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07不等式★★☆☆☆
已知 a2+4b2=1a^2+4b^2=1，则 abab 的最大值为______.

2026 · 上海 · 第 7 题 · 填空题

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02不等式★☆☆☆☆
设 x∈Rx\in\mathbf{R}，不等式 x−1x−3<0\frac{x-1}{x-3}<0 的解集为______.

2025 · 上海 · 第 2 题 · 填空题

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08不等式★★☆☆☆
设 aa，b>0b>0，若 a+1b=1a+\frac1b=1，则 b+1ab+\frac1a 的最小值为______.

2025 · 上海 · 第 8 题 · 填空题

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03不等式★☆☆☆☆
已知 x∈Rx\in \mathbf{R}，则不等式 x2−2x−3<0x^2-2x-3<0 的解集为______.

2024 · 上海 · 第 3 题 · 填空题

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01不等式★☆☆☆☆
设 x∈Rx\in\mathbf{R}，不等式 ∣x−2∣<1\left|x-2\right|<1 的解集为______.

2023 · 上海 · 第 1 题 · 填空题

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06不等式★★☆☆☆
若实数 xx，yy 满足 x−y≤0x-y\le0，x+y−1≥0x+y-1\ge0，则 z=x+2yz=x+2y 的最小值为______.

2022 · 上海 · 第 6 题 · 填空题

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07不等式★★★☆☆
已知 x≤3x\le 3，2x−y−2≥02x-y-2\ge 0，3x+y−8≥03x+y-8\ge 0，z=x−yz=x-y，则 zz 的最大值为______.

2021 · 上海 · 第 7 题 · 填空题

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05不等式★★☆☆☆
已知 xx，yy 满足 x+y−2≥0x+y-2\ge0，x+2y−3≤0x+2y-3\le0，y≥0y\ge0， 则 z=y−2xz=y-2x 的最大值为______.

2020 · 上海 · 第 5 题 · 填空题

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05不等式★★☆☆☆
已知 xx，yy 满足
{x≥0,y≥0,x+y≤2\begin{cases} x\ge0,\\ y\ge0,\\ x+y\le2 \end{cases}
，求 z=2x−3yz=2x-3y 的最小值为______.

2019 · 上海 · 第 5 题 · 填空题

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03不等式★☆☆☆☆
不等式 x−1x>1\dfrac{x-1}{x}>1 的解集为______.

2017 · 上海 · 第 3 题 · 填空题

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01不等式★☆☆☆☆
设 x∈Rx\in\mathbf{R}，则不等式 ∣x−3∣<1|x-3|<1 的解集为______.

2016 · 上海 · 理 · 第 1 题 · 填空题

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10解析几何★★★☆☆
设 a>0a>0，b>0b>0，若关于 xx，yy 的方程组
{ax+y=1,x+by=1\begin{cases} ax+y=1,\\ x+by=1 \end{cases}
无解，则 a+ba+b 的取值范围是______.

2016 · 上海 · 理 · 第 10 题 · 填空题

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01不等式★☆☆☆☆
设 x∈Rx\in\mathbf{R}，则不等式 ∣x−3∣<1|x-3|<1 的解集为______.

2016 · 上海 · 文 · 第 1 题 · 填空题

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07不等式★★☆☆☆
若 xx，yy 满足
{x≥0,y≥0,y≥x+1\begin{cases} x\ge0,\\ y\ge0,\\ y\ge x+1 \end{cases}
， 则 x−2yx-2y 的最大值为______.

2016 · 上海 · 文 · 第 7 题 · 填空题

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13不等式★★★☆☆
设 a>0a>0，b>0b>0，若关于 xx，yy 的方程组
{ax+y=1,x+by=1\begin{cases} ax+y=1,\\ x+by=1 \end{cases}
无解，则 a+ba+b 的取值范围是______.

2016 · 上海 · 文 · 第 13 题 · 填空题

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09不等式★★☆☆☆
若 xx，yy 满足
{x−y⩾0,x+y⩽2,y⩾0,\begin{cases} x - y \geqslant 0,\\ x + y \leqslant 2,\\ y \geqslant 0, \end{cases}
则目标函数 f=x+2yf = x + 2y 的最大值为______.

2015 · 上海 · 文 · 第 9 题 · 填空题

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05不等式★★☆☆☆
若实数 xx，yy 满足 xy=1xy = 1，则 x2+2y2x^2 + 2y^2 的最小值为______.

2014 · 上海 · 理 · 第 5 题 · 填空题

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03不等式★☆☆☆☆
设常数 a∈Ra \in \mathbf{R}，函数 f(x)=∣x−1∣+∣x2−a∣f(x) = |x - 1| + |x^2 - a|，若 f(2)=1f(2) = 1，则 f(1)=f(1) =______.
\begin{answer} 33 \end{answer}
\begin{solution} 由 f(2)=∣2−1∣+∣4−a∣=1+∣4−a∣=1f(2)=|2-1|+|4-a|=1+|4-a|=1，得 ∣4−a∣=0|4-a|=0，所以 a=4a=4. 因此 f(1)=∣1−1∣+∣1−4∣=3f(1)=|1-1|+|1-4|=3. \end{solution}

2014 · 上海 · 文 · 第 3 题 · 填空题

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06不等式★★☆☆☆
若实数 xx，yy 满足 xy=1xy = 1，则 x2+2y2x^2 + 2y^2 的最小值为______.
\begin{answer} 222\sqrt{2} \end{answer}
\begin{solution} 由 xy=1xy=1 知 x≠0x\ne0，且 y2=1x2y^2=\dfrac{1}{x^2}. 令 u=x2>0u=x^2>0，则 x2+2y2=u+2u⩾22x^2+2y^2=u+\dfrac{2}{u}\geqslant2\sqrt{2}，其中等号成立当且仅当 u=2u=\sqrt2. 此时可取 x=214x=2^{\frac{1}{4}}、y=2−14y=2^{-\frac{1}{4}}，满足 xy=1xy=1，所以最小值为 222\sqrt2. \end{solution}

2014 · 上海 · 文 · 第 6 题 · 填空题

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09函数与初等函数★★★☆☆
设
f(x)={(x−a)2,x⩽0,x+1x+a,x>0,f(x) = \begin{cases} (x - a)^2, & x \leqslant 0,\\ x + \frac{1}{x} + a, & x > 0, \end{cases}
若 f(0)f(0) 是 f(x)f(x) 的最小值，则 aa 的取值范围为______.
\begin{answer} [0,2]\left[0,2\right] \end{answer}
\begin{solution} 有 f(0)=a2f(0)=a^2. 若 a<0a<0，则点 x=a⩽0x=a\leqslant0 属于第一段定义域，且 f(a)=0<a2=f(0)f(a)=0<a^2=f(0)，不合题意，所以必须有 a⩾0a\geqslant0. 此时对任意 x⩽0x\leqslant0，有 a−x⩾aa-x\geqslant a，从而 f(x)=(a−x)2⩾a2=f(0)f(x)=(a-x)^2\geqslant a^2=f(0). 对任意 x>0x>0，由基本不等式得 x+1x+a⩾2+ax+\dfrac1x+a\geqslant2+a，且在 x=1x=1 时取等号. 因而 f(0)f(0) 为全局最小值的充要条件是 a2⩽a+2a^2\leqslant a+2. 联立 a⩾0a\geqslant0，得 (a−2)(a+1)⩽0(a-2)(a+1)\leqslant0，所以 0⩽a⩽20\leqslant a\leqslant2. \end{solution}

2014 · 上海 · 文 · 第 9 题 · 填空题

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11不等式★★☆☆☆
若 f(x)=x23−x−12f(x) = x^{\frac{2}{3}} - x^{-\frac{1}{2}}，则满足 f(x)<0f(x) < 0 的 xx 的取值范围是______.
\begin{answer} (0,1)\left(0,1\right) \end{answer}
\begin{solution} 由于含有 x−12=1xx^{-\frac{1}{2}}=\dfrac1{\sqrt x}，函数定义域为 x>0x>0. 在此范围内，f(x)<0f(x)<0 等价于 x23<x−12x^{\frac{2}{3}}<x^{-\frac{1}{2}}. 两边同乘正数 x12x^{\frac{1}{2}}，得 x76<1x^{\frac{7}{6}}<1，所以 0<x<10<x<1. \end{solution}

2014 · 上海 · 文 · 第 11 题 · 填空题

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03不等式★★☆☆☆
若
∣x2y2−11∣=∣xxy−y∣\left|\begin{matrix}x^2 & y^2 \\ -1 & 1\end{matrix}\right| = \left|\begin{matrix}x & x \\ y & -y\end{matrix}\right|
，则 x+y=x+y=______. \begin{answer} 00 \end{answer}
\begin{solution} 计算两个行列式，原等式化为
x2+y2=−2xyx^2+y^2=-2xy
移项得
x2+2xy+y2=(x+y)2=0x^2+2xy+y^2=(x+y)^2=0
所以 x+y=0x+y=0. \end{solution}

2013 · 上海 · 理 · 第 3 题 · 填空题

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12函数与初等函数★★★★☆
设 aa 为实常数，y=f(x)y=f(x) 是定义在 R\mathbf{R} 上的奇函数，当 x<0x<0 时， f(x)=9x+a2x+7f(x)=9x+\frac{a^2}{x}+7. 若 f(x)⩾a+1f(x)\geqslant a+1 对一切 x⩾0x\geqslant 0 成立，则 aa 的取值范围为______. \begin{answer} (−∞,−87]\left(-\infty,-\frac{8}{7}\right] \end{answer}
\begin{solution} 奇函数满足 f(0)=0f(0)=0，由题设不等式在 x=0x=0 时得 0⩾a+10\geqslant a+1，即 a⩽−1a\leqslant-1，所以 a<0a<0. 当 x>0x>0 时，由奇性和题设中负数部分的表达式，
f(x)=−f(−x)=9x+a2x−7f(x)=-f(-x)=9x+\frac{a^2}{x}-7
故所需条件等价于 9x+a2x⩾a+89x+\frac{a^2}{x}\geqslant a+8，x>0x>0. 因为 a<0a<0，由基本不等式
9x+a2x⩾29x⋅a2x=6∣a∣=−6a9x+\frac{a^2}{x}\geqslant2\sqrt{9x\cdot\frac{a^2}{x}}=6|a|=-6a
且在 x=−a3>0x=\frac{-a}{3}>0 时取等号. 因此上式对所有 x>0x>0 成立，当且仅当
−6a⩾a+8-6a\geqslant a+8
即 a⩽−87a\leqslant-\frac87. 该范围自动满足 a⩽−1a\leqslant-1，所以
a∈(−∞,−87]a\in\left(-\infty,-\frac87\right]
\end{solution}

2013 · 上海 · 理 · 第 12 题 · 填空题

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01不等式★☆☆☆☆
不等式 x2x−1<0\frac{x}{2x - 1} < 0 的解为______.
\begin{answer} 0<x<120 < x < \frac{1}{2} \end{answer}
\begin{solution} 分式有意义要求 x≠12x\ne\frac{1}{2}. 分式小于零，说明分子与分母异号，即 x>0x>0 且 2x−1<02x-1<0，或 x<0x<0 且 2x−1>02x-1>0. 后一种情形无解，前一种情形给出 0<x<120<x<\frac{1}{2}. 所以不等式的解集为 0<x<120<x<\frac{1}{2}. \end{solution}

2013 · 上海 · 文 · 第 1 题 · 填空题

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13不等式★★★☆☆
设常数 a>0a > 0. 若 9x+a2x⩾a+19x + \frac{a^2}{x} \geqslant a + 1 对一切正实数 xx 成立，则 aa 的取值范围为______.
\begin{answer} a⩾15a \geqslant \frac{1}{5} \end{answer}
\begin{solution} 因为 a>0a>0、x>0x>0，由基本不等式
9x+a2x⩾29x⋅a2x=6a9x+\frac{a^2}{x}\geqslant2\sqrt{9x\cdot\frac{a^2}{x}}=6a
当 9x=a2x9x=\frac{a^2}{x}，即 x=a3>0x=\frac{a}{3}>0 时等号成立，所以左端的最小值为 6a6a. 题设不等式对一切正实数 xx 成立，当且仅当 6a⩾a+16a\geqslant a+1，即 a⩾15a\geqslant\frac15. \end{solution}

2013 · 上海 · 文 · 第 13 题 · 填空题

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