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1817分解析几何★★★★★
已知椭圆 C:x2a2+y2b2=1C:\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1（a>b>0a>b>0）的左焦点为 F(−1,0)F(-1,0)，离心率为 12\dfrac{1}{2}.
(1) 求 CC 的方程； (2) 设 OO 为坐标原点，过 FF 且斜率大于 00 的动直线 ll 与 CC 交于 PP，QQ 两点，其中 QQ 在第三象限，直线 POPO 与 CC 的另一个交点为 RR.
(i) 若 △PQR\triangle PQR 的面积是 △PFO\triangle PFO 的面积的 33 倍，求 ll 的方程； (ii) 求 tan⁡∠PQR\tan \angle PQR 的最小值．

2026 · 全国 · 一卷 · 第 18 题 · 解答题

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1817分三角函数★★★★☆
记 △ABC\triangle ABC 的内角 AA，BB，CC 的对边分别为 aa，bb，cc，已知 cos⁡A1+sin⁡A=sin⁡2B1+cos⁡2B\frac{\cos A}{1+\sin A}=\frac{\sin 2B}{1+\cos 2B}.
(1) 若 C=2π3C=\frac{2\pi}{3}，求 BB； (2) 求 a2+b2c2\frac{a^2+b^2}{c^2} 的最小值.

2022 · 全国 · 新高考一卷 · 第 18 题 · 解答题

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23不等式★★★☆☆
已知函数 f(x)=∣3x+1∣−2∣x−1∣f(x)=\left\lvert 3x+1 \right\rvert-2\left\lvert x-1 \right\rvert.
(1) 画出 y=f(x)y=f(x) 的图象； (2) 求不等式 f(x)>f(x+1)f(x)>f(x+1) 的解集.

2020 · 全国 · 一卷 · 理 · 第 23 题 · 解答题

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23不等式★★★☆☆
已知函数 f(x)=∣3x+1∣−2∣x−1∣f(x)=\lvert 3x+1\rvert-2\lvert x-1\rvert.
(1) 画出 y=f(x)y=f(x) 的图象； (2) 求不等式 f(x)>f(x+1)f(x)>f(x+1) 的解集.

2020 · 全国 · 一卷 · 文 · 第 23 题 · 解答题

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23不等式★★★☆☆
已知 aa，bb，cc 为正数，且满足 abc=1abc=1. 证明：
(1) 1a+1b+1c≤a2+b2+c2\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\le a^2+b^2+c^2； (2) (a+b)3+(b+c)3+(c+a)3≥24(a+b)^3+(b+c)^3+(c+a)^3\ge24.

2019 · 全国 · 一卷 · 理 · 第 23 题 · 解答题

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23不等式★★★☆☆
已知 aa，bb，cc 为正数，且满足 abc=1abc=1. 证明：
(1) 1a+1b+1c≤a2+b2+c2\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\le a^2+b^2+c^2； (2) (a+b)3+(b+c)3+(c+a)3≥24(a+b)^3+(b+c)^3+(c+a)^3\ge 24.

2019 · 全国 · 一卷 · 文 · 第 23 题 · 解答题

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23不等式★★★☆☆
已知 f(x)=∣x+1∣−∣ax−1∣f(x)=\lvert x+1\rvert-\lvert ax-1\rvert.
(1) 当 a=1a=1 时，求不等式 f(x)>1f(x)>1 的解集； (2) 若 x∈(0,1)x\in(0,1) 时不等式 f(x)>xf(x)>x 成立，求 aa 的取值范围.

2018 · 全国 · 一卷 · 理 · 第 23 题 · 解答题

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23不等式★★★☆☆
已知 f(x)=∣x+1∣−∣ax−1∣f(x)=|x+1|-|ax-1|.
(1) 当 a=1a=1 时，求不等式 f(x)>1f(x)>1 的解集； (2) 若 x∈(0,1)x\in(0,1) 时不等式 f(x)>xf(x)>x 成立，求 aa 的取值范围.

2018 · 全国 · 一卷 · 文 · 第 23 题 · 解答题

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21导数及其应用★★★★★
设 aa 为实数，函数 f(x)=(x−a)2+∣x−a∣−a(a−1)f(x) = (x - a)^2 + |x - a| - a(a - 1).
(1) 若 f(0)⩽1f(0) \leqslant 1，求 aa 的取值范围； (2) 讨论 f(x)f(x) 的单调性； (3) 当 a⩾2a \geqslant 2 时，讨论 f(x)+4xf(x) + \frac{4}{x} 在区间 (0,+∞)(0, +\infty) 内的零点个数.

2015 · 广东 · 文 · 第 21 题 · 解答题

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21不等式★★★★☆
设 a<1a < 1，集合 A={x∈R∣x>0}A = \{x \in \mathbf{R} \mid x > 0\}，B={x∈R∣2x2−3(1+a)x+6a>0}B = \{x \in \mathbf{R} \mid 2x^2 - 3(1 + a)x + 6a > 0\}，D=A∩BD = A \cap B.
(1) 求集合 DD （用区间表示）； (2) 求函数 f(x)=2x3−3(1+a)x2+6axf(x) = 2x^3 - 3(1 + a)x^2 + 6ax 在 DD 内的极值点.

2012 · 广东 · 理 · 第 21 题 · 解答题

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21不等式★★★★☆
设 0<a<10 < a < 1，集合 A={x∈R∣x>0}A = \{x \in \mathbf{R} \mid x > 0\}，B={x∈R∣2x2−3(1+a)x+6a>0}B = \{x \in \mathbf{R} \mid 2x^2 - 3(1 + a)x + 6a > 0\}，D=A∩BD = A \cap B.
(1) 求集合 DD （用区间表示）； (2) 求函数 f(x)=2x3−3(1+a)x2+6axf(x) = 2x^{3} - 3(1 + a)x^{2} + 6ax 在 DD 内的极值点.

2012 · 广东 · 文 · 第 21 题 · 解答题

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20数列★★★★★
(1) 设 b>0b > 0，数列 {an}\{a_{n}\} 满足 a1=ba_{1} = b，an=nban−1an−1+2n−2a_{n} = \frac{nba_{n-1}}{a_{n-1} + 2n - 2}（n⩾2n \geqslant 2）. 求数列 {an}\{a_{n}\} 的通项公式. (2) 证明：对于一切正整数 nn，an⩽bn+12n+1+1a_{n} \leqslant \frac{b^{n+1}}{2^{n+1}} + 1.

2011 · 广东 · 理 · 第 20 题 · 解答题

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21不等式★★★★★
(1) 在平面直角坐标系 xOyxOy 上，给定抛物线 L:y=14x2L: y = \frac{1}{4} x^2. 实数 pp，qq 满足 p2−4q⩾0p^2 - 4q \geqslant 0，x1x_1，x2x_2 是方程 x2−px+q=0x^2 - px + q = 0 的两根. 记 φ(p,q)=max⁡{∣x1∣,∣x2∣}\varphi(p, q) = \max \{|x_1|, |x_2|\}. 过点 A(p0,14p02)A\left(p_0, \frac{1}{4} p_0^2\right)（p0≠0p_0 \neq 0）作 LL 的切线交 yy 轴于点 BB. 证明：对线段 ABAB 上的任一点 Q(p,q)Q(p, q)，有 φ(p,q)=∣p0∣2\varphi(p, q) = \frac{|p_0|}{2}. (2) 设 M(a,b)M(a, b) 是定点，其中 aa，bb 满足 a2−4b>0a^2 - 4b > 0，a≠0a \neq 0. 过点 M(a,b)M(a, b) 作 LL 的两条切线 l1l_1，l2l_2，切点分别为 E(p1,14p12)E\left(p_1, \frac{1}{4} p_1^2\right)，E′(p2,14p22)E'\left(p_2, \frac{1}{4} p_2^2\right)，l1l_1，l2l_2 与 yy 分别交于 FF，F′F'. 线段 EFEF 上异于两端点的点集记为 XX. 证明：M(a,b)∈X⇔∣p1∣>∣p2∣⇔φ(a,b)=∣p1∣2M(a, b) \in X \Leftrightarrow |p_1| > |p_2| \Leftrightarrow \varphi(a, b) = \frac{|p_1|}{2}. (3) 设 D={(x,y)∣y⩽x−1,y⩾14(x+1)2−54}D = \left\{(x, y) \mid y \leqslant x - 1, y \geqslant \frac{1}{4} (x + 1)^2 - \frac{5}{4}\right\}. 当点 (p,q)(p, q) 取遍 D 时，求 φ(p,q)\varphi(p, q) 的最小值（记为 φmin⁡\varphi_{\min}）和最大值（记为 φmax⁡\varphi_{\max}）.

2011 · 广东 · 理 · 第 21 题 · 解答题

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20数列★★★★☆
设 b>0b > 0，数列 {an}\{a_{n}\} 满足 a1=ba_{1} = b，an=nban−1an−1+n−1a_{n} = \frac{nba_{n - 1}}{a_{n - 1} + n - 1}（n⩾2n \geqslant 2）.
(1) 求数列 {an}\{a_{n}\} 的通项公式； (2) 证明：对于一切正整数 nn，2an⩽bn+1+12a_{n} \leqslant b^{n+1} + 1.

2011 · 广东 · 文 · 第 20 题 · 解答题

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19不等式★★★☆☆
某营养师要为某个儿童预定午餐和晚餐. 已知 1 个单位1\text{ 个单位} 的午餐含 12 个单位12\text{ 个单位} 的碳水化合物，6 个单位6\text{ 个单位} 的蛋白质和 6 个单位6\text{ 个单位} 的维生素 C\mathrm C；1 个单位1\text{ 个单位} 的晚餐含 8 个单位8\text{ 个单位} 的碳水化合物，6 个单位6\text{ 个单位} 的蛋白质和 10 个单位10\text{ 个单位} 的维生素 C\mathrm C. 另外，该儿童这两餐需要的营养中至少含 64 个单位64\text{ 个单位} 的碳水化合物，42 个单位42\text{ 个单位} 的蛋白质和 54 个单位54\text{ 个单位} 的维生素 C\mathrm C. 如果 1 个单位1\text{ 个单位} 的午餐，晚餐的费用分别是 2.5 元2.5\text{ 元} 和 4 元4\text{ 元}，那么要满足上述的营养要求，并且花费最少，应当为该儿童分别预订多少个单位的午餐和晚餐？

2010 · 广东 · 理 · 第 19 题 · 解答题

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21不等式★★★★★
设 A(x1,y1)A(x_{1},y_{1})，B(x2,y2)B(x_{2},y_{2}) 是平面直角坐标系 xOyxOy 上的两点. 现定义由点 AA 到点 BB 的一种折线距离 ρ(A,B)\rho(A,B) 为 ρ(A,B)=∣x2−x1∣+∣y2−y1∣\rho(A,B) = |x_2 - x_1| + |y_2 - y_1|. 对于平面 xOyxOy 上给定的不同两点 A(x1,y1)A(x_{1},y_{1})，B(x2,y2)B(x_{2},y_{2}).
(1) 若点 C(x,y)C(x, y) 是平面 xOyxOy 上的点，试证明 ρ(A,C)+ρ(C,B)⩾ρ(A,B)\rho(A,C) + \rho(C,B) \geqslant \rho(A,B)； (2) 在平面 xOyxOy 上是否存在点 C(x,y)C(x, y)，同时满足
① ρ(A,C)+ρ(C,B)=ρ(A,B)\rho(A,C) + \rho(C,B) = \rho(A,B)； ② ρ(A,C)=ρ(C,B)\rho(A,C) = \rho(C,B).
若存在，请求出所有符合条件的点；若不存在，请予以证明.

2010 · 广东 · 理 · 第 21 题 · 解答题

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19不等式★★★☆☆
某营养师要为某个儿童预定午餐和晚餐. 已知一个单位的午餐含 12 个单位的碳水化合物，6 个单位的蛋白质和 6 个单位的维生素 CC；一个单位的晚餐含 8 个单位的碳水化合物，6 个单位的蛋白质和 10 个单位的维生素 CC. 另外，该儿童这两餐需要的营养中至少含 64 个单位的碳水化合物，42 个单位的蛋白质和 54 个单位的维生素 CC. 如果一个单位的午餐，晚餐的费用分别是 2.5 元2.5\text{ 元} 和 4 元4\text{ 元}，那么要满足上述的营养要求，并且花费最少，应当为该儿童分别预订多少个单位的午餐和晚餐？

2010 · 广东 · 文 · 第 19 题 · 解答题

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21导数及其应用★★★★★
已知曲线 Cn:y=nx2C_n: y = nx^2，点 Pn(xn,yn)P_n(x_n, y_n)（xn>0x_n > 0，yn>0y_n > 0）是曲线 CnC_n 上的点（n=1n = 1，22，⋯\cdots）.
(1) 试写出曲线 CnC_n 在点 PnP_n 处的切线 lnl_n 的方程，并求出 lnl_n 与 yy 轴的交点 QnQ_n 的坐标； (2) 若原点 O(0,0)O(0, 0) 到 lnl_n 的距离与线段 PnQnP_nQ_n 的长度之比取得最大值，试求点 PnP_n 的坐标 (xn,yn)(x_n, y_n)； (3) 设 mm 与 kk 为两个给定的不同的正整数，xnx_n 与 yny_n 是满足前一问条件的点 PnP_n 的坐标，证明：∑n=1s∣(m+1)xn2−(k+1)yn∣<∣ms−ks∣\sum_{n=1}^{s} \left| \sqrt{\frac{(m + 1)x_n}{2}} - \sqrt{(k + 1)y_n} \right| < \left| \sqrt{ms} - \sqrt{ks} \right|（s=1s = 1，22，⋯\cdots）.

2010 · 广东 · 文 · 第 21 题 · 解答题

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19导数及其应用★★★★★
已知二次函数 y=g(x)y = g(x) 的导函数的图象与直线 y=2xy = 2x 平行，且 y=g(x)y = g(x) 在 x=−1x = -1 处取得极小值 m−1m - 1（m≠0m \neq 0）. 设 f(x)=g(x)xf(x) = \frac{g(x)}{x}.
(1) 若曲线 y=f(x)y = f(x) 上的点 PP 到点 Q(0,2)Q(0, 2) 的距离的最小值为 2\sqrt{2}，求 mm 的值； (2) kk（k∈Rk \in \mathbf{R}）如何取值时，函数 y=f(x)−kxy = f(x) - kx 存在零点，并求出零点.

2009 · 广东 · 理 · 第 19 题 · 解答题

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21导数及其应用★★★★☆
已知二次函数 y=g(x)y = g(x) 的导函数的图象与直线 y=2xy = 2x 平行，且 y=g(x)y = g(x) 在 x=−1x = -1 处取得极小值 m−1m - 1（m≠0m \neq 0）. 设 f(x)=g(x)xf(x) = \frac{g(x)}{x}.
(1) 若曲线 y=f(x)y = f(x) 上的点 PP 到点 Q(0,2)Q(0,2) 的距离的最小值为 2\sqrt{2}，求 mm 的值； (2) kk（k∈Rk \in \mathbf{R}）如何取值时，函数 y=f(x)−kxy = f(x) - kx 存在零点，并求出零点.

2009 · 广东 · 文 · 第 21 题 · 解答题

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17不等式★★★☆☆
某单位用 21602160 万元购得一块空地. 计划在该地块上建造一栋至少 1010 层，每层 2000 平方米2000\text{ 平方米} 的楼房. 经测算，如果将楼房建为 xx 层（x⩾10x \geqslant 10），则每平方米的平均建筑费用为 560+48x560 + 48x（单位：元）. 为了使楼房每平方米的平均综合费用最少，该楼房应建为多少层？
（注：平均综合费用 = 平均建筑费用 + 平均购地费用 = 购地总费用建筑总面积\frac{\text{购地总费用}}{\text{建筑总面积}}）

2008 · 广东 · 文 · 第 17 题 · 解答题

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17解析几何★★★★☆
在平面直角坐标系 xOyxOy 中，抛物线 y=x2y = x^2 上异于坐标原点 OO 的两不同动点 AA，BB 满足 AO⊥BOAO \perp BO（如图所示）.
(1) 求 △AOB\triangle AOB 的重心 GG（即三角形三条中线的交点）的轨迹方程； (2) △AOB\triangle AOB 的面积是否存在最小值？若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由.

2005 · 广东 · 第 17 题 · 解答题

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19导数及其应用★★★★☆
设函数 f(x)=∣1−1x∣f(x) = \left|1 - \frac{1}{x}\right|（x>0x > 0）.
(1) 证明：当 0<a<b0 < a < b，且 f(a)=f(b)f(a) = f(b) 时，ab>1ab > 1； (2) 点 P(x0,y0)P(x_0, y_0)（0<x0<10 < x_0 < 1）在曲线 y=f(x)y = f(x) 上，求曲线在点 PP 处的切线与 xx 轴和 yy 轴的正向所围成的三角形面积表达式（用 x0x_0 表示）.

2004 · 广东 · 第 19 题 · 解答题

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