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2215分导数及其应用★★★★★
已知函数 f(x)=ex−axf(x)=\mathrm{e}^x-ax，g(x)=ax−ln⁡xg(x)=ax-\ln x 有相同的最小值.
(1) 求 aa； (2) 证明：存在直线 y=by=b，其与两条曲线 y=f(x)y=f(x) 和 y=g(x)y=g(x) 共有三个不同的交点，并且从左到右的三个交点的横坐标成等差数列.

2022 · 全国 · 新高考一卷 · 第 22 题 · 解答题

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21导数及其应用★★★★★
已知函数 f(x)=exx−ln⁡x+x−af(x)=\frac{\mathrm{e}^x}{x}-\ln x+x-a.
(1) 若 f(x)≥0f(x)\ge 0，求 aa 的取值范围； (2) 证明：若 f(x)f(x) 有两个零点 x1x_1，x2x_2，则 x1x2<1x_1x_2<1.

2022 · 全国 · 甲卷 · 理 · 第 21 题 · 解答题

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21导数及其应用★★★★★
已知函数 f(x)=ln⁡(1+x)+axe−xf(x)=\ln(1+x)+ax\mathrm{e}^{-x}.
(1) 当 a=1a=1 时，求曲线 y=f(x)y=f(x) 在点 (0,f(0))\left( 0,f(0) \right) 处的切线方程； (2) 若 f(x)f(x) 在区间 (−1,0)(-1,0)，(0,+∞)(0,+\infty) 各恰有一个零点，求 aa 的取值范围.

2022 · 全国 · 乙卷 · 理 · 第 21 题 · 解答题

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22解析几何★★★☆☆
在直角坐标系 xOyxOy 中，曲线 CC 的参数方程为 x=3cos⁡2tx=\sqrt{3}\cos 2t，y=2sin⁡ty=2\sin t（tt 为参数），以坐标原点为极点，xx 轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知直线 ll 的极坐标方程为 ρsin⁡(θ+π3)+m=0\rho \sin \left( \theta+\frac{\pi}{3} \right)+m=0.
(1) 写出 ll 的直角坐标方程； (2) 若 ll 与 C 有公共点，求 mm 的取值范围.

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20导数及其应用★★★★☆
已知函数 f(x)=ax−1x−(a+1)ln⁡xf(x)=ax-\dfrac{1}{x}-(a+1)\ln x，x>0x>0.
(1) 当 a=0a=0 时，求 f(x)f(x) 的最大值； (2) 若 f(x)f(x) 恰有一个零点，求 aa 的取值范围.

2022 · 全国 · 乙卷 · 文 · 第 20 题 · 解答题

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18指数函数与对数函数★★★★☆
设 aa 为常数，f(x)=log⁡3(a+x)+log⁡3(6−x)f(x)=\log_3(a+x)+\log_3(6-x).
(1) 若将函数 y=f(x)y=f(x) 的图像向下平移 mm（m>0m>0）个单位后，其图像经过 (3,0)(3,0)，(5,0)(5,0) 两点，求实数 aa 和 mm 的值； (2) 若 a>−3a>-3 且 a≠0a\ne0，解不等式 f(x)≤f(6−x)f(x)\le f(6-x).

2022 · 上海 · 第 18 题 · 解答题

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21函数与初等函数★★★★★
已知函数 f(x)f(x)，甲变化：f(x)−f(x−t)f(x)-f(x-t)；乙变化：∣f(x+t)−f(x)∣\lvert f(x+t)-f(x)\rvert，t>0t>0.
(1) 若 t=1t=1，f(x)=2xf(x)=2^x，f(x)f(x) 经甲变化得到 g(x)g(x)，求方程 g(x)=2g(x)=2 的解； (2) 若 f(x)=x2f(x)=x^2，f(x)f(x) 经乙变化得到 h(x)h(x)，求不等式 h(x)≤f(x)h(x)\le f(x) 的解集； (3) 若 f(x)f(x) 在 (−infty,0)(-infty,0) 上单调递增，将 f(x)f(x) 先进行甲变化得到 u(x)u(x)，再将 u(x)u(x) 进行乙变化得到 h1(x)h_1(x)；将 f(x)f(x) 先进行乙变化得到 v(x)v(x)，再将 v(x)v(x) 进行甲变化得到 h2(x)h_2(x)，若对任意 t>0t>0，总存在 h1(x)=h2(x)h_1(x)=h_2(x) 成立，求证：f(x)f(x) 在 R\mathbf{R} 上单调递增.

2022 · 上海 · 春季 · 第 21 题 · 解答题

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