关于定义域为 $\mathbf{R}$ 的函数 $f(x)$，以下说法正确的有（ ）

已知 $f(x)=ax-(\ln x)^2$.

(1) 当 $a=1$ 时，求 $f(x)$ 在点 $(1,f(1))$ 处的切线方程； (2) 当 $f(x)$ 有三个零点 $x_1<x_2<x_3$ 时，

(i) 求 $a$ 的取值范围； (ii) 证明 $(\ln x_2-\ln x_1)\cdot \ln x_3<\frac{4\mathrm{e}}{\mathrm{e}-1}$.

已知函数 $y=f(x)$ 定义域为 $\mathbf{R}$. 对于正实数 $a$，定义集合 $M_a=\{x\mid f(x+a)=f(x)\}$.

(1) 若 $f(x)=\sin x$，判断 $\dfrac{\pi}{3}$ 是否是 $M_{\pi}$ 的元素，请说明理由； (2) 若 $f(x)=x+2$（$x<0$），$f(0)=0$，且当 $x>0$ 时 $f(x)=\sqrt{x}$，$M_a\neq\varnothing$，求 $a$ 的取值范围； (3) 若 $y=f(x)$ 是偶函数，当 $x\in(0,1]$ 时 $f(x)=1-x$，且对任意 $a\in(0,2)$，有 $M_a\subset M_2$. 写出 $f(x)$ 在 $x\in(1,2)$ 的解析式，并证明：对任意实数 $c$，函数 $f(x)-c$ 在 $[-3,3]$ 上至多有9个零点.

已知函数 $y=f(x)$ 的定义域是 $D$. 对于 $t\in D$，定义集合 $S_f(t)=\{x\mid f(x)\ge f(t)\}$.

(1) $f(x)=\log_2x$，求 $S_f(16)$； (2) 对于集合 $A$，若对任意 $x\in A$ 都有 $-x\in A$，则称 $A$ 是对称集. 若 $D$ 是对称集，证明：“函数 $y=f(x)$ 是偶函数”的充要条件是“对任意 $t\in D$，$S_f(t)$ 是对称集”； (3) 若 $x\in\mathbf{R}$，$f(x)=\mathrm{e}^x-\dfrac12mx^2$. 求 $m$ 的取值范围，使得对于任意 $t_1<t_2\in D$，都有 $S_f(t_2)\subseteq S_f(t_1)$.