设函数
f(x)=x2−1，对任意
x∈[23,+∞)，
f(mx)−4m2f(x)⩽f(x−1)+4f(m) 恒成立，则实数
m 的取值范围是______.
\begin{answer}
(−∞,−23]∪[23,+∞)
\end{answer}
\begin{solution}
因题中含有
f(mx)，必须有
m=0. 将
f(x)=x2−1 代入不等式并移项，得
Qm(x):=(m21−4m2−1)x2+2x+3≤0，
x≥23.
记
Am=m21−4m2−1. 若
Am≥0，则
Qm(x) 在充分大的
x 处为正，不可能恒成立. 设
Am<0. 若二次函数顶点
−Am1≥23，则其在定义区间内的最大值为
Qm(−Am1)=3−Am1>0
仍不可能恒成立. 所以顶点必须在区间左侧. 此时对
x≥23 有
Qm′(x)=2Amx+2<0，故
Qm 在该区间上递减，只需令端点处的最大值不大于零：
Qm(23)=49Am+6≤0，
Am≤−38.
于是
m21−4m2+35≤0
令
t=m2>0，乘以正数
3t 得
12t2−5t−3≥0
该二次式的根为
−31，
43，故
t≥43，即
∣m∣≥23
所以
m 的取值范围为
(−∞,−23]∪[23,+∞)
\end{solution}
