数迹
题目列表试卷列表
共找到 26 题
排序：
组题
本页 25 题去组卷
21解析几何★★★★☆
设椭圆 C:x2a2+y2b2=1C:\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1（a>b>0a>b>0） 的右焦点为 FF，点 M(1,32)M\left(1,\dfrac32\right) 在 CC 上，且 MF⊥xMF\perp x 轴.
(1) 求 CC 的方程； (2) 过点 P(4,0)P(4,0) 的直线交 CC 于 AA，BB 两点，NN 为线段 FPFP 的中点，直线 NBNB 交直线 MFMF 于点 QQ，证明：AQ⊥yAQ\perp y 轴.

2024 · 全国 · 甲卷 · 文 · 第 21 题 · 解答题

查看答案和解析
23不等式★★★☆☆
已知 f(x)=2∣x∣+∣x−2∣f(x)=2|x|+|x-2|.
(1) 求不等式 f(x)≤6−xf(x)\le6-x 的解集； (2) 在直角坐标系 xOyxOy 中，求由不等式 f(x)≤yf(x)\le y 与 x+y−6≤0x+y-6\le0 所确定的平面区域的面积.

2023 · 全国 · 乙卷 · 理 · 第 23 题 · 解答题

查看答案和解析
21解析几何★★★★☆
已知椭圆 C:y2a2+x2b2=1C:\dfrac{y^2}{a^2}+\dfrac{x^2}{b^2}=1（a>b>0a>b>0）的离心率为 53\dfrac{\sqrt5}{3}，点 A(−2,0)A(-2,0) 在 CC 上.
(1) 求 CC 的方程； (2) 过点 (−2,3)(-2,3) 的直线交 CC 于 PP，QQ 两点，直线 APAP，AQAQ 与 yy 轴的交点分别为 MM，NN，证明：线段 MNMN 的中点为定点.
\begin{solution} \begin{enumerate} \item 设椭圆的半焦距为 cc，则 c2=a2−b2c^2=a^2-b^2. 由点 A(−2,0)A(-2,0) 在椭圆上，得 b=2b=2. 又由离心率得 c2a2=59\dfrac{c^2}{a^2}=\dfrac59，所以 1−4a2=591-\dfrac{4}{a^2}=\dfrac59，从而 a=3a=3. 因此 CC 的方程为 y29+x24=1\dfrac{y^2}{9}+\dfrac{x^2}{4}=1. \item 过点 (−2,3)(-2,3) 的直线若为 x=−2x=-2，则与椭圆只有一个交点，故由题意可设该直线斜率为 kk，其方程为 y=k(x+2)+3y=k(x+2)+3. 设 P(x1,y1)P(x_1,y_1)，Q(x2,y2)Q(x_2,y_2)，则 x1x_1，x2x_2 是方程
9x2+4(k(x+2)+3)2=369x^2+4\bigl(k(x+2)+3\bigr)^2=36
的两个根，即
(9+4k2)x2+8k(2k+3)x+4(2k+3)2−36=0(9+4k^2)x^2+8k(2k+3)x+4(2k+3)^2-36=0
由韦达定理， x1+x2=−8k(2k+3)9+4k2x_1+x_2=-\frac{8k(2k+3)}{9+4k^2}，x1x2=16k(k+3)9+4k2x_1x_2=\frac{16k(k+3)}{9+4k^2}. 直线 APAP 与 yy 轴的交点纵坐标为 2y1x1+2\dfrac{2y_1}{x_1+2}，而 y1=k(x1+2)+3y_1=k(x_1+2)+3，所以该纵坐标为 2k+6x1+22k+\dfrac{6}{x_1+2}. 同理，点 NN 的纵坐标为 2k+6x2+22k+\dfrac{6}{x_2+2}. 因而线段 MNMN 的中点横坐标为 00，纵坐标为
2k+3(1x1+2+1x2+2)=2k+3x1+x2+4x1x2+2(x1+x2)+42k+3\left(\frac1{x_1+2}+\frac1{x_2+2}\right)=2k+3\frac{x_1+x_2+4}{x_1x_2+2(x_1+x_2)+4}
由上式中的韦达关系， x1+x2+4=12(3−2k)9+4k2x_1+x_2+4=\frac{12(3-2k)}{9+4k^2}，x1x2+2(x1+x2)+4=369+4k2x_1x_2+2(x_1+x_2)+4=\frac{36}{9+4k^2}， 故中点纵坐标为 2k+3⋅3−2k3=32k+3\cdot\dfrac{3-2k}{3}=3. 所以线段 MNMN 的中点为定点 (0,3)(0,3). \end{enumerate} \end{solution}

2023 · 全国 · 乙卷 · 文 · 第 21 题 · 解答题

查看答案和解析
23不等式★★★★☆
已知 f(x)=2∣x∣+∣x−2∣f(x)=2|x|+|x-2|.
(1) 求不等式 f(x)≤6−xf(x)\le6-x 的解集； (2) 在直角坐标系 xOyxOy 中，求不等式组
{f(x)≤y,x+y−6≤0\begin{cases} f(x)\le y,\\ x+y-6\le0 \end{cases}
所确定的平面区域的面积.
\begin{solution} \begin{enumerate} \item 当 x<0x<0 时，f(x)=2−3xf(x)=2-3x；当 0≤x≤20\le x\le2 时，f(x)=x+2f(x)=x+2；当 x>2x>2 时，f(x)=3x−2f(x)=3x-2. 因此
{2−3x≤6−x,x<0,x+2≤6−x,0≤x≤2,3x−2≤6−x,x>2.\begin{cases} 2-3x\le6-x,&x<0,\\ x+2\le6-x,&0\le x\le2,\\ 3x-2\le6-x,&x>2. \end{cases}
第一种情形得 −2≤x<0-2\le x<0，第二种情形得 0≤x≤20\le x\le2，第三种情形无解，所以不等式的解集为 [−2,2][-2,2]. \item 不等式组表示的区域位于曲线 y=f(x)y=f(x) 上方、直线 y=6−xy=6-x 下方. 由第（1）问，区域的横坐标范围为 [−2,2][-2,2]. 当 −2≤x≤0-2\le x\le0 时，上、下边界之差为 (6−x)−(2−3x)=4+2x(6-x)-(2-3x)=4+2x；当 0≤x≤20\le x\le2 时，上、下边界之差为 (6−x)−(x+2)=4−2x(6-x)-(x+2)=4-2x. 因此区域面积为
∫−20(4+2x) dx+∫02(4−2x) dx=4+4=8\int_{-2}^{0}(4+2x)\,\mathrm{d}x+\int_{0}^{2}(4-2x)\,\mathrm{d}x=4+4=8
\end{enumerate} \end{solution}

2023 · 全国 · 乙卷 · 文 · 第 23 题 · 解答题

查看答案和解析
21导数及其应用★★★★★
已知函数 f(x)=ln⁡(1+x)+axe−xf(x)=\ln(1+x)+ax\mathrm{e}^{-x}.
(1) 当 a=1a=1 时，求曲线 y=f(x)y=f(x) 在点 (0,f(0))\left( 0,f(0) \right) 处的切线方程； (2) 若 f(x)f(x) 在区间 (−1,0)(-1,0)，(0,+∞)(0,+\infty) 各恰有一个零点，求 aa 的取值范围.

2022 · 全国 · 乙卷 · 理 · 第 21 题 · 解答题

查看答案和解析
22解析几何★★★☆☆
在直角坐标系 xOyxOy 中，曲线 CC 的参数方程为 x=3cos⁡2tx=\sqrt{3}\cos 2t，y=2sin⁡ty=2\sin t（tt 为参数），以坐标原点为极点，xx 轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知直线 ll 的极坐标方程为 ρsin⁡(θ+π3)+m=0\rho \sin \left( \theta+\frac{\pi}{3} \right)+m=0.
(1) 写出 ll 的直角坐标方程； (2) 若 ll 与 C 有公共点，求 mm 的取值范围.

2022 · 全国 · 乙卷 · 理 · 第 22 题 · 解答题

查看答案和解析
20导数及其应用★★★★☆
已知函数 f(x)=ax−1x−(a+1)ln⁡xf(x)=ax-\dfrac{1}{x}-(a+1)\ln x，x>0x>0.
(1) 当 a=0a=0 时，求 f(x)f(x) 的最大值； (2) 若 f(x)f(x) 恰有一个零点，求 aa 的取值范围.

2022 · 全国 · 乙卷 · 文 · 第 20 题 · 解答题

查看答案和解析
20导数及其应用★★★★☆
已知函数 f(x)=ln⁡x−x+1x−1f(x)=\ln x-\dfrac{x+1}{x-1}.
(1) 讨论 f(x)f(x) 的单调性，并证明 f(x)f(x) 有且仅有两个零点； (2) 设 x0x_0 是 f(x)f(x) 的一个零点，证明曲线 y=ln⁡xy=\ln x 在点 A(x0,ln⁡x0)A(x_0,\ln x_0) 处的切线也是曲线 y=exy=\mathrm{e}^x 的切线.

2019 · 全国 · 二卷 · 理 · 第 20 题 · 解答题

查看答案和解析
21导数及其应用★★★★☆
已知函数 f(x)=(x−1)ln⁡x−x−1f(x)=(x-1)\ln x-x-1. 证明：
(1) f(x)f(x) 存在唯一的极值点； (2) f(x)=0f(x)=0 有且仅有两个实根，且两个实根互为倒数.

2019 · 全国 · 二卷 · 文 · 第 21 题 · 解答题

查看答案和解析
21导数及其应用★★★★★
已知函数 f(x)=ex−ax2f(x)=\mathrm{e}^x-ax^2.
(1) 若 a=1a=1，证明：当 x≥0x\ge0 时，f(x)≥1f(x)\ge1； (2) 若 f(x)f(x) 在 (0,+∞)(0,+\infty) 只有一个零点，求 aa.

2018 · 全国 · 二卷 · 理 · 第 21 题 · 解答题

查看答案和解析
21导数及其应用★★★★☆
已知函数 f(x)=13x3−a(x2+x+1)f(x)=\dfrac13x^3-a(x^2+x+1).
(1) 若 a=3a=3，求 f(x)f(x) 的单调区间； (2) 证明：f(x)f(x) 只有一个零点.

2018 · 全国 · 二卷 · 文 · 第 21 题 · 解答题

查看答案和解析
21函数与初等函数★★★★☆
设 fn(x)f_{n}(x) 是等比数列 11，xx，x2x^{2}，⋯\cdots，xnx^{n} 的各项和，其中 x>0x > 0，n∈Nn \in \mathbf{N}，n⩾2n \geqslant 2.
(1) 证明：函数 Fn(x)=fn(x)−2F_{n}(x) = f_{n}(x) - 2 在 (12,1)\left(\frac{1}{2}, 1\right) 内有且仅有一个零点（记为 xnx_{n}），且 xn=12+12xnn+1x_{n} = \frac{1}{2} + \frac{1}{2}x_{n}^{n+1}； (2) 设有一个与上述等比数列的首项、末项、项数分别相同的等差数列，其各项和为 gn(x)g_{n}(x)，比较 fn(x)f_{n}(x) 和 gn(x)g_{n}(x) 的大小，并加以证明.

2015 · 陕西 · 理 · 第 21 题 · 解答题

查看答案和解析
20解析几何★★★★☆
如图，椭圆 E:x2a2+y2b2=1E: \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1 （a>b>0a > b > 0）经过点 A(0,−1)A(0,-1)，且离心率为 22\frac{\sqrt{2}}{2}.
(1) 求椭圆 EE 的方程； (2) 经过点 (1,1)(1,1)，且斜率为 kk 的直线与椭圆 EE 交于不同的两点 PP，QQ（均异于点 AA），证明：直线 APAP 与 AQAQ 的斜率之和为 2.

2015 · 陕西 · 文 · 第 20 题 · 解答题

查看答案和解析
21导数及其应用★★★★☆
设 fn(x)=x+x2+⋯+xn−1f_{n}(x)=x+x^{2}+\cdots+x^{n}-1，x⩾0x \geqslant 0，n∈Nn \in \mathbf{N}，n⩾2n \geqslant 2.
(1) 求 fn′(2)f_{n}^{\prime}(2)； (2) 证明：fn(x)f_{n}(x) 在 (0,23)\left(0, \frac{2}{3}\right) 内有且仅有一个零点（记为 ana_{n}），且 0<an−12<13(23)n0 < a_{n} - \frac{1}{2} < \frac{1}{3}\left(\frac{2}{3}\right)^{n}.

2015 · 陕西 · 文 · 第 21 题 · 解答题

查看答案和解析
21导数及其应用★★★★★
设函数 f(x)=ln⁡x+mxf(x) = \ln x + \frac{m}{x}，m∈Rm \in \mathbf{R}.
(1) 当 m=em = \mathrm{e}（e\mathrm{e} 为自然对数的底数）时，求 f(x)f(x) 的极小值； (2) 讨论函数 g(x)=f′(x)−x3g(x) = f'(x) - \frac{x}{3} 零点的个数； (3) 若对任意 b>a>0b > a > 0，f(b)−f(a)b−a<1\frac{f(b) - f(a)}{b - a} < 1 恒成立，求 mm 的取值范围.
\begin{solution} \begin{enumerate} \item 当 m=em=\mathrm{e} 时，x>0x>0，且
f′(x)=1x−ex2=x−ex2f'(x)=\frac1x-\frac{\mathrm{e}}{x^2}=\frac{x-\mathrm{e}}{x^2}
因此 f′(x)<0f'(x)<0 在 (0,e)(0,\mathrm{e}) 上成立，f′(x)>0f'(x)>0 在 (e,+∞)(\mathrm{e},+\infty) 上成立，故 x=ex=\mathrm{e} 处取得极小值. 其值为
f(e)=ln⁡e+ee=1+1=2f(\mathrm{e})=\ln\mathrm{e}+\frac{\mathrm{e}}{\mathrm{e}}=1+1=2
\item x>0x>0 时
g(x)=1x−mx2−x3g(x)=\frac1x-\frac{m}{x^2}-\frac{x}{3}
由于 3x2>03x^2>0，g(x)=0g(x)=0 等价于
m=φ(x):=x−x33m=\varphi(x):=x-\frac{x^3}{3}
又
φ′(x)=1−x2\varphi'(x)=1-x^2
所以 φ\varphi 在 (0,1)(0,1) 上递增，在 (1,+∞)(1,+\infty) 上递减，且 φ(0+)=0\varphi(0^+)=0，φ(1)=23\varphi(1)=\frac23，φ(x)→−∞\varphi(x)\to-\infty（x→+∞x\to+\infty）. 因此，当 m>23m>\frac23 时有 00 个零点；当 m=23m=\frac23 或 m⩽0m\leqslant0 时有 11 个零点；当 0<m<230<m<\frac23 时有 22 个零点. \item 令 h(x)=f(x)−xh(x)=f(x)-x. 题设不等式等价于对任意 b>a>0b>a>0 有 h(b)<h(a)h(b)<h(a)，即 hh 在 (0,+∞)(0,+\infty) 上严格递减. 求导得
h′(x)=1x−mx2−1=−x2−x+mx2h'(x)=\frac1x-\frac{m}{x^2}-1=-\frac{x^2-x+m}{x^2}
当 m⩾14m\geqslant\frac14 时，
x2−x+m=(x−12)2+m−14⩾0x^2-x+m=\left(x-\frac12\right)^2+m-\frac14\geqslant0
所以 h′(x)⩽0h'(x)\leqslant0，且至多在一个点取零. 对任意 b>a>0b>a>0，h(b)−h(a)=∫abh′(x) dx<0h(b)-h(a)=\int_a^b h'(x)\,\mathrm dx<0，故 hh 严格递减，题设成立.
当 m<14m<\frac14 时，x2−x+mx^2-x+m 在 x=12x=\frac12 处为负，故在该点附近 h′(x)>0h'(x)>0，可以取 b>a>0b>a>0 使 h(b)>h(a)h(b)>h(a)，题设不成立. 因此
m∈[14,+∞)m\in\left[\frac14,+\infty\right)
\end{enumerate} \end{solution}

2014 · 陕西 · 文 · 第 21 题 · 解答题

查看答案和解析
22解析几何★★★★☆
已知动圆过定点 A(4,0)A(4,0)，且在 yy 轴上截得的弦 MNMN 的长为 88.
(1) 求动圆圆心的轨迹 CC 的方程； (2) 已知点 B(−1,0)B(-1,0)，设不垂直于 xx 轴的直线 ll 与轨迹 CC 交于不同的两点 PP，QQ，若 xx 轴是 ∠PBQ\angle PBQ 的角平分线，证明直线 ll 过定点.

2013 · 陕西 · 理 · 第 22 题 · 解答题

查看答案和解析
21函数与初等函数★★★★☆
设函数 fn(x)=xn+bx+cf_{n}(x) = x^{n} + bx + c（n∈N+n \in \mathbf{N}_+，bb，c∈Rc \in \mathbf{R}）.
(1) 设 n⩾2n \geqslant 2，b=1b = 1，c=−1c = -1，证明：fn(x)f_n(x) 在区间 (12,1)\left(\frac{1}{2}, 1\right) 内存在唯一零点. (2) 设 n=2n = 2，若对任意 x1x_1，x2∈[−1,1]x_2 \in [-1, 1]，有 ∣f2(x1)−f2(x2)∣⩽4|f_2(x_1) - f_2(x_2)| \leqslant 4，求 bb 的取值范围. (3) 在第（1）问的条件下，设 xnx_{n} 是 fn(x)f_{n}(x) 在 (12,1)\left(\frac{1}{2}, 1\right) 内的零点，判断数列 x2x_{2}，x3x_{3}，⋯\cdots，xnx_{n}，⋯\cdots 的增减性.

2012 · 陕西 · 理 · 第 21 题 · 解答题

查看答案和解析
21函数与初等函数★★★★★
设函数 fn(x)=xn+bx+cf_n(x) = x^n + bx + c（n∈N+n \in \mathbf{N}_+，bb，c∈Rc \in \mathbf{R}）.
(1) 设 n⩾2n \geqslant 2，b=1b = 1，c=−1c = -1，证明：fn(x)f_n(x) 在区间 (12,1)\left(\frac{1}{2}, 1\right) 内存在唯一零点； (2) 设 nn 为偶数，∣fn(−1)∣⩽1|f_n(-1)| \leqslant 1，∣fn(1)∣⩽1|f_n(1)| \leqslant 1，求 b+3cb + 3c 的最小值和最大值； (3) 设 n=2n = 2，若对任意 x1x_1，x2∈[−1,1]x_2 \in [-1, 1]，有 ∣f2(x1)−f2(x2)∣⩽4|f_2(x_1) - f_2(x_2)| \leqslant 4，求 bb 的取值范围.

2012 · 陕西 · 文 · 第 21 题 · 解答题

查看答案和解析
19解析几何★★★☆☆
设椭圆 C:x2a2+y2b2=1C: \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1（a>b>0a > b > 0）过点 (0,4)(0,4)，离心率为 35\frac{3}{5}.
(1) 求 CC 的方程； (2) 求过点 (3,0)(3,0) 且斜率为 45\frac{4}{5} 的直线被 CC 所截线段的中点坐标.

2011 · 陕西 · 文 · 第 19 题 · 解答题

查看答案和解析
23导数及其应用★★★★☆
设 f(x)=ln⁡xf(x) = \ln x，g(x)=f(x)+f′(x)g(x) = f(x) + f'(x).
(1) 求 g(x)g(x) 的单调区间和最小值； (2) 讨论 g(x)g(x) 与 g(1x)g\left(\frac{1}{x}\right) 的大小关系； (3) 求 aa 的取值范围，使得 g(a)−g(x)<1ag(a) - g(x) < \frac{1}{a} 对任意 x>0x > 0 成立.

2011 · 陕西 · 文 · 第 23 题 · 解答题

查看答案和解析
20解析几何★★★★☆
如图，椭圆 C:x2a2+y2b2=1C : \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1 的顶点为 A1A_1，A2A_2，B1B_1，B2B_2，焦点为 F1F_1，F2F_2，∣A1B1∣=7|A_1B_1| = \sqrt{7}，S□A1B1A2B2=2S□B1F1B2F2S_{\square A_1B_1A_2B_2} = 2S_{\square B_1F_1B_2F_2}.
(1) 求椭圆 CC 的方程； (2) 设 nn 是过原点的直线，ll 是与 nn 垂直相交于 PP 点，与椭圆相交于 AA，BB 两点的直线，OP‾=1\overline{OP} = 1. 是否存在上述直线 ll 使 AP→⋅PB→=1\overrightarrow{AP} \cdot \overrightarrow{PB} = 1 成立？若存在，求出直线 ll 的方程；若不存在，请说明理由.

2010 · 陕西 · 理 · 第 20 题 · 解答题

查看答案和解析
20解析几何★★★★☆
如图，椭圆 C:x2a2+y2b2=1C: \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1 的顶点为 A1A_1，A2A_2，B1B_1，B2B_2，焦点为 F1F_1，F2F_2，∣A1B1∣=7|A_1B_1| = \sqrt{7}，S□A1B1A2B2=2S□B1F1B2F2S_{\square A_1B_1A_2B_2} = 2S_{\square B_1F_1B_2F_2}.
(1) 求椭圆 CC 的方程. (2) 设 nn 是过原点的直线，ll 是与 nn 垂直相交于 PP 点，与椭圆相交于 AA，BB 两点的直线，OP‾=1\overline{OP}=1. 是否存在上述直线 ll 使 AP→⋅PB→=1\overrightarrow{AP}\cdot\overrightarrow{PB}=1 成立？若存在，求出直线 ll 的方程；若不存在，请说明理由.

2010 · 陕西 · 文 · 第 20 题 · 解答题

查看答案和解析
21解析几何★★★★☆
已知双曲线 CC 的方程为 y2a2−x2b2=1\frac{y^{2}}{a^{2}} - \frac{x^{2}}{b^{2}} = 1（a>0a > 0，b>0b > 0），离心率 e=52e = \frac{\sqrt{5}}{2}，顶点到渐近线的距离为 255\frac{2\sqrt{5}}{5}.
(1) 求双曲线 CC 的方程； (2) 如图，PP 是双曲线 CC 上一点，AA，BB 两点在双曲线 CC 的两条渐近线上，且分别位于第一、二象限. 若 AP→=λPB→\overrightarrow{AP} = \lambda \overrightarrow{PB}，λ∈[13,2]\lambda \in \left[\frac{1}{3}, 2\right]，求 △AOB\triangle AOB 面积的取值范围.

2009 · 陕西 · 理 · 第 21 题 · 解答题

查看答案和解析
20解析几何★★★★☆
已知抛物线 C:y=2x2C: y = 2x^2，直线 y=kx+2y = kx + 2 交 CC 于 AA，BB 两点. MM 是线段 ABAB 的中点，过 MM 作 xx 轴的垂线交 CC 于点 NN.
(1) 证明：抛物线 CC 在点 NN 处的切线与 ABAB 平行； (2) 是否存在实数 kk 使 NA→⋅NB→=0\overrightarrow{NA} \cdot \overrightarrow{NB} = 0. 若存在，求 kk 的值；若不存在，说明理由.

2008 · 陕西 · 理 · 第 20 题 · 解答题

查看答案和解析
20函数与初等函数★★★★☆
设函数 f(x)=exx2+ax+af(x) = \frac{\mathrm{e}^x}{x^2 + a x + a}，其中 aa 为实数.
(1) 若 f(x)f(x) 的定义域为 R\mathbf{R}，求 aa 的取值范围； (2) 当 f(x)f(x) 的定义域为 R\mathbf{R} 时，求 f(x)f(x) 的单调减区间.

2007 · 陕西 · 理 · 第 20 题 · 解答题

查看答案和解析