某研究小组经过研究发现某种疾病的患病者与未患病者的某项医学指标有明显差异. 经过大量调查，得到如下的患病者和未患病者该项指标的频率分布直方图：

利用该指标制定一个检测标准，需要确定临界值 $c$，将该指标大于 $c$ 的人判定为阳性，小于或等于 $c$ 的人判定为阴性. 此检测标准的漏诊率是将患病者判定为阴性的概率，记为 $p(c)$；误诊率是将未患病者判定为阳性的概率，记为 $q(c)$. 假设数据在组内均匀分布，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率.

(1) 当漏诊率 $p(c)=0.5\%$ 时，求临界值 $c$ 和误诊率 $q(c)$； (2) 设函数 $f(c)=p(c)+q(c)$. 当 $c\in[95,105]$ 时，求 $f(c)$ 的解析式，并求 $f(c)$ 在区间 $[95,105]$ 的最小值.

已知 $f(x)=2|x-a|-a$，$a>0$.

(1) 求不等式 $f(x)<x$ 的解集； (2) 若曲线 $y=f(x)$ 与 $x$ 轴所围成的图形的面积为 $2$，求 $a$.

已知 $f(x)=2|x|+|x-2|$.

(1) 求不等式 $f(x)\le6-x$ 的解集； (2) 在直角坐标系 $xOy$ 中，求由不等式 $f(x)\le y$ 与 $x+y-6\le0$ 所确定的平面区域的面积.

已知椭圆 $C:\dfrac{y^2}{a^2}+\dfrac{x^2}{b^2}=1$（$a>b>0$）的离心率为 $\dfrac{\sqrt5}{3}$，点 $A(-2,0)$ 在 $C$ 上.

(1) 求 $C$ 的方程； (2) 过点 $(-2,3)$ 的直线交 $C$ 于 $P$，$Q$ 两点，直线 $AP$，$AQ$ 与 $y$ 轴的交点分别为 $M$，$N$，证明：线段 $MN$ 的中点为定点.

\begin{solution} \begin{enumerate} \item 设椭圆的半焦距为 $c$，则 $c^2=a^2-b^2$. 由点 $A(-2,0)$ 在椭圆上，得 $b=2$. 又由离心率得 $\dfrac{c^2}{a^2}=\dfrac59$，所以 $1-\dfrac{4}{a^2}=\dfrac59$，从而 $a=3$. 因此 $C$ 的方程为 $\dfrac{y^2}{9}+\dfrac{x^2}{4}=1$. \item 过点 $(-2,3)$ 的直线若为 $x=-2$，则与椭圆只有一个交点，故由题意可设该直线斜率为 $k$，其方程为 $y=k(x+2)+3$. 设 $P(x_1,y_1)$，$Q(x_2,y_2)$，则 $x_1$，$x_2$ 是方程 的两个根，即 由韦达定理， $x_1+x_2=-\frac{8k(2k+3)}{9+4k^2}$，$x_1x_2=\frac{16k(k+3)}{9+4k^2}$. 直线 $AP$ 与 $y$ 轴的交点纵坐标为 $\dfrac{2y_1}{x_1+2}$，而 $y_1=k(x_1+2)+3$，所以该纵坐标为 $2k+\dfrac{6}{x_1+2}$. 同理，点 $N$ 的纵坐标为 $2k+\dfrac{6}{x_2+2}$. 因而线段 $MN$ 的中点横坐标为 $0$，纵坐标为 由上式中的韦达关系， $x_1+x_2+4=\frac{12(3-2k)}{9+4k^2}$，$x_1x_2+2(x_1+x_2)+4=\frac{36}{9+4k^2}$， 故中点纵坐标为 $2k+3\cdot\dfrac{3-2k}{3}=3$. 所以线段 $MN$ 的中点为定点 $(0,3)$. \end{enumerate} \end{solution}

已知 $f(x)=2|x|+|x-2|$.

(1) 求不等式 $f(x)\le6-x$ 的解集； (2) 在直角坐标系 $xOy$ 中，求不等式组 所确定的平面区域的面积.

\begin{solution} \begin{enumerate} \item 当 $x<0$ 时，$f(x)=2-3x$；当 $0\le x\le2$ 时，$f(x)=x+2$；当 $x>2$ 时，$f(x)=3x-2$. 因此 第一种情形得 $-2\le x<0$，第二种情形得 $0\le x\le2$，第三种情形无解，所以不等式的解集为 $[-2,2]$. \item 不等式组表示的区域位于曲线 $y=f(x)$ 上方、直线 $y=6-x$ 下方. 由第（1）问，区域的横坐标范围为 $[-2,2]$. 当 $-2\le x\le0$ 时，上、下边界之差为 $(6-x)-(2-3x)=4+2x$；当 $0\le x\le2$ 时，上、下边界之差为 $(6-x)-(x+2)=4-2x$. 因此区域面积为 \end{enumerate} \end{solution}

设椭圆 $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$（$a>b>0$） 的左，右顶点分别为 $A_1$，$A_2$，右焦点为 $F$，已知 $|A_1F|=3$，$|A_2F|=1$.

(1) 求椭圆方程及其离心率； (2) 已知点 $P$ 是椭圆上一动点（不与端点重合），直线 $A_2P$ 交 $y$ 轴于点 $Q$，若三角形 $A_1PQ$ 的面积是三角形 $A_2FP$ 面积的二倍，求直线 $A_2P$ 的方程.

设函数 $f(x)=\frac{x^2+(3a+1)x+c}{x+a}$，$a$，$c\in\mathbf{R}$

(1) 当 $a=0$ 时，是否存在实数 $c$，使得 $y=f(x)$ 为奇函数，请说明理由； (2) 若函数 $y=f(x)$ 的图像过点 $(1,3)$，且其与 $x$ 轴的负半轴有两个不同的交点，求 $c$ 的值及 $a$ 的取值范围.