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1817分解析几何★★★★★
已知椭圆 C:x2a2+y2b2=1C:\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1（a>b>0a>b>0）的左焦点为 F(−1,0)F(-1,0)，离心率为 12\dfrac{1}{2}.
(1) 求 CC 的方程； (2) 设 OO 为坐标原点，过 FF 且斜率大于 00 的动直线 ll 与 CC 交于 PP，QQ 两点，其中 QQ 在第三象限，直线 POPO 与 CC 的另一个交点为 RR.
(i) 若 △PQR\triangle PQR 的面积是 △PFO\triangle PFO 的面积的 33 倍，求 ll 的方程； (ii) 求 tan⁡∠PQR\tan \angle PQR 的最小值．

2026 · 全国 · 一卷 · 第 18 题 · 解答题

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1817分三角函数★★★★☆
记 △ABC\triangle ABC 的内角 AA，BB，CC 的对边分别为 aa，bb，cc，已知 cos⁡A1+sin⁡A=sin⁡2B1+cos⁡2B\frac{\cos A}{1+\sin A}=\frac{\sin 2B}{1+\cos 2B}.
(1) 若 C=2π3C=\frac{2\pi}{3}，求 BB； (2) 求 a2+b2c2\frac{a^2+b^2}{c^2} 的最小值.

2022 · 全国 · 新高考一卷 · 第 18 题 · 解答题

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19不等式★★★★★
已知关于 xx 的函数 y=f(x)y=f(x)，y=g(x)y=g(x) 与 h(x)=kx+bh(x)=kx+b（kk，b∈Rb\in\mathbf{R}）在区间 DD 上恒有 f(x)≥h(x)≥g(x)f(x)\ge h(x)\ge g(x).
(1) 若 f(x)=x2+2xf(x)=x^2+2x，g(x)=−x2+2xg(x)=-x^2+2x，D=(−∞,+∞)D=(-\infty,+\infty)，求 h(x)h(x) 的表达式； (2) 若 f(x)=x2−x+1f(x)=x^2-x+1，g(x)=kln⁡xg(x)=k\ln x，h(x)=kx−kh(x)=kx-k，D=(0,+∞)D=(0,+\infty)，求 kk 的取值范围； (3) 若 f(x)=x4−2x2f(x)=x^4-2x^2，g(x)=4x2−8g(x)=4x^2-8，h(x)=4(t3−t)x−3t4+2t2h(x)=4(t^3-t)x-3t^4+2t^2，0<∣t∣≤20<|t|\le\sqrt2，D=[m,n]⊆[−2,2]D=[m,n]\subseteq[-\sqrt2,\sqrt2]，证明：n−m≤7n-m\le\sqrt7.

2020 · 江苏 · 第 19 题 · 解答题

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21不等式★★☆☆☆
设 x∈Rx\in\mathbf{R}，解不等式 2∣x+1∣+∣x∣<42\lvert x+1\rvert+\lvert x\rvert<4.

2020 · 江苏 · 第 21 题（C） · 解答题

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21不等式★★☆☆☆
设 x∈Rx\in\mathbf{R}，解不等式 ∣x∣+∣2x−1∣>2|x|+|2x-1|>2.

2019 · 江苏 · 第 21 题（C） · 解答题

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20不等式★★★★★
设 {an}\{a_n\} 是首项为 a1a_1，公差为 dd 的等差数列，{bn}\{b_n\} 是首项为 b1b_1，公比为 qq 的等比数列.
(1) 设 a1=0a_1=0，b1=1b_1=1，q=2q=2，若 ∣an−bn∣≤b1|a_n-b_n|\le b_1 对 n=1n=1，22，33，44 均成立，求 dd 的取值范围； (2) 若 a1=b1>0a_1=b_1>0，m∈N∗m\in\mathbf{N}^*，q∈(1,2m]q\in(1,\sqrt[m]{2}]，证明：存在 d∈Rd\in\mathbf{R}，使得 ∣an−bn∣≤b1|a_n-b_n|\le b_1 对 n=2n=2，33，⋯\cdots，m+1m+1 均成立，并求 dd 的取值范围（用 b1b_1，mm，qq 表示）.

2018 · 江苏 · 第 20 题 · 解答题

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21不等式★★★☆☆
若 xx，yy，zz 为实数，且 x+2y+2z=6x+2y+2z=6，求 x2+y2+z2x^2+y^2+z^2 的最小值.

2018 · 江苏 · 第 21 题（D） · 解答题

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21不等式★★☆☆☆
已知 aa，bb，cc，dd 为实数，且 a2+b2=4a^2+b^2=4，c2+d2=16c^2+d^2=16，证明 ac+bd≤8ac+bd\le 8.

2017 · 江苏 · 第 21 题（D） · 解答题

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19函数与初等函数★★★★★
已知函数 f(x)=ax+bxf(x)=a^x+b^x（a>0a>0，b>0b>0，a≠1a\ne1，b≠1b\ne1）.
(1) 设 a=2a=2，b=12b=\dfrac12.
(i) 求方程 f(x)=2f(x)=2 的根； (ii) 若对于任意 x∈Rx\in\mathbf{R}，不等式 f(2x)≥mf(x)−6f(2x)\ge mf(x)-6 恒成立，求实数 mm 的最大值； (2) 若 0<a<10<a<1，b>1b>1，函数 g(x)=f(x)−2g(x)=f(x)-2 有且只有 11 个零点，求 abab 的值.

2016 · 江苏 · 第 19 题 · 解答题

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21不等式★★☆☆☆
设 a>0a>0，∣x−1∣<a3|x-1|<\dfrac a3，∣y−2∣<a3|y-2|<\dfrac a3，求证：∣2x+y−4∣<a|2x+y-4|<a.

2016 · 江苏 · 第 21 题（D） · 解答题

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21不等式★★☆☆☆
解不等式 x+∣2x+3∣≥2x + |2x + 3| \ge 2.

2015 · 江苏 · 第 21 题（D） · 解答题

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21不等式★★★☆☆
已知 x>0x > 0，y>0y > 0，证明： (1+x+y2)(1+x2+y)⩾9xy(1 + x + y^2)(1 + x^2 + y) \geqslant 9xy.

2014 · 江苏 · 第 21 题（D） · 解答题

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21不等式★★★☆☆
已知 a⩾b>0a\geqslant b>0，求证：2a3−b3⩾2ab2−a2b2a^3-b^3\geqslant 2ab^2-a^2b.

2013 · 江苏 · 第 21 题（D） · 解答题

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21不等式★★★☆☆
已知实数 xx，yy 满足：∣x+y∣<13|x+y|<\frac{1}{3}，∣2x−y∣<16|2x-y|<\frac{1}{6}，求证：∣y∣<518|y|<\frac{5}{18}.

2012 · 江苏 · 第 21 题（D） · 解答题

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19导数及其应用★★★★★
已知 aa，bb 是实数，函数 f(x)=x3+axf(x)=x^3+ax，g(x)=x2+bxg(x)=x^2+bx，f′(x)f'(x) 和 g′(x)g'(x) 分别是 f(x)f(x)，g(x)g(x) 的导函数，若 f′(x)g′(x)⩾0f'(x)g'(x)\geqslant 0 在区间 II 上恒成立，则称 f(x)f(x) 和 g(x)g(x) 在区间 II 上单调性一致.
(1) 设 a>0a>0，若函数 f(x)f(x) 和 g(x)g(x) 在区间 [−1,+∞)[-1,+\infty) 上单调性一致，求实数 bb 的取值范围； (2) 设 a<0a<0 且 a≠ba\neq b，若 f(x)f(x) 和 g(x)g(x) 在以 aa，bb 为端点的开区间上单调性一致，求 ∣a−b∣|a-b| 的最大值.

2011 · 江苏 · 第 19 题 · 解答题

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21不等式★☆☆☆☆
解不等式：x+∣2x−1∣<3x+|2x-1|<3.

2011 · 江苏 · 第 21 题（D） · 解答题

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21不等式★★★☆☆
设 aa，bb 是非负实数，求证：a3+b3⩾ab(a2+b2)a^3+b^3\geqslant \sqrt{ab}\left(a^2+b^2\right).

2010 · 江苏 · 第 21 题（D） · 解答题

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19函数与初等函数★★★★☆
按照某学者的理论，假设一个人生产某产品单件成本为 a 元a\text{ 元}，如果他卖出该产品的单价为 m 元m\text{ 元}，则他的满意度为 mm+a\frac{m}{m+a}；如果他买进该产品的单价为 n 元n\text{ 元}，则他的满意度为 an+a\frac{a}{n+a}. 如果一个人对两种交易（卖出或买进）的满意度分别为 h1h_1 和 h2h_2，则他对这两种交易的综合满意度为 h1h2\sqrt{h_1h_2}. 现假设甲生产 A，B 两种产品的单件成本分别为 12 元12\text{ 元} 和 5 元5\text{ 元}，乙生产 A，B 两种产品的单件成本分别为 3 元3\text{ 元} 和 20 元20\text{ 元}，设产品 A，B 的单价分别为 mA 元m_{\text{A}}\text{ 元} 和 mB 元m_{\text{B}}\text{ 元}，甲买进 A 与卖出 B 的综合满意度为 h甲h_{\text{甲}}，乙卖出 A 与买进 B 的综合满意度为 h乙h_{\text{乙}}.
(1) 求 h甲h_{\text{甲}} 和 h乙h_{\text{乙}} 关于 mAm_{\text{A}}，mBm_{\text{B}} 的表达式；当 mA=35mBm_{\text{A}}=\frac35m_{\text{B}} 时，求证：h甲=h乙h_{\text{甲}}=h_{\text{乙}}； (2) 设 mA=35mBm_{\text{A}}=\frac35m_{\text{B}}，当 mAm_{\text{A}}，mBm_{\text{B}} 分别为多少时，甲，乙两人的综合满意度均最大？最大的综合满意度为多少？ (3) 记第 22 问中最大的综合满意度为 h0h_0，试问能否适当选取 mAm_{\text{A}}，mBm_{\text{B}} 的值，使得 h甲≥h0h_{\text{甲}}\ge h_0 和 h乙≥h0h_{\text{乙}}\ge h_0 同时成立，但等号不同时成立？试说明理由.

2009 · 江苏 · 第 19 题 · 解答题

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21不等式★★☆☆☆
设 a≥b>0a\ge b>0，求证：3a3+2b3≥3a2b+2ab23a^3+2b^3\ge3a^2b+2ab^2.

2009 · 江苏 · 第 21 题（D） · 解答题

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21不等式★★★☆☆
设 aa，bb，cc 为正实数，求证：1a3+1b3+1c3+abc⩾23\frac{1}{a^3} + \frac{1}{b^3} + \frac{1}{c^3} + abc \geqslant 2\sqrt{3}.

2008 · 江苏 · 第 21 题（D） · 解答题

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22导数及其应用★★★★☆
已知 a∈Ra \in \mathbf{R}，函数 f(x)=x2∣x−a∣f(x) = x^2 |x - a|.
(1) 当 a=2a = 2 时，求 f(x)=xf(x) = x 使成立的 xx 的集合； (2) 求函数 y=f(x)y = f(x) 在区间 [1,2][1,2] 上的最小值.

2005 · 江苏 · 第 22 题 · 解答题

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23数列★★★★★
设数列 {an}\{a_{n}\} 的前 nn 项和为 SnS_{n}，已知 a1=1a_1 = 1，a2=6a_2 = 6，a3=11a_3 = 11，且 (5n−8)Sn+1−(5n+2)Sn=An+B(5n - 8)S_{n+1} - (5n + 2)S_n = An + B，n=1n = 1，22，33，⋯\cdots，其中 AA，BB 为常数.
(1) 求 AA 与 BB 的值； (2) 证明数列 {an}\{a_{n}\} 为等差数列； (3) 证明不等式 5amn−aman>1\sqrt{5a_{mn}} - \sqrt{a_m a_n} > 1 对任何正整数 mm，nn 都成立.

2005 · 江苏 · 第 23 题 · 解答题

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19不等式★★★☆☆
制定投资计划时，不仅要考虑可能获得的盈利，而且要考虑可能出现的亏损. 某投资人打算投资甲、乙两个项目. 根据预测，甲、乙项目可能的最大盈利率分别为 100%100\% 和 50%50\%，可能的最大亏损分别为 30%30\% 和 10%10\%. 投资人计划投资金额不超过 10 万元10\text{ 万元}. 要求确保可能的资金亏损不超过 1.8 万元1.8\text{ 万元}. 问投资人对甲、乙两个项目各投资多少万元，才能使可能的盈利最大.

2004 · 江苏 · 第 19 题 · 解答题

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