数迹
题目列表试卷列表
共找到 23 题
排序：
组题
本页 23 题去组卷
19不等式★★★★☆
已知 a∈Ra\in \mathbf{R}，函数 f(x)=x2+ax+3f(x)=x^2+ax+3，g(x)=4x+1x2g(x)=4x+\frac{1}{x^2}.
(1) 解不等式 f(x)+1x2>g(x)f(x)+\frac{1}{x^2}>g(x)； (2) a≠0a\neq 0. l1l_1 是 f(x)f(x) 在点 (0,3)\left( 0,3 \right) 处的切线，l2l_2 是过点 (0,3)\left( 0,3 \right) 且垂直于 l1l_1 的直线. g(x)g(x) 与 l1l_1，l2l_2 在第一象限内均无公共点，求 aa 的取值范围.

2026 · 上海 · 第 19 题 · 解答题

查看答案和解析
21函数与初等函数★★★★★
(i,j,k)\left( i,j,k \right) 是 11，22，33 的一个排列. 对函数 f1(x)f_1(x)，f2(x)f_2(x)，f3(x)f_3(x)，对于任意 x∈Ix\in I，都有 f1(x)≤fi(x)f_1(x)\le f_i(x) 且 f1(x)+f2(x)≤fi(x)+fj(x)f_1(x)+f_2(x)\le f_i(x)+f_j(x)，则称 (i,j,k)\left( i,j,k \right) 是关于 f1(x)f_1(x)，f2(x)f_2(x)，f3(x)f_3(x) 的一个 II 排列. 关于 f1(x)f_1(x)，f2(x)f_2(x)，f3(x)f_3(x) 的 II 排列总数记为 nIn_I.
(1) 对 I=[3,+∞)I=\left[ 3,+\infty \right)，f1(x)=xf_1(x)=x，f2(x)=0f_2(x)=0，f3(x)=x2+1f_3(x)=x^2+1，判断 (3,1,2)\left( 3,1,2 \right) 是否为 II 排列； (2) 对 I=(0,+∞)I=\left( 0,+\infty \right)，f1(x)=x−1f_1(x)=x-1，f2(x)=x+mf_2(x)=x+m，f3(x)=x2f_3(x)=x^2 满足条件的 nI=6n_I=6，求 mm 的取值范围； (3) 对任意 x∈[0,+∞)x\in \left[ 0,+\infty \right)，都有 0<F′(x)<10<F'(x)<1. 令 I=[a,+∞)I=\left[ a,+\infty \right)，f1(x)=F′(x)f_1(x)=F'(x)，f2(x)=12(F′(x+a)+F′(x−a))f_2(x)=\frac{1}{2}\left( F'\left( x+a \right)+F'\left( x-a \right) \right)，f3(x)=1−e−xf_3(x)=1-\mathrm{e}^{-x}. 证明：若 F′(x)F'(x) 严格减，则存在 a>0a>0，使 nI≥4n_I\ge 4；若 F′(x)F'(x) 严格增，则存在 a∈(0,1)a\in \left( 0,1 \right)，nI≠2n_I\neq 2.

2026 · 上海 · 第 21 题 · 解答题

查看答案和解析
20解析几何★★★★☆
已知抛物线 Γ:y2=4x\Gamma:y^2=4x，第一象限内点 AA 在 Γ\Gamma 上，AA 的纵坐标是 aa.
(1) 若 AA 到准线的距离为 33，求 aa； (2) 若 a=4a=4，BB 在 xx 轴上，且线段 ABAB 的中点在 Γ\Gamma 上，求点 BB 的坐标及坐标原点 OO 到直线 ABAB 的距离； (3) 直线 l:x=−3l:x=-3，令 PP 是第一象限 Γ\Gamma 上异于 A 的一点，直线 APAP 交 ll 于 QQ，HH 是 PP 在 ll 上的投影，若点 A 满足“对于任意 PP 都有 ∣HQ∣>4\left|HQ\right|>4”，求 aa 的取值范围.

2023 · 上海 · 第 20 题 · 解答题

查看答案和解析
18函数与初等函数★★★☆☆
已知 f(x)=ax+1x+1f(x)=ax+\frac1{x+1}（a∈Ra\in\mathbf{R}）.
(1) 当 a=1a=1 时，求不等式 f(x)+1<f(x+1)f(x)+1<f(x+1) 的解集； (2) 若 x∈[1,2]x\in[1,2] 时，f(x)f(x) 有零点，求 aa 的范围.

2019 · 上海 · 第 18 题 · 解答题

查看答案和解析
19函数与初等函数★★★☆☆
某群体的人均通勤时间，是指单日内该群体中成员从居住地到工作地的平均用时. 某地上班族 SS 中的成员仅以自驾或公交方式通勤. 分析显示：当 SS 中 x%x\%（0<x<1000<x<100）的成员自驾时，自驾群体的人均通勤时间 f(x)f(x)（单位：分钟）为
f(x)={30,0<x≤30,2x+1800x−90,30<x<100f(x)=\begin{cases} 30, & 0<x\le30,\\ 2x+\frac{1800}{x}-90, & 30<x<100 \end{cases}
而公交群体的人均通勤时间不受 xx 影响，恒为 4040 分钟. 试根据上述分析结果回答下列问题：
(1) 当 xx 在什么范围内时，公交群体的人均通勤时间少于自驾群体的人均通勤时间？ (2) 求该地上班族 SS 的人均通勤时间 g(x)g(x) 的表达式；讨论 g(x)g(x) 的单调性，并说明其实际意义.

2018 · 上海 · 第 19 题 · 解答题

查看答案和解析
22指数函数与对数函数★★★★☆
已知 a∈Ra\in\mathbf{R}，函数 f(x)=log⁡2 ⁣(1x+a)f(x)=\log_2\!\left(\dfrac1x+a\right).
(1) 当 a=5a=5 时，解不等式 f(x)>0f(x)>0； (2) 若关于 xx 的方程 f(x)−log⁡2[(a−4)x+2a−5]=0f(x)-\log_2[(a-4)x+2a-5]=0 的解集中恰有一个元素，求 aa 的取值范围； (3) 设 a>0a>0，若对任意 t∈[12,1]t\in\left[\dfrac12,1\right]，函数 f(x)f(x) 在区间 [t,t+1][t,t+1] 上的最大值和最小值的差不超过 11，求 aa 的取值范围.

2016 · 上海 · 理 · 第 22 题 · 解答题

查看答案和解析
23数列★★★★★
已知数列 {an}\{a_{n}\} 满足 13an⩽an+1⩽3an\frac{1}{3} a_{n} \leqslant a_{n+1} \leqslant 3a_{n}，n∈N∗n \in \mathbf{N}^{*}，a1=1a_{1} = 1.
(1) 若 a2=2a_{2} = 2，a3=xa_{3} = x，a4=9a_{4} = 9，求 xx 的取值范围； (2) 若 {an}\{a_{n}\} 是等比数列，且 am=11000a_{m} = \frac{1}{1000}，求正整数 mm 的最小值，以及 mm 取最小值时相应 {an}\{a_{n}\} 的公比； (3) 若 a1a_1，a2a_2，⋯\cdots，a100a_{100} 成等差数列，求 a1a_1，a2a_2，⋯\cdots，a100a_{100} 的公差的取值范围.
\begin{solution} \begin{enumerate} \item 由 n=2n=2 时的不等式，得 23⩽x⩽6\dfrac23\leqslant x\leqslant6. 由 n=3n=3 时的不等式，得 x3⩽9⩽3x\dfrac x3\leqslant9\leqslant3x，即 3⩽x⩽273\leqslant x\leqslant27. 两个范围取交集，得到 x∈[3,6]x\in[3,6]. \item 设公比为 qq. 由 n=1n=1 时的条件，13⩽q⩽3\dfrac13\leqslant q\leqslant3，所以 q>0q>0. 因为 a1=1a_1=1，有 am=qm−1=10−3a_m=q^{m-1}=10^{-3}，故 q=10−3(m−1)q=10^{-\frac{3}{(m-1)}}. 条件 q⩾13q\geqslant\dfrac13 等价于 103(m−1)⩽310^{\frac{3}{(m-1)}}\leqslant3. 当 m=7m=7 时，q=10−12<13q=10^{-\frac{1}{2}}<\dfrac13，不满足条件；当 m=8m=8 时，q=10−37>13q=10^{-\frac{3}{7}}>\dfrac13，且 q<1<3q<1<3，满足上界条件. 因为 10−3(m−1)10^{-\frac{3}{(m-1)}} 随正整数 mm 增大而增大，故 m=7m=7 不可而 m=8m=8 可行，最小值为 88，相应公比为 q=10−37q=10^{-\frac{3}{7}}. \item 设公差为 dd，则 an=1+(n−1)da_n=1+(n-1)d. 对 n=1n=1，22，…\ldots，9999，原条件分别等价于 an+d⩾an3a_n+d\geqslant\dfrac{a_n}{3} 和 an+d⩽3ana_n+d\leqslant3a_n. 代入 ana_n 后，前一个不等式化为 (2n+1)d⩾−2(2n+1)d\geqslant-2，即 d⩾−22n+1d\geqslant-\dfrac{2}{2n+1}；后一个不等式化为 (3−2n)d⩽2(3-2n)d\leqslant2. 当 n=1n=1 时给出 d⩽2d\leqslant2，当 n⩾2n\geqslant2 时给出 d⩾−22n−3d\geqslant-\dfrac{2}{2n-3}. 前一组下界中，2n+12n+1 随 nn 增大而增大，故最强条件来自 n=99n=99，即 d⩾−2199d\geqslant-\dfrac{2}{199}. 对 n⩾2n\geqslant2，有 2n−3<2n+12n-3<2n+1，从而 −22n−3<−22n+1-\dfrac{2}{2n-3}< -\dfrac{2}{2n+1}，所以后一组下界不比前一组的最强下界严格. 综合得公差范围为 d∈[−2199,2]d\in\left[-\dfrac{2}{199},2\right]. 代回上述两组不等式可知该范围内各不等式均成立，所以这是充要范围. \end{enumerate} \end{solution}

2014 · 上海 · 文 · 第 23 题 · 解答题

查看答案和解析
20导数及其应用★★★☆☆
甲厂以 xx 千克/小时的速度运输生产某种产品（生产条件要求 1⩽x⩽101\leqslant x\leqslant 10），每一小时可获得利润是 100(5x+1−3x)100\left(5x+1-\frac{3}{x}\right) 元.
(1) 要使生产该产品 22 小时获得的利润不低于 30003000 元，求 xx 的取值范围； (2) 要使生产 900900 千克该产品获得的利润最大，问：甲厂应该选取何种生产速度？并求最大利润.

2013 · 上海 · 理 · 第 20 题 · 解答题

查看答案和解析
23不等式★★★★★
给定常数 c>0c>0，定义函数 f(x)=2∣x+c+4∣−∣x+c∣f(x)=2|x+c+4|-|x+c|，数列 a1a_1，a2a_2，a3a_3，…\ldots 满足 an+1=f(an)a_{n+1}=f(a_n)，n∈N∗n\in \mathbf{N}^*.
(1) 若 a1=−c−2a_1=-c-2，求 a2a_2 及 a3a_3； (2) 求证：对任意 n∈N∗n\in \mathbf{N}^*，an+1−an⩾ca_{n+1}-a_n\geqslant c； (3) 是否存在 a1a_1，使得 a1a_1，a2a_2，⋯\cdots，ana_n，⋯\cdots 成等差数列？ 若存在，求出所有这样的 a1a_1，若不存在，说明理由.

2013 · 上海 · 理 · 第 23 题 · 解答题

查看答案和解析
21函数与初等函数★★★☆☆
海事救援船对一艘失事船进行定位：以失事船的当前位置为原点，以正北方向为 yy 轴正方向建立平面直角坐标系（以 1 海里1\text{ 海里} 为单位长度），则救援船恰好在失事船正南方向 12 海里12\text{ 海里} AA 处，如图. 现假设：
① 失事船的移动路径可视为抛物线 y=1249x2y = \frac{12}{49} x^2； ② 定位后救援船即刻沿直线匀速前往救援； ③ 救援船出发 tt 小时后，失事船所在位置的横坐标为 7t7t.
(1) 当 t=0.5t = 0.5 时，写出失事船所在位置 PP 的纵坐标. 若此时两船恰好会合，求救援船速度的大小和方向； (2) 问救援船的时速至少是多少海里才能追上失事船？

2012 · 上海 · 理 · 第 21 题 · 解答题

查看答案和解析
21解析几何★★★☆☆
海事救援船对一艘失事船进行定位：以失事船的当前位置为原点，以正北方向为 yy 轴正方向建立平面直角坐标系（以 1 海里1\text{ 海里} 为单位长度），则救援船恰好在失事船正南方向 12 海里12\text{ 海里} AA 处，如图. 现假设：
① 失事船的移动路径可视为抛物线 y=1249x2y = \frac{12}{49} x^{2}； ② 定位后救援船即刻沿直线匀速前往救援； ③ 救援船出发 tt 小时后，失事船所在位置的横坐标为 7t7t.
(1) 当 t=0.5t = 0.5 时，写出失事船所在位置 PP 的纵坐标. 若此时两船恰好会合，求救援船速度的大小和方向； (2) 问救援船的时速至少是多少海里才能追上失事船？

2012 · 上海 · 文 · 第 21 题 · 解答题

查看答案和解析
22不等式★★★★★
若实数 xx，yy，mm 满足 ∣x−m∣>∣y−m∣|x - m| > |y - m|，则称 xx 比 yy 远离 mm.
(1) 若 x2−1x^{2} - 1 比 1 远离 0，求 xx 的取值范围； (2) 对任意两个不相等的正数 aa，bb，证明： a3+b3a^3 + b^3 比 a2b+ab2a^2b + ab^2 远离 2abab2ab\sqrt{ab}； (3) 已知函数 f(x)f(x) 的定义域 D={x∣x≠kπ2+π4,k∈Z,x∈R}D = \left\{ x \mid x \neq \frac{k\pi}{2} + \frac{\pi}{4}, k \in \mathbf{Z}, x \in \mathbf{R} \right\}. 任取 x∈Dx \in D，f(x)f(x) 等于 sin⁡x\sin x 和 cos⁡x\cos x 中远离 00 的那个值. 写出函数 f(x)f(x) 的解析式，并指出它的基本性质 （结论不要求证明）.

2010 · 上海 · 理 · 第 22 题 · 解答题

查看答案和解析
22三角函数★★★★☆
(1) 若实数 xx，yy，mm 满足 ∣x−m∣<∣y−m∣|x - m| < |y - m|，则称 xx 比 yy 接近 mm. 若 x2−1x^{2} - 1 比 33 接近 00，求 xx 的取值范围； (2) 对任意两个不相等的正数 aa，bb，证明：a2b+ab2a^{2}b + ab^{2} 比 a3+b3a^{3} + b^{3} 接近 2abab2ab\sqrt{ab}； (3) 已知函数 f(x)f(x) 的定义域 D={x∣x≠kπ,k∈Z,x∈R}D = \{x \mid x \neq k\pi, k \in \mathbf{Z}, x \in \mathbf{R}\}. 任取 x∈Dx \in D，f(x)f(x) 等于 1+sin⁡x1 + \sin x 和 1−sin⁡x1 - \sin x 中接近 00 的那个值. 写出函数 f(x)f(x) 的解析式，并指出它的奇偶性，最小正周期，最小值和单调性（结论不要求证明）.

2010 · 上海 · 文 · 第 22 题 · 解答题

查看答案和解析
19指数函数与对数函数★★★★☆
已知函数 f(x)=2x−12∣x∣f(x) = 2^x - \frac{1}{2^{|x|}}.
(1) 若 f(x)=2f(x)=2，求 xx 的值； (2) 若 2tf(2t)+mf(t)⩾02^{t}f(2t) + mf(t) \geqslant 0 对于 t∈[1,2]t \in [1,2] 恒成立，求实数 mm 的取值范围.

2008 · 上海 · 理 · 第 19 题 · 解答题

查看答案和解析
19指数函数与对数函数★★★★☆
已知函数 f(x)=2x−12∣x∣f(x) = 2^x - \frac{1}{2^{|x|}}.
(1) 若 f(x)=2f(x) = 2，求 xx 的值； (2) 若 2tf(2t)+mf(t)⩾02^{t}f(2t) + mf(t) \geqslant 0 对于 t∈[1,2]t \in \left[1,2\right] 恒成立，求实数 mm 的取值范围.

2008 · 上海 · 文 · 第 19 题 · 解答题

查看答案和解析
18函数与初等函数★★★☆☆
近年来，太阳能技术运用的步伐日益加快. 20022002 年全球太阳电池的年生产量达到 670 兆瓦670\text{ 兆瓦}，年生产量的增长率为 34%34\%. 以后 44 年中，年生产量的增长率逐年递增 2%2\%（如，20032003 年的年生产量的增长率为 36%36\%）.
(1) 求 20062006 年全球太阳电池的年生产量（结果精确到 0.1 兆瓦0.1\text{ 兆瓦}）； (2) 目前太阳电池产业存在的主要问题是市场安装量远小于生产量，20062006 年的实际安装量为 1420 兆瓦1420\text{ 兆瓦}. 假设以后若干年内太阳电池的年生产量的增长率保持在 42%42\%，到 20102010 年，要使年安装量与年生产量基本持平（即年安装量不少于年生产量的 95%95\%），这四年中太阳电池的年安装量的平均增长率至少应达到多少（结果精确到 0.1%0.1\%）？

2007 · 上海 · 理 · 第 18 题 · 解答题

查看答案和解析
19函数与初等函数★★★☆☆
已知函数 f(x)=x2+axf(x) = x^2 + \frac{a}{x}（x≠0x \neq 0，常数 a∈Ra \in \mathbf{R}）.
(1) 当 a=2a = 2 时，解不等式 f(x)−f(x−1)>2x−1f(x) - f(x - 1) > 2x - 1； (2) 讨论函数 f(x)f(x) 的奇偶性，并说明理由.

2007 · 上海 · 文 · 第 19 题 · 解答题

查看答案和解析
21数列★★★★☆
已知有穷数列 {an}\{a_{n}\} 共有 2k2k 项（整数 k⩾2k \geqslant 2），首项 a1=2a_{1} = 2. 设该数列的前 nn 项和为 SnS_{n}，且 an+1=(a−1)Sn+2a_{n+1} = (a-1)S_{n} + 2（n=1n = 1，22，⋯\cdots，2k−12k-1）. 其中常数 a>1a > 1.
(1) 求证：数列 {an}\{a_{n}\} 是等比数列； (2) 若 a=222k−1a = 2^{\frac{2}{2k-1}}，数列 {bn}\{b_n\} 满足 bn=1nlog⁡2(a1a2⋯an)b_n = \frac{1}{n}\log_2(a_1a_2\cdots a_n)（n=1n = 1，22，⋯\cdots，2k2k），求数列 {bn}\{b_n\} 的通项公式； (3) 若第二问中的数列 {bn}\{b_n\} 满足不等式 ∣b1−32∣+∣b2−32∣+⋯+∣b2k−1−32∣+∣b2k−32∣⩽4\left|b_1 - \frac{3}{2}\right| + \left|b_2 - \frac{3}{2}\right| + \cdots + \left|b_{2k-1} - \frac{3}{2}\right| + \left|b_{2k} - \frac{3}{2}\right| \leqslant 4，求 kk 的值.

2006 · 上海 · 理 · 第 21 题 · 解答题

查看答案和解析
18复数★★★☆☆
证明：在复数范围内，方程 ∣z∣2+(1−i)z‾−(1+i)z=5−5i2+i|z|^2 + (1 - \mathrm{i})\overline{z} - (1 + \mathrm{i})z = \frac{5 - 5\mathrm{i}}{2 + \mathrm{i}} （i\mathrm{i} 为虚数单位）无解.

2005 · 上海 · 理 · 第 18 题 · 解答题

查看答案和解析
19解析几何★★★☆☆
已知函数 f(x)=kx+bf(x) = kx + b 的图象与 xx，yy 轴分别相交于点 AA，BB，AB→=2i+2j\overrightarrow{AB} = 2\boldsymbol{i} + 2\boldsymbol{j}（i\boldsymbol{i}，j\boldsymbol{j} 分别是与 xx，yy 轴正半轴同方向的单位向量），函数 g(x)=x2−x−6g(x) = x^2 - x - 6.
(1) 求 kk，bb 的值； (2) 当 xx 满足 f(x)>g(x)f(x) > g(x) 时，求函数 g(x)+1f(x)\frac{g(x) + 1}{f(x)} 的最小值.

2005 · 上海 · 文 · 第 19 题 · 解答题

查看答案和解析
18不等式★★★☆☆
某单位用木料制作如图所示的框架，框架的下部是边长分别为 xx，yy（单位：m\mathrm{m}）的矩形. 上部是等腰直角三角形. 要求框架围成的总面积 8 m28 \mathrm{~m}^{2}. 问 xx，yy 分别为多少（精确到 0.001 m0.001 \mathrm{~m}）时用料最省？

2004 · 上海 · 理 · 第 18 题 · 解答题

查看答案和解析
18不等式★★★☆☆
某单位用木料制作如图所示的框架，框架的下部是边长分别为 xx，yy（单位为 m\mathrm{m}）的矩形. 上部是等腰直角三角形. 要求框架围成的总面积 8 cm28 \mathrm{~cm}^{2}. 问 xx，yy 分别为多少（精确到 0.001 m0.001 \mathrm{~m}）时用料最省？

2004 · 上海 · 文 · 第 18 题 · 解答题

查看答案和解析
19函数与初等函数★★★☆☆
记函数 f(x)=2−x+3x+1f(x) = \sqrt{2 - \frac{x + 3}{x + 1}} 的定义域为 AA，g(x)=lg⁡[(x−a−1)(2a−x)]g(x) = \lg\left[\left(x - a - 1\right)\left(2a - x\right)\right]（a<1a < 1）的定义域为 DD.
(1) 求 AA； (2) 若 B⊆AB \subseteq A，求实数 aa 的取值范围.

2004 · 上海 · 文 · 第 19 题 · 解答题

查看答案和解析