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155分导数及其应用★★★☆☆
函数 f(x)=∣2x−1∣−2ln⁡xf(x)=|2x-1|-2\ln x 的最小值为______.

2021 · 全国 · 新高考一卷 · 第 15 题 · 填空题

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13不等式★★☆☆☆
若 xx，yy 满足约束条件
{x−2y−2≤0,x−y+1≥0,y≤0\begin{cases} x-2y-2\le0,\\ x-y+1\ge0,\\ y\le0 \end{cases}
，则 z=3x+2yz=3x+2y 的最大值为______.

2018 · 全国 · 一卷 · 理 · 第 13 题 · 填空题

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14不等式★★☆☆☆
若 xx，yy 满足约束条件
{x−2y−2≤0,x−y+1≥0,y≤0\begin{cases} x-2y-2\le0,\\ x-y+1\ge0,\\ y\le0 \end{cases}
，则 z=3x+2yz=3x+2y 的最大值为______.

2018 · 全国 · 一卷 · 文 · 第 14 题 · 填空题

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12不等式★★★☆☆
若直线 xa+yb=1\dfrac{x}{a}+\dfrac{y}{b}=1（a>0a>0，b>0b>0）过点 (1,2)(1,2)，则 2a+b2a+b 的最小值为______.

2017 · 山东 · 文 · 第 12 题 · 填空题

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12不等式★★☆☆☆
若 xx，yy 满足约束条件
{y−x⩽1,x+y⩽3,y⩾1,\begin{cases} y - x \leqslant 1,\\ x + y \leqslant 3,\\ y \geqslant 1, \end{cases}
则 z=x+3yz = x + 3y 的最大值为______.

2015 · 山东 · 文 · 第 12 题 · 填空题

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14不等式★★☆☆☆
定义运算“⊗\otimes”： x⊗y=x2−y2xyx \otimes y = \frac{x^{2} - y^{2}}{xy} （ xx，y∈Ry \in \mathbf{R}，xy≠0xy \neq 0 ）. 当 x>0x > 0， y>0y > 0 时， x⊗y+(2y)⊗xx \otimes y + (2y) \otimes x 的最小值为______.

2015 · 山东 · 文 · 第 14 题 · 填空题

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11不等式★★☆☆☆
执行如图所示的程序框图，若输入的 xx 的值为 1，则输出的 nn 的值为______.

2014 · 山东 · 理 · 第 11 题 · 填空题

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14计数原理与组合数学★★★☆☆
若 (ax2+bx)6\left(ax^2 + \frac{b}{x}\right)^6 的展开式中 x3x^3 项的系数为 20，则 a2+b2a^2 + b^2 的最小值为______.

2014 · 山东 · 理 · 第 14 题 · 填空题

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15导数及其应用★★★★☆
已知函数 y=f(x)y = f(x)（x∈Rx \in \mathbf{R}）. 对函数 y=g(x)y = g(x) （x∈Ix \in I），定义 g(x)g(x) 关于 f(x)f(x) 的“对称函数”为函数 y=h(x)y = h(x) （x∈Ix \in I），y=h(x)y = h(x) 满足：对任意 x∈Ix \in I，两个点 (x,h(x))(x, h(x))，(x,g(x))(x, g(x)) 关于点 (x,f(x))(x, f(x)) 对称. 若 h(x)h(x) 是 g(x)=4−x2g(x) = \sqrt{4 - x^2} 关于 f(x)=3x+bf(x) = 3x + b 的“对称函数”，且 h(x)>g(x)h(x) > g(x) 恒成立，则实数 bb 的取值范围是______.

2014 · 山东 · 理 · 第 15 题 · 填空题

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11不等式★★☆☆☆
执行如图所示的程序框图，若输入的 xx 的值为 1，则输出的 nn 的值为______.

2014 · 山东 · 文 · 第 11 题 · 填空题

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14不等式★★☆☆☆
在区间 [−3,3][-3,3] 上随机取一个数 xx，使得 ∣x+1∣−∣x−2∣⩾1|x + 1| - |x - 2| \geqslant 1 成立的概率为______.

2013 · 山东 · 理 · 第 14 题 · 填空题

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14不等式★★☆☆☆
在平面直角坐标系 xOyxOy 中，MM 为不等式组
{2x+3y−6⩽0,x+y−2⩾0,y⩾0,\begin{cases} 2x + 3y - 6 \leqslant 0,\\ x + y - 2 \geqslant 0,\\ y \geqslant 0, \end{cases}
所表示的区域上一动点，则 ∣OM∣|OM| 的最小值是______.

2013 · 山东 · 文 · 第 14 题 · 填空题

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13不等式★★☆☆☆
若不等式 ∣kx−4∣⩽2|kx - 4| \leqslant 2 的解集为 {x∣1⩽x⩽3}\{x \mid 1 \leqslant x \leqslant 3\}，则实数 k=k =______.

2012 · 山东 · 理 · 第 13 题 · 填空题

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14不等式★★★☆☆
若对任意 x>0x > 0，xx2+3x+1⩽a\frac{x}{x^2 + 3x + 1} \leqslant a 恒成立，则 aa 的取值范围是______.

2010 · 山东 · 理 · 第 14 题 · 填空题

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14不等式★★☆☆☆
已知 xx，y∈R+y \in \mathbf{R}_+，且满足 x3+y4=1\frac{x}{3} + \frac{y}{4} = 1，则 xyxy 的最大值为______.

2010 · 山东 · 文 · 第 14 题 · 填空题

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13不等式★★☆☆☆
∣2x−1∣−∣x−2∣<0\lvert 2x - 1\rvert - \lvert x - 2\rvert < 0 的解集为______.

2009 · 山东 · 理 · 第 13 题 · 填空题

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16不等式★★★☆☆
某公司租赁甲，乙两种设备生产 AA，BB 两类产品，甲种设备每天能生产 AA 类产品 55 件和 BB 类产品 1010 件，乙种设备每天能生产 AA 类产品 66 件和 BB 类产品 2020 件. 已知设备甲每天的租赁费为 200200 元，设备乙每天的租赁费为 300300 元. 现该公司至少要生产 AA 类产品 5050 件，BB 类产品 140140 件，所需租赁费最少为______元.

2009 · 山东 · 文 · 第 16 题 · 填空题

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16不等式★★★☆☆
若不等式 ∣3x−b∣<4|3x - b| < 4 的解集中的整数有且仅有 11，22，33，则 bb 的取值范围为______.

2008 · 山东 · 理 · 第 16 题 · 填空题

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16不等式★★☆☆☆
设 xx，yy 满足约束条件
{x−y+2⩾0,5x−y−10⩽0,x⩾0,y⩾0.\begin{cases} x - y + 2 \geqslant 0,\\ 5x - y - 10 \leqslant 0,\\ x \geqslant 0,\\ y \geqslant 0. \end{cases}
则 z=2x+yz = 2x + y 的最大值为______.

2008 · 山东 · 文 · 第 16 题 · 填空题

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14不等式★★★☆☆
设 DD 是不等式组
{x+2y⩽10,2x+y⩾3,0⩽x⩽4,y⩾1\begin{cases} x + 2y \leqslant 10,\\ 2x + y \geqslant 3,\\ 0 \leqslant x \leqslant 4,\\ y \geqslant 1 \end{cases}
表示的平面区域，则 DD 中的点 P(x,y)P(x, y) 到直线 x+y=10x + y = 10 距离的最大值是______.
\begin{answer}424\sqrt{2}\end{answer}
\begin{solution} 由 x⩾0x\geqslant0、y⩾1y\geqslant1 及 2x+y⩾32x+y\geqslant3，分两段估计 x+yx+y：当 0⩽x⩽10\leqslant x\leqslant1 时，y⩾3−2xy\geqslant3-2x，故 x+y⩾3−x⩾2x+y\geqslant3-x\geqslant2；当 x⩾1x\geqslant1 时，x+y⩾x+1⩾2x+y\geqslant x+1\geqslant2. 点 (1,1)(1,1) 满足全部约束，所以 x+yx+y 的最小值为 22.
另一方面，由 x+2y⩽10x+2y\leqslant10 和 y⩾1y\geqslant1 得 x+y⩽10−y⩽9<10x+y\leqslant10-y\leqslant9<10. 因此区域内点到直线 x+y=10x+y=10 的距离为
d=10−x−y2d=\frac{10-x-y}{\sqrt{2}}
其最大值在 x+y=2x+y=2 时取得，故
dmax⁡=10−22=42d_{\max}=\frac{10-2}{\sqrt{2}}=4\sqrt{2}
\end{solution}

2007 · 山东 · 理 · 第 14 题 · 填空题

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16指数函数与对数函数★★★☆☆
函数 y=log⁡a(x+3)−1y = \log_a(x + 3) - 1（a>0a > 0，a≠1a \neq 1）的图象恒过定点 AA，若点 AA 在直线 mx+ny+1=0mx + ny + 1 = 0 上，其中 mn>0mn > 0，则 1m+2n\frac{1}{m} + \frac{2}{n} 的最小值为______.
\begin{answer}88\end{answer}
\begin{solution} 令 x+3=1x+3=1，则 x=−2x=-2，且对任意允许的底数 aa，都有 y=log⁡a1−1=−1y=\log_a1-1=-1. 所以定点为 A(−2,−1)A(-2,-1). 代入直线方程得 −2m−n+1=0-2m-n+1=0，2m+n=12m+n=1. 由 mn>0mn>0 及 2m+n=1>02m+n=1>0，可知 m>0m>0，n>0n>0. 令 u=2mu=2m，则 u>0u>0、n>0n>0 且 u+n=1u+n=1. 因此
1m+2n=2u+2n=2(1u+1n)=2(u+n)un=2un\frac{1}{m}+\frac{2}{n}=\frac{2}{u}+\frac{2}{n}=2\left(\frac{1}{u}+\frac{1}{n}\right)=\frac{2(u+n)}{un}=\frac{2}{un}
由 u+n=1u+n=1 得 un⩽14un\leqslant\frac{1}{4}，所以
1m+2n⩾8\frac{1}{m}+\frac{2}{n}\geqslant8
当 u=n=12u=n=\frac{1}{2}，即 m=14m=\frac{1}{4}，n=12n=\frac{1}{2} 时取等号，故最小值为 88. \end{solution}

2007 · 山东 · 理 · 第 16 题 · 填空题

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14不等式★★★☆☆
函数 y=a1−xy = a^{1 - x}（a>0a > 0，a≠1a \neq 1）的图象恒过定点 AA，若点 AA 在直线 mx+ny−1=0mx + ny - 1 = 0（mn>0mn > 0）上，则 1m+1n\frac{1}{m} + \frac{1}{n} 的最小值为______.

2007 · 山东 · 文 · 第 14 题 · 填空题

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15不等式★★★☆☆
当 x∈(1,2)x \in (1,2) 时，不等式 x2+mx+4<0x^2 + mx + 4 < 0 恒成立，则 mm 的取值范围是______.

2007 · 山东 · 文 · 第 15 题 · 填空题

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15不等式★★☆☆☆
设 xx，yy 满足约束条件
{x+y⩽5,3x+2y⩽12,0⩽x⩽3,0⩽y⩽4,\begin{cases} x+y\leqslant 5,\\ 3x+2y\leqslant 12,\\ 0\leqslant x\leqslant 3,\\ 0\leqslant y\leqslant 4, \end{cases}
则使得目标函数 z=6x+5yz=6x+5y 的最大的点 (x,y)(x,y) 是______.

2005 · 山东 · 理 · 第 15 题 · 填空题

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15不等式★★☆☆☆
设 xx，yy 满足约束条件
{x+y⩽5,3x+2y⩽12,0⩽x⩽3,0⩽y⩽4\begin{cases} x + y \leqslant 5,\\ 3x + 2y \leqslant 12,\\ 0 \leqslant x \leqslant 3,\\ 0 \leqslant y \leqslant 4 \end{cases}
则使得目标函数 z=6x+5yz = 6x + 5y 的最大的点 (x,y)(x,y) 是______.

2005 · 山东 · 文 · 第 15 题 · 填空题

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