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1817分解析几何★★★★★
已知椭圆 C:x2a2+y2b2=1C:\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1（a>b>0a>b>0）的左焦点为 F(−1,0)F(-1,0)，离心率为 12\dfrac{1}{2}.
(1) 求 CC 的方程； (2) 设 OO 为坐标原点，过 FF 且斜率大于 00 的动直线 ll 与 CC 交于 PP，QQ 两点，其中 QQ 在第三象限，直线 POPO 与 CC 的另一个交点为 RR.
(i) 若 △PQR\triangle PQR 的面积是 △PFO\triangle PFO 的面积的 33 倍，求 ll 的方程； (ii) 求 tan⁡∠PQR\tan \angle PQR 的最小值．

2026 · 全国 · 一卷 · 第 18 题 · 解答题

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1817分三角函数★★★★☆
记 △ABC\triangle ABC 的内角 AA，BB，CC 的对边分别为 aa，bb，cc，已知 cos⁡A1+sin⁡A=sin⁡2B1+cos⁡2B\frac{\cos A}{1+\sin A}=\frac{\sin 2B}{1+\cos 2B}.
(1) 若 C=2π3C=\frac{2\pi}{3}，求 BB； (2) 求 a2+b2c2\frac{a^2+b^2}{c^2} 的最小值.

2022 · 全国 · 新高考一卷 · 第 18 题 · 解答题

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23不等式★★★☆☆
已知 aa，bb，cc 为正数，且满足 abc=1abc=1. 证明：
(1) 1a+1b+1c≤a2+b2+c2\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\le a^2+b^2+c^2； (2) (a+b)3+(b+c)3+(c+a)3≥24(a+b)^3+(b+c)^3+(c+a)^3\ge24.

2019 · 全国 · 一卷 · 理 · 第 23 题 · 解答题

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23不等式★★★☆☆
已知 aa，bb，cc 为正数，且满足 abc=1abc=1. 证明：
(1) 1a+1b+1c≤a2+b2+c2\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\le a^2+b^2+c^2； (2) (a+b)3+(b+c)3+(c+a)3≥24(a+b)^3+(b+c)^3+(c+a)^3\ge 24.

2019 · 全国 · 一卷 · 文 · 第 23 题 · 解答题

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23不等式★★★☆☆
已知 f(x)=∣x+1∣−∣ax−1∣f(x)=\lvert x+1\rvert-\lvert ax-1\rvert.
(1) 当 a=1a=1 时，求不等式 f(x)>1f(x)>1 的解集； (2) 若 x∈(0,1)x\in(0,1) 时不等式 f(x)>xf(x)>x 成立，求 aa 的取值范围.

2018 · 全国 · 一卷 · 理 · 第 23 题 · 解答题

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23不等式★★★☆☆
已知 f(x)=∣x+1∣−∣ax−1∣f(x)=|x+1|-|ax-1|.
(1) 当 a=1a=1 时，求不等式 f(x)>1f(x)>1 的解集； (2) 若 x∈(0,1)x\in(0,1) 时不等式 f(x)>xf(x)>x 成立，求 aa 的取值范围.

2018 · 全国 · 一卷 · 文 · 第 23 题 · 解答题

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21解析几何★★★★★
平面直角坐标系 xOyxOy 中，椭圆 C ⁣:x2a2+y2b2=1C\colon\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1（a>b>0a>b>0）的离心率是 32\dfrac{\sqrt3}{2}，抛物线 E ⁣:x2=2yE\colon x^2=2y 的焦点 FF 是 CC 的一个顶点.
(1) 求椭圆 CC 的方程； (2) 设 PP 是 EE 上的动点，且位于第一象限，EE 在点 PP 处的切线 ll 与 CC 交于不同的两点 AA，BB，线段 ABAB 的中点为 DD，直线 ODOD 与过 PP 且垂直于 xx 轴的直线交于点 MM.
(i) 求证：点 MM 在定直线上； (ii) 直线 ll 与 yy 轴交于点 GG，记 △PFG\triangle PFG 的面积为 S1S_1，△PDM\triangle PDM 的面积为 S2S_2，求 S1S2\dfrac{S_1}{S_2} 的最大值及取得最大值时点 PP 的坐标.

2016 · 山东 · 理 · 第 21 题 · 解答题

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21解析几何★★★★★
平面直角坐标系 xOyxOy 中，已知椭圆 C:x2a2+y2b2=1C: \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1 （a>b>0a > b > 0）的离心率为 32\frac{\sqrt{3}}{2}，且点 (3,12)\left(\sqrt{3}, \frac{1}{2}\right) 在椭圆 CC 上.
(1) 求椭圆 CC 的方程； (2) 设椭圆 E:x24a2+y24b2=1E: \frac{x^2}{4a^2} + \frac{y^2}{4b^2} = 1，PP 为椭圆 CC 上任意一点，过点 PP 的直线 y=kx+my = kx + m 交椭圆 EE 于 AA，BB 两点，射线 POPO 交椭圆 EE 于点 QQ.
(i) 求 ∣OQ∣∣OP∣\frac{|OQ|}{|OP|} 的值； (ii) 求 △ABQ\triangle ABQ 面积的最大值.

2015 · 山东 · 文 · 第 21 题 · 解答题

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21导数及其应用★★★★☆
已知函数 f(x)=13ax3+bx2+x+3f(x) = \frac{1}{3}ax^3 + bx^2 + x + 3，其中 a≠0a \neq 0.
(1) 当 aa，bb 满足什么条件时，f(x)f(x) 取得极值？ (2) 已知 a>0a > 0，且 f(x)f(x) 在区间 (0,1](0,1] 上单调递增，试用 aa 表示出 bb 的取值范围.

2009 · 山东 · 文 · 第 21 题 · 解答题

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19不等式★★★☆☆
本公司计划 20082008 年在甲，乙两个电视台做总时间不超过 300300 分钟的广告，广告总费用不超过 99 万元. 甲，乙电视台的广告收费标准分别为 500500 元/分钟和 200200 元/分钟. 规定甲，乙两个电视台为该公司所做的每分钟广告，能给公司带来的收益分别为 0.30.3 万元和 0.20.2 万元. 问该公司如何分配在甲，乙两个电视台的广告时间，才能使公司的收益最大，最大收益是多少万元？

2007 · 山东 · 文 · 第 19 题 · 解答题

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