)=(x+a)\ln\frac{2x-1}{2x+1} 为偶函数，则 a=a=（ ）
A.
−1-1
B.
0
C.
12\dfrac12
D.
1

2023 · 全国 · 新高考二卷 · 第 4 题 · 选择题

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085分函数与初等函数★★★☆☆
已知函数 f(x)f(x) 的定义域为 R\mathbf{R}，且 f(x+y)+f(x−y)=f(x)f(y)f(x+y)+f(x-y)=f(x)f(y)，f(1)=1f(1)=1，则 ∑k=122f(k)=\sum_{k=1}^{22}f(k)=（ ）
A.
−3-3
B.
−2-2
C.
0
D.
1

2022 · 全国 · 新高考二卷 · 第 8 题 · 选择题

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085分函数与初等函数★★★★☆
已知函数 f(x)f\left( x \right) 的定义域为 R\mathbf{R}，f(x+2)f\left( x+2 \right) 为偶函数，f(2x+1)f\left( 2x+1 \right) 为奇函数，则（ ）
\begin{answer} B \end{answer}
A.
f(−12)=0f\left( -\frac12 \right)=0
B.
f(−1)=0f\left( -1 \right)=0
C.
f(2)=0f\left( 2 \right)=0
D.
f(4)=0f\left( 4 \right)=0

2021 · 全国 · 新高考二卷 · 第 8 题 · 选择题

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09函数与初等函数★★★☆☆
设函数 f(x)=ln⁡∣2x+1∣−ln⁡∣2x−1∣f(x)=\ln |2x+1|-\ln |2x-1|，则 f(x)f(x)（ ）
A.
是偶函数，且在 (12,+∞)\left( \dfrac{1}{2},+\infty \right) 单调递增
B.
是奇函数，且在 (−12,12)\left( -\dfrac{1}{2},\dfrac{1}{2} \right) 单调递减
C.
是偶函数，且在 (−∞,−12)\left( -\infty,-\dfrac{1}{2} \right) 单调递增
D.
是奇函数，且在 (−∞,−12)\left( -\infty,-\dfrac{1}{2} \right) 单调递减

2020 · 全国 · 二卷 · 理 · 第 9 题 · 选择题

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10函数与初等函数★★☆☆☆
设函数 f(x)=x3−1x3f(x)=x^3-\dfrac{1}{x^3}，则 f(x)f(x)（ ）
A.
是奇函数，且在 (0,+∞)(0,+\infty) 单调递增
B.
是奇函数，且在 (0,+∞)(0,+\infty) 单调递减
C.
是偶函数，且在 (0,+∞)(0,+\infty) 单调递增
D.
是偶函数，且在 (0,+∞)(0,+\infty) 单调递减

2020 · 全国 · 二卷 · 文 · 第 10 题 · 选择题

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12指数函数与对数函数★★★★☆
若 2x−2y<3−x−3−y2^x-2^y<3^{-x}-3^{-y}，则（ ）
A.
ln⁡(y−x+1)>0\ln(y-x+1)>0
B.
ln⁡(y−x+1)<0\ln(y-x+1)<0
C.
ln⁡∣x−y∣>0\ln\lvert x-y\rvert>0
D.
ln⁡∣x−y∣<0\ln\lvert x-y\rvert<0

2020 · 全国 · 二卷 · 文 · 第 12 题 · 选择题

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12函数与初等函数★★★★☆
设函数 f(x)f(x) 的定义域为 R\mathbf{R}，满足 f(x+1)=2f(x)f(x+1)=2f(x)，且当 x∈(0,1]x\in(0,1] 时，f(x)=x(x−1)f(x)=x(x-1). 若对任意 x∈(−∞,m]x\in(-\infty,m]，都有 f(x)≥−89f(x)\ge -\dfrac89，则 mm 的取值范围是（ ）
A.
(−∞,94](-\infty,\dfrac94]
B.
(−∞,73](-\infty,\dfrac73]
C.
(−∞,52](-\infty,\dfrac52]
D.
(−∞,83](-\infty,\dfrac83]

2019 · 全国 · 二卷 · 理 · 第 12 题 · 选择题

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06函数与初等函数★★☆☆☆
设 f(x)f(x) 为奇函数，且当 x≥0x\ge0 时，f(x)=ex−1f(x)=\mathrm{e}^x-1，则当 x<0x<0 时，f(x)=f(x)=（ ）
A.
e−x−1\mathrm{e}^{-x}-1
B.
e−x+1\mathrm{e}^{-x}+1
C.
−e−x−1-\mathrm{e}^{-x}-1
D.
−e−x+1-\mathrm{e}^{-x}+1

2019 · 全国 · 二卷 · 文 · 第 6 题 · 选择题

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03函数与初等函数★★☆☆☆
函数 f(x)=ex−e−xx2f(x)=\dfrac{\mathrm{e}^x-\mathrm{e}^{-x}}{x^2} 的图象大致为（ ）
A.
B.
C.
D.

2018 · 全国 · 二卷 · 理 · 第 3 题 · 选择题

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11函数与初等函数★★★☆☆
已知 f(x)f(x) 是定义域为 (−∞,+∞)(-\infty,+\infty) 的奇函数，满足 f(1−x)=f(1+x)f(1-x)=f(1+x)，若 f(1)=2f(1)=2，则 f(1)+f(2)+f(3)+⋯+f(50)=f(1)+f(2)+f(3)+\cdots+f(50)=（ ）
A.
−50-50
B.
00
C.
22
D.
5050

2018 · 全国 · 二卷 · 理 · 第 11 题 · 选择题

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03函数与初等函数★★☆☆☆
函数 f(x)=ex−e−xx2f(x)=\dfrac{\mathrm{e}^x-\mathrm{e}^{-x}}{x^2} 的图象大致为（ ）.
A.
B.
C.
D.

2018 · 全国 · 二卷 · 文 · 第 3 题 · 选择题

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12函数与初等函数★★★★☆
已知 f(x)f(x) 是定义域为 (−∞,+∞)(-\infty,+\infty) 的奇函数，满足 f(1−x)=f(1+x)f(1-x)=f(1+x). 若 f(1)=2f(1)=2，则 f(1)+f(2)+f(3)+⋯+f(50)=f(1)+f(2)+f(3)+\cdots+f(50)=（ ）.
A.
−50-50
B.
00
C.
22
D.
5050

2018 · 全国 · 二卷 · 文 · 第 12 题 · 选择题

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03函数与初等函数★★☆☆☆
函数 f(x)=log⁡2(x2+2x−3)f(x) = \log_2 (x^2 + 2x - 3) 的定义域是（ ）
A.
[−3,1][-3, 1]
B.
(−3,1)(-3, 1)
C.
(−∞,−3]∪[1,+∞)(-\infty, -3] \cup [1, +\infty)
D.
(−∞,−3)∪(1,+∞)(-\infty, -3) \cup (1, +\infty)

2015 · 重庆 · 文 · 第 3 题 · 选择题

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04函数与初等函数★☆☆☆☆
下列函数为偶函数的是（ ）
A.
f(x)=x−1f(x) = x - 1
B.
f(x)=x2+xf(x) = x^{2} + x
C.
f(x)=2x−2−xf(x)=2^{x}-2^{-x}
D.
f(x)=2x+2−xf(x) = 2^{x} + 2^{-x}

2014 · 重庆 · 文 · 第 4 题 · 选择题

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10函数与初等函数★★★★☆
已知函数
f(x)={1x+1−3,x∈(−1,0],x,x∈(0,1]f(x) = \begin{cases} \frac{1}{x + 1} - 3, & x \in (-1,0],\\ x, & x \in (0,1] \end{cases}
，且 g(x)=f(x)−mx−mg(x) = f(x) - mx - m 在 (−1,1](-1,1] 内有且仅有两个不同的零点，则实数 mm 的取值范围是（ ）
A.
(−94,−2]∪(0,12]\left(-\frac{9}{4}, -2\right] \cup \left(0, \frac{1}{2}\right]
B.
(−114,−2]∪(0,12]\left(-\frac{11}{4}, -2\right] \cup \left(0, \frac{1}{2}\right]
C.
(−94,−2]∪(0,23]\left(-\frac{9}{4}, -2\right] \cup \left(0, \frac{2}{3}\right]
D.
(−114,−2]∪(0,23]\left(-\frac{11}{4}, -2\right] \cup \left(0, \frac{2}{3}\right]

2014 · 重庆 · 文 · 第 10 题 · 选择题

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03函数与初等函数★★☆☆☆
(3−a)(a+6)\sqrt{(3 - a)(a + 6)} （−6⩽a⩽3-6\leqslant a\leqslant 3）的最大值为（ ）
\begin{answer} B \end{answer}
\begin{solution} 在给定区间内，
(3−a)(a+6)=18−3a−a2=814−(a+32)2(3-a)(a+6)=18-3a-a^2=\frac{81}{4}-\left(a+\frac{3}{2}\right)^2
由于平方项满足 (a+32)2⩾0\left(a+\frac{3}{2}\right)^2\geqslant0，所以
(3−a)(a+6)⩽814(3-a)(a+6)\leqslant\frac{81}{4}
等号在 a=−32a=-\frac{3}{2} 时取得. 开平方得原式的最大值为
814=92\sqrt{\frac{81}{4}}=\frac{9}{2}
故选 B. \end{solution}
A.
99
B.
92\frac{9}{2}
C.
33
D.
322\frac{3\sqrt{2}}{2}

2013 · 重庆 · 理 · 第 3 题 · 选择题

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06函数与初等函数★★☆☆☆
若 a<b<ca < b < c，则函数 f(x)=(x−a)(x−b)+(x−b)(x−c)+(x−c)(x−a)f(x) = (x - a)(x - b) + (x - b)(x - c) + (x - c)(x - a) 的两个零点分别位于区间（ ）
\begin{answer} A \end{answer}
\begin{solution} 将函数在三个点处的值分别计算为
f(a)=(a−b)(a−c)>0f(a)=(a-b)(a-c)>0
f(b)=(b−c)(b−a)<0f(b)=(b-c)(b-a)<0
f(c)=(c−a)(c−b)>0f(c)=(c-a)(c-b)>0
由于 f(x)f(x) 是连续函数，由零点存在定理，f(x)f(x) 在 (a,b)(a,b) 内至少有一个零点，在 (b,c)(b,c) 内至少有一个零点.
展开得
f(x)=3x2−2(a+b+c)x+(ab+bc+ca)f(x)=3x^2-2(a+b+c)x+(ab+bc+ca)
这是二次函数，至多有两个零点. 因此它的两个零点分别位于 (a,b)(a,b) 和 (b,c)(b,c) 内，故选 A. \end{solution}
A.
(a,b)(a, b) 和 (b,c)(b, c) 内
B.
(−∞,a)(-\infty, a) 和 (a,b)(a, b) 内
C.
(b,c)(b, c) 和 (c,+∞)(c, +\infty) 内
D.
(−∞,a)(-\infty, a) 和 (c,+∞)(c, +\infty) 内

2013 · 重庆 · 理 · 第 6 题 · 选择题

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03函数与初等函数★☆☆☆☆
函数 y=1log⁡2(x−2)y = \frac{1}{\log_2(x - 2)} 的定义域是（ ）
\begin{answer} C \end{answer} \begin{solution} 对数的真数必须为正，且分母不能为零，所以 x−2>0x-2>0，log⁡2(x−2)≠0\log_2(x-2)\neq0. 第一条件给出 x>2x>2，第二条件给出 x−2≠1x-2\neq1，即 x≠3x\neq3. 因此定义域为
(2,3)∪(3,+∞)(2,3)\cup(3,+\infty)
选 C. \end{solution}
A.
(−∞,2)(-\infty, 2)
B.
(2,+∞)(2, +\infty)
C.
(2,3)∪(3,+∞)(2,3)\cup (3, + \infty)
D.
(2,4)∪(4,+∞)(2,4)\cup (4, + \infty)

2013 · 重庆 · 文 · 第 3 题 · 选择题

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09函数与初等函数★★★☆☆
已知函数 f(x)=ax3+bsin⁡x+4f(x) = ax^3 + b\sin x + 4 （aa，b∈Rb \in \mathbf{R}），f(lg⁡(log⁡210))=5f(\lg (\log_2 10)) = 5，则 f(lg⁡(lg⁡2))=f(\lg (\lg 2)) =（ ）
\begin{answer} C \end{answer} \begin{solution} 令
t=lg⁡(log⁡210)t=\lg(\log_2 10)
由于 log⁡210=1lg⁡2\log_2 10=\frac{1}{\lg2}，有
t=lg⁡(1lg⁡2)=−lg⁡(lg⁡2)t=\lg\left(\frac1{\lg2}\right)=-\lg(\lg2)
函数中的 ax3ax^3 和 bsin⁡xb\sin x 都是奇函数，常数项为 44，所以对任意 xx 有
f(x)+f(−x)=8f(x)+f(-x)=8
题设给出 f(t)=5f(t)=5，而所求量为 f(lg⁡(lg⁡2))=f(−t)f(\lg(\lg2))=f(-t)，故
f(−t)=8−f(t)=8−5=3f(-t)=8-f(t)=8-5=3
所以选 C. \end{solution}
A.
−5-5
B.
−1-1
C.
33
D.
44

2013 · 重庆 · 文 · 第 9 题 · 选择题

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05三角函数★★☆☆☆
设 tan⁡α\tan \alpha，tan⁡β\tan \beta 是方程 x2−3x+2=0x^{2} - 3x + 2 = 0 的两根，则 tan⁡(α+β)\tan (\alpha + \beta) 的值为（ ）
\begin{answer} A \end{answer}
\begin{solution} 由韦达定理， tan⁡α+tan⁡β=3\tan\alpha+\tan\beta=3，tan⁡αtan⁡β=2\tan\alpha\tan\beta=2 由于 1−tan⁡αtan⁡β=−1≠01-\tan\alpha\tan\beta=-1\ne0，正切和公式可用，故
tan⁡(α+β)=tan⁡α+tan⁡β1−tan⁡αtan⁡β=31−2=−3\tan(\alpha+\beta) =\frac{\tan\alpha+\tan\beta}{1-\tan\alpha\tan\beta} =\frac{3}{1-2}=-3
故选 A. \end{solution}
A.
−3-3
B.
−1-1
C.
11
D.
33

2012 · 重庆 · 理 · 第 5 题 · 选择题

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07集合与逻辑基础★★★☆☆
已知 f(x)f(x) 是定义在 R\mathbf{R} 上的偶函数，且以 2 为周期，则 f(x)f(x) 为 [0,1][0,1] 上的增函数是“f(x)f(x) 为 [3,4][3,4] 上的减函数”的（ ）
\begin{answer} D \end{answer}
\begin{solution} 设命题 PP 为“f(x)f(x) 在 [0,1][0,1] 上为增函数”，命题 QQ 为“f(x)f(x) 在 [3,4][3,4] 上为减函数”. 由周期性和偶性，对 x∈[3,4]x\in[3,4] 有
f(x)=f(x−4)=f(4−x)f(x)=f(x-4)=f(4-x)
其中 4−x∈[0,1]4-x\in[0,1].
若 PP 成立，取 3≤x1<x2≤43\le x_{1}<x_{2}\le4，则 4−x1>4−x24-x_{1}>4-x_{2}，于是
f(x1)=f(4−x1)≥f(4−x2)=f(x2)f(x_{1})=f(4-x_{1})\ge f(4-x_{2})=f(x_{2})
所以 QQ 成立. 反之，若 QQ 成立，取 0≤u1<u2≤10\le u_{1}<u_{2}\le1，则 4−u2<4−u14-u_{2}<4-u_{1}，由 QQ 得
f(u2)=f(4−u2)≥f(4−u1)=f(u1)f(u_{2})=f(4-u_{2})\ge f(4-u_{1})=f(u_{1})
所以 PP 成立. 因此 PP 是 QQ 的充要条件，故选 D. \end{solution}
A.
既不充分也不必要的条件
B.
充分而不必要的条件
C.
必要而不充分的条件
D.
充要条件

2012 · 重庆 · 理 · 第 7 题 · 选择题

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10集合与逻辑基础★★★★☆
设平面点集 A={(x,y)∣(y−x)(y−1x)⩾0}A = \left\{(x, y) \mid (y - x)\left(y - \frac{1}{x}\right) \geqslant 0\right\}，B={(x,y)∣(x−1)2+(y−1)2⩽1}B = \{(x, y) \mid (x - 1)^2 + (y - 1)^2 \leqslant 1\}，则 A∩BA \cap B 所表示的平面图形的面积为（ ）
\begin{answer} D \end{answer}
\begin{solution} 圆 BB 的内部是圆心 (1,1)(1,1)、半径 11 的圆盘. 除去边界上的零测集，圆盘内有 x>0x>0，y>0y>0，于是条件可改写为
(y−x)(y−1x)≥0⟺(y−x)(xy−1)≥0(y-x)\left(y-\frac1x\right)\ge0 \quad\Longleftrightarrow\quad (y-x)(xy-1)\ge0
在交换 xx 与 yy 时，圆盘保持不变，而
(y−x)(xy−1)与(x−y)(xy−1)\left(y-x\right)(xy-1) \quad\text{与}\quad \left(x-y\right)(xy-1)
符号相反. 因此，圆盘内满足严格不等式的一点与其关于直线 y=xy=x 的对称点恰有一个属于 AA，边界对面积没有影响. 所以 A∩BA\cap B 占圆盘面积的一半，面积为
12⋅π⋅12=π2\frac12\cdot\pi\cdot1^{2}=\frac\pi2
故选 D. \end{solution}
A.
34π\frac{3}{4}\pi
B.
35π\frac{3}{5}\pi
C.
47π\frac{4}{7}\pi
D.
π2\frac{\pi}{2}

2012 · 重庆 · 理 · 第 10 题 · 选择题

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