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共找到 33 题
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045分不等式★☆☆☆☆
不等式 x−4x−1≥2\frac{x-4}{x-1}\ge 2 的解集是（ ）
A.
{x∣−2≤x≤1}\{x \mid -2\le x\le 1\}
B.
{x∣x≤−2}\{x \mid x\le -2\}
C.
{x∣−2≤x<1}\{x \mid -2\le x<1\}
D.
{x∣x>1}\{x \mid x>1\}

2025 · 全国 · 二卷 · 第 4 题 · 选择题

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03不等式★★☆☆☆
若实数 xx，yy 满足约束条件
{4x−3y−3≥0,x−2y−2≤0,2x+6y−9≤0,\begin{cases} 4x-3y-3\ge 0,\\ x-2y-2\le 0,\\ 2x+6y-9\le 0, \end{cases}
则 z=x−5yz=x-5y 的最小值为（ ）
A.
12\dfrac{1}{2}
B.
00
C.
−52-\dfrac{5}{2}
D.
−72-\dfrac{7}{2}

2024 · 全国 · 甲卷 · 理 · 第 3 题 · 选择题

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01集合与逻辑基础★☆☆☆☆
已知集合 A={−1,0,1,2}A=\{-1,0,1,2\}，B={x∣x2≤1}B=\{x\mid x^2\le1\}，则 A∩B=A\cap B=（ ）
A.
{−1,0,1}\{-1,0,1\}
B.
{0,1}\{0,1\}
C.
{−1,1}\{-1,1\}
D.
{0,1,2}\{0,1,2\}

2019 · 全国 · 三卷 · 理 · 第 1 题 · 选择题

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01集合与逻辑基础★☆☆☆☆
已知集合 A={−1,0,1,2}A=\{-1,0,1,2\}，B={x∣x2≤1}B=\{x\mid x^2\le1\}，则 A∩B=A\cap B=（ ）
A.
{−1,0,1}\{-1,0,1\}
B.
{0,1}\{0,1\}
C.
{−1,1}\{-1,1\}
D.
{0,1,2}\{0,1,2\}

2019 · 全国 · 三卷 · 文 · 第 1 题 · 选择题

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11集合与逻辑基础★★★☆☆
记不等式组 x+y≥6x+y\ge6，2x−y>02x-y>0 表示的平面区域为 DD. 命题 pp：∃(x,y)∈D\exists (x,y)\in D，2x+y≥92x+y\ge9；命题 qq：∀(x,y)∈D\forall (x,y)\in D，2x+y≤122x+y\le12. 下面给出了四个命题：
① p∨qp\vee q； ② ¬p∨q\neg p\vee q； ③ p∧¬qp\wedge\neg q； ④ ¬p∧¬q\neg p\wedge\neg q.
这四个命题中，所有真命题的编号是（ ）
A.
\circled1\circled3\circled{1}\circled{3}
B.
\circled1\circled2\circled{1}\circled{2}
C.
\circled2\circled3\circled{2}\circled{3}
D.
\circled3\circled4\circled{3}\circled{4}

2019 · 全国 · 三卷 · 文 · 第 11 题 · 选择题

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07集合与逻辑基础★★★★☆
设 pp：实数 xx，yy 满足 (x−1)2+(y−1)2≤2\left(x-1\right)^2+\left(y-1\right)^2\le2，qq：实数 xx，yy 满足
{y≥x−1,y≥1−x,y≤1\begin{cases} y\ge x-1,\\ y\ge 1-x,\\ y\le 1 \end{cases}
，则 pp 是 qq 的（ ）
\begin{solution} 令 u=x−1u=x-1，v=y−1v=y-1.条件 qq 化为 v≥u−1v\geq u-1，v≥−u−1v\geq-u-1，v≤0v\leq0. 由前两个不等式得 v≥∣u∣−1v\geq |u|-1，再结合 v≤0v\leq0 可知 −1≤v≤0-1\leq v\leq0，且 ∣u∣≤v+1|u|\leq v+1.因此
u2+v2≤(v+1)2+v2=1+2v(v+1)≤1<2u^2+v^2\leq(v+1)^2+v^2=1+2v(v+1)\leq1<2
故满足 qq 的点都满足 pp，即 q⇒pq\Rightarrow p.但点 (1,1+2)(1,1+\sqrt2) 满足 pp，而 y=1+2>1y=1+\sqrt2>1，不满足 qq，所以 p⇏qp\not\Rightarrow q.因此 pp 是 qq 的必要不充分条件，选 A. \end{solution}
A.
必要不充分条件
B.
充分不必要条件
C.
充要条件
D.
既不充分也不必要条件

2016 · 四川 · 理 · 第 7 题 · 选择题

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10导数及其应用★★★★☆
设直线 l1l_1，l2l_2 分别是函数
f(x)={−ln⁡x,0<x<1,ln⁡x,x>1,f(x)=\begin{cases} -\ln x,&0<x<1,\\ \ln x,&x>1, \end{cases}
图象上点 P1P_1，P2P_2 处的切线，l1l_1 与 l2l_2 垂直相交于点 PP，且 l1l_1，l2l_2 分别与 yy 轴相交于点 AA，BB，则 △PAB\triangle PAB 的面积的取值范围是（ ）
A.
(0,1)(0,1)
B.
(0,2)(0,2)
C.
(0,+∞)(0,+\infty)
D.
(1,+∞)(1,+\infty)

2016 · 四川 · 文 · 第 10 题 · 选择题

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01集合与逻辑基础★☆☆☆☆
设集合 A={x∣(x+1)(x−2)<0}A = \{x \mid (x + 1)(x - 2) < 0\}，集合 B={x∣1<x<3}B = \{x \mid 1 < x < 3\}，则 A∪B=A \cup B =（ ）
\begin{solution} 由 (x+1)(x−2)<0(x+1)(x-2)<0 得 −1<x<2-1<x<2，所以 A=(−1,2)A=(-1,2). 又 B=(1,3)B=(1,3)，从而 A∪B=(−1,3)A\cup B=(-1,3)，故选 A. \end{solution}
A.
{x∣−1<x<3}\{x\mid -1 < x < 3\}
B.
{x∣−1<x<1}\{x\mid -1 < x < 1\}
C.
{x∣1<x<2}\{x\mid 1 < x < 2\}
D.
{x∣2<x<3}\{x\mid 2 < x < 3\}

2015 · 四川 · 理 · 第 1 题 · 选择题

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01集合与逻辑基础★☆☆☆☆
已知集合 A={x∣x2−x−2⩽0}A = \{x \mid x^2 - x - 2 \leqslant 0\}，集合 BB 为整数集，则 A∩B=A \cap B =（ ）
A.
{−1,0,1,2}\{-1,0,1,2\}
B.
{−2,−1,0,1}\{-2, -1, 0, 1\}
C.
{0,1}\{0, 1\}
D.
{−1,0}\{-1,0\}

2014 · 四川 · 理 · 第 1 题 · 选择题

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04不等式★★☆☆☆
若 a>b>0a > b > 0，c<d<0c < d < 0，则一定有（ ）
A.
ac>bd\frac{a}{c} >\frac{b}{d}
B.
ac<bd\frac{a}{c} < \frac{b}{d}
C.
ad>bc\frac{a}{d} > \frac{b}{c}
D.
ad<bc\frac{a}{d} < \frac{b}{c}

2014 · 四川 · 理 · 第 4 题 · 选择题

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10解析几何★★★★☆
已知 FF 是抛物线 y2=xy^{2}=x 的焦点，点 AA，BB 在该抛物线上且位于 xx 轴的两侧，OA→⋅OB→=2\overrightarrow{OA} \cdot \overrightarrow{OB}=2（其中 OO 为坐标原点），则 △ABO\triangle ABO 与 △AFO\triangle AFO 面积之和的最小值是（ ）
A.
22
B.
33
C.
1728\frac{17\sqrt{2}}{8}
D.
10\sqrt{10}

2014 · 四川 · 理 · 第 10 题 · 选择题

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01集合与逻辑基础★☆☆☆☆
已知集合 A={x∣(x+1)(x−2)⩽0}A = \{x \mid (x + 1)(x - 2) \leqslant 0\}，集合 BB 为整数集，则 A∩B=A \cap B =（ ）
\begin{answer} D \end{answer}
\begin{solution} 由 (x+1)(x−2)⩽0(x+1)(x-2)\leqslant0 的两个根为 −1-1，22，且二次项系数为正，得 A=[−1,2]A=[-1,2]. 又 B=ZB=\mathbf{Z}，所以 A∩B={−1,0,1,2}A\cap B=\{-1,0,1,2\}，故选 D. \end{solution}
A.
{−1,0}\{-1,0\}
B.
{0,1}\{0, 1\}
C.
{−2,−1,0,1}\{-2, -1, 0, 1\}
D.
{−1,0,1,2}\{-1, 0, 1, 2\}

2014 · 四川 · 文 · 第 1 题 · 选择题

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05不等式★★★☆☆
若 a>b>0a > b > 0，c<d<0c < d < 0，则一定有（ ）
\begin{answer} D \end{answer}
\begin{solution} 令 c=−uc=-u，d=−vd=-v，则 u>v>0u>v>0. 比较后两个选项，因 cd>0cd>0，有
ad<bc  ⟺  ac<bd  ⟺  au>bv\frac{a}{d}<\frac{b}{c}\iff ac<bd\iff au>bv
而 a>b>0a>b>0，u>v>0u>v>0，所以 au>bvau>bv，从而 ad<bc\frac{a}{d}<\frac{b}{c} 恒成立，故选 D. \end{solution}
A.
ac>bd\frac{a}{c} > \frac{b}{d}
B.
ac<bd\frac{a}{c} < \frac{b}{d}
C.
ad>bc\frac{a}{d} > \frac{b}{c}
D.
ad<bc\frac{a}{d} < \frac{b}{c}

2014 · 四川 · 文 · 第 5 题 · 选择题

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06不等式★★☆☆☆
执行如图所示的程序框图，如果输入的 xx，y∈Ry \in \mathbf{R}，则输出的 SS 的最大值为（ ）
\begin{answer} C \end{answer}
\begin{solution} 当输入的 xx，yy 满足 x⩾0x\geqslant0，y⩾0y\geqslant0，x+y⩽1x+y\leqslant1 时，程序输出 S=2x+yS=2x+y. 该可行域的顶点为 (0,0)(0,0)，(1,0)(1,0)，(0,1)(0,1). 在三个顶点处，2x+y2x+y 的值分别为 00，22，11，故线性函数在可行域上的最大值为 22. 不满足条件时程序输出 S=1S=1，不能超过 22. 因此输出的 SS 的最大值为 22，故选 C. \end{solution}
A.
0
B.
1
C.
2
D.
3

2014 · 四川 · 文 · 第 6 题 · 选择题

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09解析几何★★★★☆
设 m∈Rm \in \mathbf{R}，过定点 AA 的动直线 x+my=0x + my = 0 和过定点 BB 的动直线 mx−y−m+3=0mx - y - m + 3 = 0 交于点 P(x,y)P(x, y). 则 ∣PA∣+∣PB∣|PA| + |PB| 的取值范围是（ ）
\begin{answer} B \end{answer}
\begin{solution} 两条动直线分别恒过 A=(0,0)A=(0,0) 和 B=(1,3)B=(1,3). 它们的法向量分别为 (1,m)(1,m) 和 (m,−1)(m,-1)，数量积为 m−m=0m-m=0，所以两直线始终垂直，即 ∠APB=90∘\angle APB=90^{\circ}. 因而 PP 在以 ABAB 为直径的圆上，且 ∣AB∣=(1−0)2+(3−0)2=10|AB|=\sqrt{(1-0)^2+(3-0)^2}=\sqrt{10}，∣PA∣2+∣PB∣2=10|PA|^2+|PB|^2=10. 由基本不等式，
10⩽∣PA∣+∣PB∣⩽2(∣PA∣2+∣PB∣2)=25\sqrt{10}\leqslant |PA|+|PB|\leqslant\sqrt{2\left(|PA|^2+|PB|^2\right)}=2\sqrt5
联立两条直线方程可得
P=(m(m−3)m2+1,3−mm2+1)P=\left(\frac{m(m-3)}{m^2+1},\frac{3-m}{m^2+1}\right)
当 m=3m=3 或 m=−13m=-\frac13 时，分别有 P=AP=A 或 P=BP=B，下界可以取得；当 m=12m=\frac12 或 m=−2m=-2 时，分别有 P=(−1,2)P=(-1,2) 或 P=(2,1)P=(2,1)，均满足 ∣PA∣=∣PB∣=5|PA|=|PB|=\sqrt5，上界也可以取得. 故取值范围为 [10,25][\sqrt{10},2\sqrt5]，选 B. \end{solution}
A.
[5,25][\sqrt{5}, 2\sqrt{5}]
B.
[10,25][\sqrt{10}, 2\sqrt{5}]
C.
[10,45][\sqrt{10}, 4\sqrt{5}]
D.
[25,45][2\sqrt{5}, 4\sqrt{5}]

2014 · 四川 · 文 · 第 9 题 · 选择题

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10解析几何★★★☆☆
已知 FF 是抛物线 y2=xy^{2} = x 的焦点，点 AA，BB 在该抛物线上且位于 xx 轴的两侧， OA→⋅OB→=2\overrightarrow{OA} \cdot \overrightarrow{OB} = 2（其中 OO 为坐标原点），则 △ABO\triangle ABO 与 △AFO\triangle AFO 面积之和的最小值是（ ）
\begin{answer} B \end{answer}
\begin{solution} 设 A=(u2,u)A=(u^2,u)，B=(v2,v)B=(v^2,v)，其中 u>0>vu>0>v. 由 OA→⋅OB→=2\overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{OB}=2，得
u2v2+uv=2u^2v^2+uv=2
令 t=uv<0t=uv<0，则 t2+t−2=0t^2+t-2=0，所以 t=−2t=-2，即 uv=−2uv=-2. 抛物线 y2=xy^2=x 的焦点为 F(14,0)F\left(\frac14,0\right). 因此 S△ABO=12∣u2v−v2u∣=u−vS_{\triangle ABO}=\frac12|u^2v-v^2u|=u-v，S△AFO=12⋅14⋅u=u8S_{\triangle AFO}=\frac12\cdot\frac14\cdot u=\frac{u}{8}. 又由 v=−2uv=-\frac2u，有
S△ABO+S△AFO=98u+2u⩾298u⋅2u=3S_{\triangle ABO}+S_{\triangle AFO}=\frac98u+\frac2u\geqslant2\sqrt{\frac98u\cdot\frac2u}=3
等号条件为 u=43u=\frac43，此时 v=−32v=-\frac32，满足 u>0>vu>0>v，所以等号确实可以取得. 故最小值为 33，选 B. \end{solution}
A.
2
B.
3
C.
1728\frac{17\sqrt{2}}{8}
D.
10\sqrt{10}

2014 · 四川 · 文 · 第 10 题 · 选择题

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08不等式★★★☆☆
若变量 xx，yy 满足约束条件
{x+y⩽8,2y−x⩽4,x⩾0,y⩾0\begin{cases} x+y\leqslant8,\\ 2y-x\leqslant4,\\ x\geqslant0,\\ y\geqslant0 \end{cases}
且 z=5y−xz=5y-x 的最大值为 aa，最小值为 bb，则 a−ba-b 的值是（ ）
A.
4848
B.
3030
C.
2424
D.
1616

2013 · 四川 · 文 · 第 8 题 · 选择题

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09不等式★★★☆☆
某公司生产甲，乙两种桶装产品. 已知生产甲产品 11 桶需耗 A 原料 1 千克1\text{ 千克}，B 原料 2 千克2\text{ 千克}；生产乙产品 11 桶需耗 A 原料 2 千克2\text{ 千克}，B 原料 1 千克1\text{ 千克}. 每桶甲产品的利润是 300 元300\text{ 元}. 每桶乙产品的利润是 400 元400\text{ 元}. 公司在生产这两种产品的计划中，要求每天消耗 A，B 原料都不超过 12 千克12\text{ 千克}. 通过合理安排生产计划，从每天生产的甲，乙两种产品中，公司共可获得的最大利润是（ ）
A.
1800 元1800\text{ 元}
B.
2400 元2400\text{ 元}
C.
2800 元2800\text{ 元}
D.
3100 元3100\text{ 元}

2012 · 四川 · 理 · 第 9 题 · 选择题

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09不等式★★★☆☆
某运输公司有 12 名驾驶员和 19 名工人，有 8 辆载重量为 10 吨的甲型卡车和 7 辆载重量为 6 吨的乙型卡车. 某天需运往 AA 地至少 72 吨的货物，派用的每辆车需载满且只能送一次，派用的每辆甲型卡车需配 2 名工人，运送一次可得利润 450 元；派用的每辆乙型卡车需配 1 名工人，运送一次可得利润 350 元. 该公司合理计划当天派用甲，乙卡车的车辆数，可得最大利润 z=z =（ ）
A.
4650 元4650\text{ 元}
B.
4700 元4700\text{ 元}
C.
4900 元4900\text{ 元}
D.
5000 元5000\text{ 元}

2011 · 四川 · 理 · 第 9 题 · 选择题

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07不等式★★★☆☆
某加工厂用某原料由甲车间加工出 AA 产品，由乙车间加工出 BB 产品. 甲车间加工一箱原料需耗费 10 小时10\text{ 小时} 可加工出 7 千克7\text{ 千克} AA 产品，每千克 AA 产品获利 40 元40\text{ 元}. 乙车间加工一箱原料需耗费 6 小时6\text{ 小时} 可加工出 4 千克4\text{ 千克} BB 产品，每千克 BB 产品获利 50 元50\text{ 元}. 甲，乙两车间每天共能完成至多 70 箱70\text{ 箱} 原料的加工，每天甲，乙两车间耗费工时总和不得超过 480 小时480\text{ 小时}，甲，乙两车间每天总获利最大的生产计划为（ ）
A.
甲车间加工原料 10 箱10\text{ 箱}，乙车间加工原料 60 箱60\text{ 箱}
B.
甲车间加工原料 15 箱15\text{ 箱}，乙车间加工原料 55 箱55\text{ 箱}
C.
甲车间加工原料 18 箱18\text{ 箱}，乙车间加工原料 50 箱50\text{ 箱}
D.
甲车间加工原料 40 箱40\text{ 箱}，乙车间加工原料 30 箱30\text{ 箱}

2010 · 四川 · 理 · 第 7 题 · 选择题

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12不等式★★★★☆
设 a>b>c>0a > b > c > 0，则 2a2+1ab+1a(a−b)−10ac+25c22a^2 + \frac{1}{ab} + \frac{1}{a(a - b)} - 10ac + 25c^2 的最小值是（ ）
A.
22
B.
44
C.
252\sqrt{5}
D.
55

2010 · 四川 · 理 · 第 12 题 · 选择题

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08不等式★★★☆☆
某加工厂用某原料由甲车间加工出 A 产品，由乙车间加工出 B 产品. 甲车间加工一箱原料需耗费工时 10 小时10\text{ 小时} 可加工出 7 千克7\text{ 千克} A 产品，每千克 A 产品获利 40 元40\text{ 元}. 乙车间加工一箱原料需耗费工时 6 小时6\text{ 小时} 可加工出 4 千克4\text{ 千克} B 产品，每千克 B 产品获利 50 元50\text{ 元}. 甲，乙两车间每天共能完成至多 70 箱70\text{ 箱} 原料的加工. 每天甲，乙两车间耗费工时总和不得超过 480 小时480\text{ 小时}，甲，乙两车间每天总获利最大的生产计划为（ ）
A.
甲车间加工原料 1010 箱，乙车间加工原料 6060 箱
B.
甲车间加工原料 1515 箱，乙车间加工原料 5555 箱
C.
甲车间加工原料 1818 箱，乙车间加工原料 5050 箱
D.
甲车间加工原料 4040 箱，乙车间加工原料 3030 箱

2010 · 四川 · 文 · 第 8 题 · 选择题

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11不等式★★★★☆
设 a>b>0a > b > 0，则 a2+1ab+1a(a−b)a^2 + \frac{1}{ab} + \frac{1}{a(a - b)} 的最小值是（ ）
A.
11
B.
22
C.
33
D.
44

2010 · 四川 · 文 · 第 11 题 · 选择题

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01集合与逻辑基础★☆☆☆☆
设集合 S={x∣∣x∣<5}S = \{x \mid |x| < 5\}，T={x∣x2+4x−21<0}T = \{x \mid x^2 + 4x - 21 < 0\}，则 S∩T=S \cap T =（ ）
A.
{x∣−7<x<−5}\{x\mid -7 < x < -5\}
B.
{x∣3<x<5}\{x\mid 3 < x < 5\}
C.
{x∣−5<x<3}\{x\mid -5 < x < 3\}
D.
{x∣−7<x<5}\{x\mid -7 < x < 5\}

2009 · 四川 · 理 · 第 1 题 · 选择题

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06集合与逻辑基础★★☆☆☆
已知 aa，bb，cc，dd 为实数，且 c>dc > d. 则“a>ba > b”是“a−c>b−da - c > b - d”的（ ）
A.
充分而不必要条件
B.
必要而不充分条件
C.
充要条件
D.
既不充分也不必要条件

2009 · 四川 · 理 · 第 6 题 · 选择题

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