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23不等式★★★★☆
实数 aa，bb 满足 a+b≥3a+b\ge 3.
(1) 证明：2a2+2b2>a+b2a^2+2b^2>a+b； (2) 证明：∣a−2b2∣+∣b−2a2∣≥6|a-2b^2|+|b-2a^2|\ge 6.

2024 · 全国 · 甲卷 · 理 · 第 23 题 · 解答题

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23不等式★★★★☆
已知实数 aa，bb 满足 a+b≥3a+b\ge3.
(1) 证明：2a2+2b2>a+b2a^2+2b^2>a+b； (2) 证明：∣a−2b2∣+∣b−2a2∣≥6|a-2b^2|+|b-2a^2|\ge6.

2024 · 全国 · 甲卷 · 文 · 第 23 题 · 解答题

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23不等式★★★☆☆
设 a>0a>0，函数 f(x)=2∣x−a∣−af(x)=2\lvert x-a \rvert-a.
(1) 求不等式 f(x)<xf(x)<x 的解集； (2) 若曲线 y=f(x)y=f(x) 与 xx 轴所围成的图形的面积为 2，求 aa.

2023 · 全国 · 甲卷 · 理 · 第 23 题 · 解答题

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20导数及其应用★★★★☆
已知函数 f(x)=ax−sin⁡xcos⁡2xf(x)=ax-\dfrac{\sin x}{\cos^2x}，x∈(0,π2)x\in\left(0,\dfrac{\pi}{2}\right).
(1) 当 a=1a=1 时，讨论 f(x)f(x) 的单调性； (2) 若 f(x)+sin⁡x<0f(x)+\sin x<0，求 aa 的取值范围.

2023 · 全国 · 甲卷 · 文 · 第 20 题 · 解答题

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23不等式★★★☆☆
已知 f(x)=2∣x−a∣−af(x)=2|x-a|-a，a>0a>0.
(1) 求不等式 f(x)<xf(x)<x 的解集； (2) 若曲线 y=f(x)y=f(x) 与 xx 轴所围成的图形的面积为 22，求 aa.

2023 · 全国 · 甲卷 · 文 · 第 23 题 · 解答题

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23不等式★★★★☆
已知 aa，bb，cc 均为正数，且 a2+b2+4c2=3a^2+b^2+4c^2=3，证明：
(1) a+b+2c≤3a+b+2c\le 3； (2) 若 b=2cb=2c，则 1a+1c≥3\frac1a+\frac1c\ge 3.

2022 · 全国 · 甲卷 · 理 · 第 23 题 · 解答题

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23不等式★★★★☆
已知 aa，bb，cc 均为正数，且 a2+b2+4c2=3a^2+b^2+4c^2=3，证明：
(1) a+b+2c≤3a+b+2c\le3； (2) 若 b=2cb=2c，则 1a+1c≥3\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{c}\ge3.

2022 · 全国 · 甲卷 · 文 · 第 23 题 · 解答题

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23不等式★★★☆☆
已知函数 f(x)=∣x−2∣f(x)=|x-2|，g(x)=∣2x+3∣−∣2x−1∣g(x)=|2x+3|-|2x-1|.
(1) 画出 y=f(x)y=f(x) 和 y=g(x)y=g(x) 的图像； (2) 若 f(x+a)≥g(x)f(x+a)\ge g(x)，求 aa 的取值范围.

2021 · 全国 · 甲卷 · 理 · 第 23 题 · 解答题

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23不等式★★★☆☆
已知函数 f(x)=∣x−2∣f(x)=|x-2|，g(x)=∣2x+3∣−∣2x−1∣g(x)=|2x+3|-|2x-1|.
(1) 画出 y=f(x)y=f(x) 和 y=g(x)y=g(x) 的图像； (2) 若 f(x+a)≥g(x)f(x+a)\ge g(x)，求 aa 的取值范围.

2021 · 全国 · 甲卷 · 文 · 第 23 题 · 解答题

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23不等式★★★★☆
设 aa，bb，c∈Rc\in \mathbf{R}，a+b+c=0a+b+c=0，abc=1abc=1.
(1) 证明：ab+bc+ca<0ab+bc+ca<0； (2) 用 max⁡{a,b,c}\max\{a,b,c\} 表示 aa，bb，cc 中的最大值，证明：max⁡{a,b,c}≥43\max\{a,b,c\}\ge \sqrt[3]{4}.

2020 · 全国 · 三卷 · 理 · 第 23 题 · 解答题

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23不等式★★★★☆
设 aa，bb，c∈Rc\in \mathbf{R}，a+b+c=0a+b+c=0，abc=1abc=1.
(1) 证明：ab+bc+ca<0ab+bc+ca<0； (2) 用 max⁡{a,b,c}\max\{a,b,c\} 表示 aa，bb，cc 中的最大值，证明：max⁡{a,b,c}≥43\max\{a,b,c\}\ge \sqrt[3]{4}.

2020 · 全国 · 三卷 · 文 · 第 23 题 · 解答题

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23不等式★★★☆☆
设 xx，yy，z∈Rz\in\mathbf{R}，且 x+y+z=1x+y+z=1.
(1) 求 (x−1)2+(y+1)2+(z+1)2(x-1)^2+(y+1)^2+(z+1)^2 的最小值； (2) 若 (x−2)2+(y−1)2+(z−a)2≥13(x-2)^2+(y-1)^2+(z-a)^2\ge \dfrac13 成立，证明：a≤−3a\le -3 或 a≥−1a\ge -1.

2019 · 全国 · 三卷 · 理 · 第 23 题 · 解答题

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23不等式★★★★☆
设 xx，yy，z∈Rz\in\mathbf{R}，且 x+y+z=1x+y+z=1.
(1) 求 (x−1)2+(y+1)2+(z+1)2(x-1)^2+(y+1)^2+(z+1)^2 的最小值； (2) 若 (x−2)2+(y−1)2+(z−a)2≥13(x-2)^2+(y-1)^2+(z-a)^2\ge\dfrac13 成立，证明：a≤−3a\le-3 或 a≥−1a\ge-1.

2019 · 全国 · 三卷 · 文 · 第 23 题 · 解答题

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23不等式★★★☆☆
设函数 f(x)=∣2x+1∣+∣x−1∣f(x)=|2x+1|+|x-1|.
(1) 画出 y=f(x)y=f(x) 的图象； (2) 当 x∈[0,+∞)x\in[0,+\infty) 时，f(x)≤ax+bf(x)\le ax+b，求 a+ba+b 的最小值.

2018 · 全国 · 三卷 · 理 · 第 23 题 · 解答题

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23不等式★★★☆☆
设函数 f(x)=∣2x+1∣+∣x−1∣f(x)=|2x+1|+|x-1|.
(1) 画出 y=f(x)y=f(x) 的图象； (2) 当 x∈[0,+∞)x\in[0,+\infty) 时，f(x)≤ax+bf(x)\le ax+b，求 a+ba+b 的最小值.

2018 · 全国 · 三卷 · 文 · 第 23 题 · 解答题

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21导数及其应用★★★★★
设函数 f(x)=ax2−a−ln⁡xf(x)=ax^2-a-\ln x，其中 a∈Ra\in\mathbf{R}.
(1) 讨论 f(x)f(x) 的单调性； (2) 确定 aa 的所有可能取值，使得 f(x)>1x−e1−xf(x)>\dfrac1x-\mathrm{e}^{1-x} 在区间 (1,+∞)\left(1,+\infty\right) 内恒成立（e=2.718…\mathrm{e}=2.718\ldots 为自然对数的底数）.

2016 · 四川 · 理 · 第 21 题 · 解答题

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21导数及其应用★★★★★
设函数 f(x)=ax2−a−ln⁡xf(x)=ax^2-a-\ln x，g(x)=1x−eexg(x)=\dfrac1x-\dfrac{\mathrm{e}}{\mathrm{e}^x}，其中 a∈Ra\in\mathbf{R}，e=2.718…\mathrm{e}=2.718\ldots 为自然对数的底数.
(1) 讨论 f(x)f(x) 的单调性； (2) 证明：当 x>1x>1 时，g(x)>0g(x)>0； (3) 确定 aa 的所有可能取值，使得 f(x)>g(x)f(x)>g(x) 在区间 (1,+∞)(1,+\infty) 内恒成立.

2016 · 四川 · 文 · 第 21 题 · 解答题

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21导数及其应用★★★★☆
已知函数
f(x)={x2+2x+a,x<0,ln⁡x,x>0,f(x)=\begin{cases} x^2+2x+a,&x<0,\\ \ln x,&x>0, \end{cases}
其中 aa 是实数. 设 A(x1,f(x1))A(x_1,f(x_1))，B(x2,f(x2))B(x_2,f(x_2)) 为该函数图象上的两点，且 x1<x2x_1<x_2.
(1) 指出函数 f(x)f(x) 的单调区间； (2) 若函数 f(x)f(x) 的图象在点 AA，BB 处的切线互相垂直，且 x2<0x_2<0，证明：x2−x1⩾1x_2-x_1\geqslant1； (3) 若函数 f(x)f(x) 的图象在点 AA，BB 处的切线重合，求 aa 的取值范围.

2013 · 四川 · 文 · 第 21 题 · 解答题

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22指数函数与对数函数★★★★★
设 f(x)=1+ax1−axf(x) = \frac{1 + a^x}{1 - a^x} （a>0a > 0 且 a≠1a \neq 1），g(x)g(x) 是 f(x)f(x) 的反函数.
(1) 求 g(x)g(x). (2) 当 x∈[2,6]x \in [2,6] 时，恒有 g(x)>log⁡at(x2−1)(7−x)g(x) > \log_a \frac{t}{(x^2 - 1)(7 - x)} 成立，求 tt 的取值范围； (3) 当 0<a⩽120 < a \leqslant \frac{1}{2} 时，试比较 f(1)+f(2)+⋯+f(n)f(1) + f(2) + \cdots + f(n) 与 n+4n + 4 的大小，并说明理由.

2010 · 四川 · 文 · 第 22 题 · 解答题

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22计数原理与组合数学★★★★★
设函数 f(x)=(1+1n)xf(x) = \left(1 + \frac{1}{n}\right)^x（n∈Nn \in \mathbf{N}，且 n>1n > 1，x∈Rx \in \mathbf{R}）.
(1) 当 x=6x = 6 时，求 (1+1n)x\left(1 + \frac{1}{n}\right)^x 的展开式中二项式系数最大的项； (2) 对任意的实数 xx，证明 f(2x)+f(2)2>f′(x)\frac{f(2x) + f(2)}{2} > f'(x)（f′(x)f'(x) 是 f(x)f(x) 的导函数）； (3) 是否存在 a∈Na \in \mathbf{N}，使得 an<∑k=1n(1+1k)k<(a+1)nan < \sum_{k=1}^{n} \left(1 + \frac{1}{k}\right)^k < (a + 1)n 恒成立？若存在，试证明你的结论并求出 aa 的值；若不存在，请说明理由.

2007 · 四川 · 理 · 第 22 题 · 解答题

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21导数及其应用★★★★☆
已知函数 f(x)=x3+3ax−1f(x) = x^3 + 3ax - 1，g(x)=f′(x)−ax−5g(x) = f'(x) - ax - 5，其中 f′(x)f'(x) 是 f(x)f(x) 的导函数.
(1) 对满足 −1⩽a⩽1-1 \leqslant a \leqslant 1 的一切 aa 的值，都有 g(x)<0g(x) < 0，求实数 xx 的取值范围； (2) 设 a=−m2a = -m^2，当实数 mm 在什么范围内变化时，函数 y=f(x)y = f(x) 的图像与直线 y=3y = 3 只有一个公共点.

2006 · 四川 · 文 · 第 21 题 · 解答题

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