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16不等式★★★☆☆
电视台播放甲，乙两套连续剧，每次播放连续剧时，需要播放广告. 已知每次播放甲，乙两套连续剧时，连续剧播放时长，广告播放时长，收视人次如下表所示：
连续剧播放时长（分钟）广告播放时长（分钟）收视人次（万）
乙6060552525
已知电视台每周安排的甲，乙连续剧的总播放时间不多于 600600 分钟，广告的总播放时间不少于 3030 分钟，且甲连续剧播放的次数不多于乙连续剧播放次数的 22 倍. 分别用 xx，yy 表示每周计划播出的甲，乙两套连续剧的次数.
(1) 用 xx，yy 列出满足题目条件的数学关系式，并画出相应的平面区域； (2) 问电视台每周播出甲，乙两套连续剧各多少次，才能使总收视人次最多？

2017 · 天津 · 文 · 第 16 题 · 解答题

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16不等式★★★☆☆
某化工厂生产甲，乙两种混合肥料，需要 AA，BB，CC 三种主要原料，生产 1 车皮甲种肥料和生产 1 车皮乙种肥料所需三种原料的吨数如表所示：
肥料\end{tabular}AABBCC
乙5510
现有 AA 种原料 200 吨，BB 种原料 360 吨，CC 种原料 300 吨，在此基础上生产甲，乙两种肥料. 已知生产 1 车皮甲种肥料，产生的利润为 2 万元；生产 1 车皮乙种肥料，产生的利润为 3 万元. 分别用 xx，yy 表示计划生产甲，乙两种肥料的车皮数.
(1) 用 xx，yy 列出满足生产条件的数学关系式，并画出相应的平面区域； (2) 问分别生产甲，乙两种肥料各多少车皮，能够产生最大的利润？并求出此最大利润.

2016 · 天津 · 文 · 第 16 题 · 解答题

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20集合与逻辑基础★★★★☆
已知 qq 和 nn 均为给定的大于 11 的自然数. 设集合 M={0,1,2,⋯ ,q−1}M = \{0, 1, 2, \cdots, q-1\}，集合 A={x∣x=x1+x2q+⋯+xnqn−1,xi∈M,i=1,2,⋯ ,n}A = \{x \mid x = x_1 + x_2q + \cdots + x_nq^{n-1}, x_i \in M, i = 1, 2, \cdots, n\}.
(1) 当 q=2q = 2，n=3n = 3 时，用列举法表示集合 AA； (2) 设 ss，t∈At \in A，s=a1+a2q+⋯+anqn−1s = a_1 + a_2q + \cdots + a_nq^{n-1}，t=b1+b2q+⋯+bnqn−1t = b_1 + b_2q + \cdots + b_nq^{n-1}，其中 aia_i，bi∈Mb_i \in M，i=1i = 1，22，⋯\cdots，nn. 证明：若 an<bna_n < b_n，则 s<ts < t.

2014 · 天津 · 文 · 第 20 题 · 解答题

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20导数及其应用★★★★☆
已知函数 f(x)=ax3−32x2+1f(x) = ax^3 - \frac{3}{2}x^2 + 1 （x∈Rx \in \mathbf{R}），其中 a>0a > 0.
(1) 若 a=1a = 1，求曲线 y=f(x)y = f(x) 在点 (2,f(2))(2,f(2)) 处的切线方程； (2) 若在区间 [−12,12]\left[-\frac{1}{2}, \frac{1}{2}\right] 上，f(x)>0f(x) > 0 恒成立，求 aa 的取值范围.

2010 · 天津 · 文 · 第 20 题 · 解答题

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20导数及其应用★★★★☆
已知函数 f(x)=x+ax+bf(x) = x + \frac{a}{x} + b（x≠0x \neq 0），其中 aa，b∈Rb \in \mathbf{R}.
(1) 若曲线 y=f(x)y = f(x) 在点 P(2,f(2))P(2, f(2)) 处的切线方程为 y=3x+1y = 3x + 1，求函数 f(x)f(x) 的解析式； (2) 讨论函数 f(x)f(x) 的单调性； (3) 若对于任意的 a∈[12,2]a \in \left[\frac{1}{2}, 2\right]，不等式 f(x)⩽10f(x) \leqslant 10 在 [14,1]\left[\frac{1}{4}, 1\right] 上恒成立，求 bb 的取值范围.

2008 · 天津 · 理 · 第 20 题 · 解答题

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22不等式★★★★★
已知 m∈Rm \in \mathbf{R}. 设 PP： x1x_1 和 x2x_2 是方程 x2−ax−2=0x^2 - ax - 2 = 0 的两个实根，不等式 ∣m2−5m−3∣⩾∣x1−x2∣|m^2 - 5m - 3| \geqslant |x_1 - x_2| 对任意实数 a∈[−1,1]a \in [-1, 1] 恒成立； QQ：函数 f(x)=x3+mx2+(m+43)x+6f(x) = x^3 + mx^2 + \left(m + \frac{4}{3}\right)x + 6 在 (−∞,+∞)(- \infty, +\infty) 上有极值. 求使 PP 正确且 QQ 正确的 mm 的取值范围.

2005 · 天津 · 文 · 第 22 题 · 解答题

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